Układy dyskretne.Transformacja z.

(1)

Opracował: Marek Cabaj

Politechnika Świętokrzyska w Kielcach Centrum Laserowych Technologii Metali

1

Ćwiczenia laboratoryjne z przedmiotu:

„Cyfrowe przetwarzanie sygnałów”.

Ćwiczenie 4:

Układy dyskretne.

Transformacja z .

Niezbędne wiadomości:

1. Układy dyskretne.

Algorytm przetwarzający sygnał dyskretny można przedstawić jako dynamiczny układ, na wejście którego podany jest wymuszający sygnał dyskretny u(n), zaś na wyjściu pojawia się sygnał dyskretny y(n).

Związek między tymi sygnałami może być zapisany symbolicznie:

y = H (u )

gdzie H jest pewną operacją przeprowadzaną na sygnale u(n).

2. Klasyfikacja układów dyskretnych:

Układ dyskretny nazywamy liniowym, jeśli spełniona jest zasada superpozycji:

H

(

u₁+u₂

)

=H

(

u₁

)

+H

(

u₂

)

Układ dyskretny nazywamy stacjonarnym, jeśli z warunku:

u

(

n

)

^H →⁽^u⁾ y

(

n

)

wynika, że

u ( n − n

₀

) 

^H

 → 

⁽^u⁾

y ( n − n

₀

)

Układ dyskretny nazywamy przyczynowym, jeśli wartość sygnału wyjściowego y(n0) w chwili n0 nie zależy od przebiegu u(n) dla n>n0.

Układ dyskretny jest stabilny, gdy dla dowolnego, ograniczonego sygnału wejściowego u(n) sygnał wyjściowy y(n) jest też ograniczony.

Układ dyskretny nazywamy układem z pamięcią, jeśli wartość sygnału wyjściowego y(n) zależy od przeszłych wartości u(n-1), u(n-2),...

3. Transformacja z.

Analizę równań różnicowych, opisujących działanie liniowego, stacjonarnego układu dyskretnego ułatwia przekształcenie z .

Transformacją (przekształceniem) z ciągu rzeczywistego u(n) (funkcji rzeczywistej argumentu całkowitego) jest funkcja zespolona zmiennej zespolonej z zdefiniowana równaniem:

∑

^∞

=

− 0

) ( )

(

n

z

n

n u z

U

Mówimy, że U(z) jest obrazem u(n) w transformacji z co możemy zapisać symbolicznie:

u

(

n

)

→^z U

(

z

)

Jedną z najważniejszych cech transformacji z , wykorzystywanej przy analizie układów dyskretnych, jest następująca właściwość:

u

(

n−m

)

→^z z⁻^m⋅U

(

z

)

dla m>0

Sygnał opóźniony o m taktów posiada obraz będący iloczynem obrazu nie opóźnionego przez z^-m.

(2)

2

Istnieje następujący związek między zmiennymi z i s (przekształcenie Laplace’a):

z = e

^sT^s , gdzie Ts jest czasem próbkowania.

Z uproszczenia powyższej zależności wynikają związki odwrotne:

T

s

s ≈ z − 1

- metoda Eulera,

1 1 2

+

≈ − z z s T

s

- metoda Tustina (biliniowa)

4. Transmitancja układu dyskretnego.

Działanie liniowego, stacjonarnego układu dyskretnego możemy opisać za pomocą transmitancji operatorowej, która przyjmuje postać funkcji wymiernej operatora z.

Transmitancją wejścia U do wyjścia Y nazywany jest stosunek operatorowych postaci sygnału wyjściowego do wejściowego, przy założeniu zerowych warunków początkowych.

( )

) ) (

(

U z

z z Y

H =

Charakterystykę częstotliwościową układu możemy wyznaczyć przez podstawienie:

z = e

^j^ω^dla

ω

∈ −

π ^, π

Układ dyskretny jest stabilny, jeśli bieguny transmitancji H(z) spełniają warunek:

z <

1

Zadanie 1.

Układ dyskretny jest opisany równaniem:

[ ¹ ⁽ ¹ ⁾ ]

) 1 ( )

(

n =a⋅y n− ⋅ − y n−

y

y ( 0 ) = 0 . 2

a) określić, jaki to układ (liniowy?; przyczynowy?; itd.),

b) określić przebieg sygnału wyjściowego dla 200 kolejnych kroków, dla różnych wartości parametru a:

a=2.8; a=3.0; a=3.1 a=4.0;

Zadanie 2.

Układ dyskretny jest opisany równaniem:

) 2 ( 99 . 0 ) 1 ( 98 . 1 ) 2 ( ) 1 ( )

( n = u n − + u n − + y n − − y n − y

a) określić, jaki to układ (liniowy?; przyczynowy?; itd.), b) określić odpowiedź impulsową układu;

c) napisać, jaka jest transmitancja dyskretna układu;

d) określić kształt charakterystyki amplitudowej i fazowej układu.

Zadanie 3.

Transmitancja liniowego układu ciągłego jest określona wzorem:

(3)

3

)

10 )(

3 ( ) 1

(

= + +

s s s

H

Stosując metodę Eulera znaleźć transmitancję układu dyskretnego, który aproksymowałby działanie układu ciągłego. Przyjąć okres próbkowania Ts=0.1.

a) określić kształt charakterystyki amplitudowej i fazowej układu ciągłego, b) znaleźć transmitancję dyskretną H(z),

c) napisać równanie różnicowe, realizujące transmitancję dla układu dyskretnego, d) określić kształt charakterystyki amplitudowej i fazowej układu dyskretnego.

e) wyznaczyć odpowiedź impulsową dla układu dyskretnego.

Pytania sprawdzające:

1. Podać definicję układu dyskretnego?

2. Jakie warunki spełnia układ dyskretny liniowy? Kiedy układ jest stacjonarny, przyczynowy, stabilny?

3. Podać definicję transformacji z.

4. Co to jest transmitancja układu dyskretnego?

5. Jakie warunki musi spełnić transmitancja układu dyskretnego, aby był on układem stabilnym?

Układy dyskretne.Transformacja z.

Ćwiczenia laboratoryjne z przedmiotu:

„Cyfrowe przetwarzanie sygnałów”.