Homomorfizm, izomorfizm
1 Przykłady homomorfizmów grup
Zadanie 1 Dla jakich a, b odwzorowanie f (x) = ax + b określa homomorfizm z R do R?
Zadanie 2 Dla jakich a, b, c odwzorowanie f (z) = az2+ bz + c określa homomorfizm z C do C?
Zadanie 3 Wyznacz wszystkie homomorfizmy:
a) z Z2 do Z4, b) z Z4 do Z2, c) z Z6 do Z10, d) z Z6 do Z∗7, e) z Z3 do S3, f ) z Z do Z, g) z Z do Q, h) z Z do C∗.
Zadanie 4 Niech G będzie dowolną grupą. Opisz wszystkie homomorfizmy:
a) z Z do G, b) z Zn do G.
Zadanie 5 Ile jest homomorfizmów z Zm do Zn?
Zadanie 6 Czy istnieje niezerowy homomorfizm z Q do Z?
2 Monomorfizmy i epimorfizmy grup Zadanie 7 Wyznacz wszystkie monomorfizmy:
a) z Z2 do Z∗5, b) z Z3 do S4, c) z Z4 do S4, d) z D3 do S4, e) z D3 do D6.
Zadanie 8 Wyznacz wszystkie epimorfizmy:
a) z Z6 do Z3, b) z Z∗6 do Z2, c) z S3 do Z2, d) z D4 do Z4, e) z S4 do S3.
Zadanie 9 Opisz wszystkie:
a) monomorfizmy z Zm do Zn, b) epimorfizmy z Zm do Zn.
Zadanie 10 Udowodnij, że jeżeli grupa G jest przemienna, a grupa H jest nieprzemienna, to nie istnieje monomorfizm z H do G, ani epimorfizm z G do H.
1
3 Izomorfizm grup
Zadanie 11 W grupie S4 znajdź wszystkie podgrupy izomorficzne:
a) z Z3, b) z Z4, c) z S3, d) z D4. Zadanie 12 a) Wykaż, że grupy S3 i D3 są izomorficzne.
b) Wykaż, że każda grupa nieprzemienna rzędu 6 jest izomorficzna z grupą S3. Zadanie 13 Wyznacz wszystkie izomorfizmy grup:
a) Z∗11 i Z10, b) z Z∗10 i Z4, c) z Z∗8 i Z∗12.
Zadanie 14 Wyznacz wszystkie automorfizmy grupy:
a) Z6, b) S3, c) D4. Zadanie 15 a) Czy grupy Z i Q są izomorficzne?
b) Czy grupy Q i R są izomorficzne?
c) Czy grupy R i C są izomorficzne?
Piotr Jędrzejewicz, Ćwiczenia z algebry, III rok informatyki, wiosna 2003.
Homomorfizm, izomorfizm, wersja pierwsza, 16 IV 2003.
2
