Spistreści Równanieprzewodnictwacieplnego

Równanie przewodnictwa cieplnego

Spis treści

1 Przykładowe rozwiązania 2

2 Zestaw zadań do ćwiczenia samodzielnego 5

1 Przykładowe rozwiązania 2

1 Przykładowe rozwiązania

Zadanie 1.1.

Rozwiazać równanie przewodnictwa cieplnego

ut = a²uxx, u(0, t) = 0, ux(l, t) = Ae^−t, u(x, 0) = T , (1) dla0
x
l, t  0, a = 0 i A = 0.

Sens fizyczny tego zagadnienia jest nastepuj
acy: u jest tepmeratur
a w pr
ecie o długości l i małym
przekroju, który można zaniedbać; t oznacza czas, x mierzy odległość od jednego z końców preta. W
chwili poczatkowej temperatura w punktach pr
eta jest stała i wynosi T , natomiast jeden z końców ma
ustalona temeperatur
e środowiska równą 0, w drugim końcu temeperatura zmienia si
e adiabatycznie
i jest dana przez funkcje t → Ae
^−t. Musimy jeszcze ustalić warunek zgodności. Wynika z niego, że jedyna możliw
a stał
a w warunku pocz
atkowym jest T = 0.

Ponieważ warunki brzegowe sa niejednorodne, to rozwi
azania poszukujemy w postaci:
u(x, t) = r0(x) · 0 + r1(x)Ae^−t + V (x, t),

żadaj
ac, by funkcja V spełniała równanie jednorodne i warunki brzegowe jednorodne, tzn. by V
t = a²Vxx oraz V (0, t) = Vx(l, t) = 0. Z warunków brzegowych dla (1) wynika, że 0 = u(0, t) = r1(0)Ae^−t + V (0, t), czyli r1(0) = 0 oraz Ae^−t = ux(l, t) = r₁
(l)Ae^−t+ Vx(l, t) implikuje r₁
(l) = 1.

Wstawiajac teraz u w danej postaci do równania (1) mamy:

a²r₁

(x)Ae^−t + a²Vxx = −r₁(x)Ae^−t + V_t, a ponieważ V ma spełniać równanie jednorodne, to dostajemy

a²r₁

(x) + r₁(x) = 0 z warunkami r1(0) = 0 i r₁
(l) = 1. Rozwiazaniami s
a funkcje

r1(x) = α₁sin√

a⁻²x + α2cos√ a⁻²x.

Z warunku0 = r₁(0) dostajemy α₂ = 0, a z 1 = r₁
(l) =√

a⁻²α₁cos√

a⁻²l wynika, że α1 = _cos^√|a|_a−2l. Ostatecznie wiec funkcja r
1 ma postać

r1(x) = |a|

cos√

a⁻²l sin√ a⁻²x.

W dalszym ciagu na α
1 = _cos^√|a|_a−2l bedziemy używali symbolu α. Łatwo sprawdzić, że dla tak znalezio-
nego r1 funkcja V rzeczywiście spełnia równanie jednorodne z warunkami brzegowymi jednorodnymi, a warunek poczatkowy można wyliczyć:

0 = T = u(x, 0) = r1(x)A + V (x, 0) = αA sin√

a⁻²x + V (x, 0).

Wtedy

V (x, 0) = −αA sin√ a⁻²x.

Znajdziemy wiec rozwi
azanie równania

Vt = a²Vxx, V (0, t) = Vx(l, t) = 0, V (x, 0) = −αA sin√

a⁻²x. (2)

Poszukujemy jego rozwiazań metod
a Fouriera, czyli w postaci V (x, t) = v(x)w(t). Z poprzednich
zadań wiemy już, że wtedy

v

(x)

v (x = λ = w
(t) a²w (t). Stad mamy

v

(x) − λv(x) = 0 z warunkami

0 = V (0, t) = v(0)w(t) =⇒ v(0) = 0, 0 = Vx(l, t) = v
(l)w(t) =⇒ v
(l) = 0.

Rozwiazaniem jest

v (x) = B1cos√

−λx + B₂sin√ λx.

ponieważ B1 = 0 = v(0), to musi być λ = −
_2l^π(1 + 2k)^2. Otrzymujemy wiec ci
ag wartości
własnychλk = −
_2l^π(1 + 2k)^2 i odpowiadajacy mu ci
ag funkcji własnych v
k(x) = sin
_2l^π(1 + 2k)x^ dla k = 1, 2, ... . Zatem rozwiazaniem jest

V (x, t) =

∞

k=1wk(t) sin^π

2l(1 + 2k)x^, (3)

gdzie (z warunku poczatkowego (2)) funkcje w
k musza spełniać

−αA sin√

a⁻²x = V (x, 0) =

∞

k=1wk(0) sin^π

2l(1 + 2k)x^.

Liczby wk(0) sa wi
ec współczynnikami rozwini
ecia w szereg Fouriera wzgl
edem sinusów funkcji x →

−αA sin√

a⁻²x, czyli

wk(0) = ²_l ^₀^l−αA sin√

a⁻²x^sin
_2l^π(1 + 2k)x^ dx =

= ^αA_l ^₀^l−2 sin√

a⁻²x sin
_2l^π(1 + 2k)x^ dx =

= ^αA_l ^₀^lcos
^_2l^π(1 + 2k) +√

a^−2x^ dx −^₀^lcos
^_2l^π(1 + 2k) −√

a^−2x^ dx.

1 Przykładowe rozwiązania 4

Oznaczmy

ck = π

2l(1 + 2k) +√

a⁻², ¯ck = π

2l(1 + 2k) −√ a⁻². Wtedy

wk(0) = αA l

 1

ck sin[c_kx] − 1

¯

ck sin[ ¯ckx]^

l 0



= αA l

1

ck sin[c_kl] − 1

¯

ck sin[ ¯ckl]



.

Mamy wiec warunek

wk(0) = αA l

1

ck sin[c_kl] − 1

¯

ck sin[ ¯ckl]



, (4)

a z (2) funkcja (3) musi spełniać

∞ k=1

w_k
(t) sin^π

2l(1 + 2k)x^= a^2∞

k=1

−^π

2l(1 + 2k)^2wk(t) sin^π

2l(1 + 2k)x^. Porównujac wyrazy szeregu, mamy

w_k
(t) = −a^2π

2l(1 + 2k)^2wk(t).

Jest to równanie różniczkowe zwyczajne pierwszego rzedu jednorodne, wi
ec
w_k
(t)

wk(t) = −a^2π

2l(1 + 2k)^2 wystarczy scałkować stronami. Wtedy

wk(t) = β exp

−a^2π

2l(1 + 2k)^2t



.

Z warunku (4) znajdziemy β :

β = w_k(0) = αA l

1

ck sin[c_kl] − 1

c¯k sin[ ¯ckl]



.

Ostatecznie otrzymujemy kolejno:

wk(t) = αA l

1

ck sin[c_kl] − 1

¯

ck sin[ ¯ckl]



exp

−a^2π

2l(1 + 2k)^2t



,

V (x, t) =

∞ k=1

wk(t) sin^π

2l(1 + 2k)x^, u(x, t) = αA sin^√

a⁻²x^e^−t + V (x, t), gdzie α = _cos^√|a|_a−2l, ck = _2l^π(1 + 2k) +√

a⁻², ¯ck = _2l^π(1 + 2k) −√ a⁻².

2 Zestaw zadań do ćwiczenia samodzielnego

1. Rozwia¸zać zagadnienie mieszane dla równania przewodnictwa cieplnego w ośrodku jednowymiaro- wym z warunkami brzegowymi: u(0, t) = u(1, t) = 0 i warunkiem pocza¸tkowym u(x, 0) = x³− x.

2. Znaleźć rozkład temperatury w chwili t w pre¸cie jednorodnym wypełniajcacym przedział 0, 1

osi x, jeśli rozkład pocza¸tkowy określony jest funkcja¸ ϕ(x) = 2x³− 3x²+ 1. Zakładamy, że zjawisko rozchodzenia sie¸ ciepła przebiega adiabatycznie.

3. Zastosować metode¸ Fouriera do rozwia¸zania zagadnienia mieszanego dla równania przewodnictwa cieplnego (w pre¸cie o stałej temperaturze na końcach) z warunkiem brzegowym u(0, t) = u(1, t) = 0 i warunkiem pocza¸tkowym:

(i) u(x, 0) =







hbx dla x ∈ 0, b,

b−1h x −_b−1^h dla x ∈ (b, 1;

(ii) u(x, 0) =













0 dla x ∈ 0, α), h dla x ∈ α, β, 0 dla x ∈ (β, 1;

(iii) u(x, 0) =













0 dla x ∈ 0, a,

h(x−a)

b−a dla x ∈ (a, b), 0 dla x ∈ b, 1;

gdzie h > 0. Sprawdzić, czy

1⁰) otrzymany szereg jest zbieżny i przedstawia rozwia¸zanie równania,

2⁰) jego suma spełnia we wszystkich punktach przedziału 0, 1 warunek pocza¸tkowy.

4. W półpasie 0 < x < l, t > 0 dla równania ut = a²uxx rozwia¸zać zagadnienie mieszane przy naste¸puja¸cych warunkach:

(i) u(0, t) = u(l, t) = 0, u(x, 0) = Ax, (ii) u(0, t) = ux(l, t) = 0, u(x, 0) = ϕ(x), (iii) ux(0, t) = u(l, t) = 0, u(x, 0) = A(l − x), (iv) ux(0, t) = ux(l, t) = 0, u(x, 0) = U.

5. W półpasie0 < x < l, t > 0 rozwia¸zać zagadnienie mieszane:

(i) ut = a²uxx − βu, u(0, t) = u(l, t) = 0, u(x, 0) = ϕ(x), (ii) ut = a²uxx − βu, u(0, t) = ux(l, t) = 0, u(x, 0) = sin^πx_2l,

BIBLIOGRAFIA 6

(iii) ut = a²uxx − βu, ux(0, t) = ux(l, t) = 0, u(x, 0) = ϕ(x), (iv) ut = a²uxx, u(0, t) = T , u(l, t) = U, u(x, 0) = 0,

(v) ut = a²uxx + f (x), u(0, t) = 0, u_x(l, t) = q, u(x, 0) = ϕ(x), (vi) ut = a²uxx, u_x(0, t) = u_x(0, l) = q, u(x, 0) = Ax,

(vii) ut = a²uxx − βu + sin^πx_l , u(0, t) = u(l, t) = 0, u(x, 0) = 0, (viii) ut = a²uxx, u(0, t) = 0, u_x(l, t) = Ae^−t, u(x, 0) = T , (ix) ut = a²uxx, ux(0, t) = At, ux(l, t) = T , u(x, 0) = 0.

Bibliografia

[1] W. I. Arnold, Metody matematyczne mechaniki klasycznej, PWN, Warszawa 1981.

[2] W. I. Arnold, Równania różniczkowe zwyczajne, PWN, Warszawa 1975.

[3] W. I. Arnold, Teoria równań różniczkowych, PWN, Warszawa 1983.

[4] A. W. Bicadze, Równania fizyki matematycznej, PWN, Warszawa 1984.

[5] A. W. Bicadze, D. F. Kaliniczenko, Zbiór zadań z równań fizyki matematycznej, PWN, Warszawa 1984.

[6] P. Biler Prof. dr hab.- redakcja naukowa, Warsztaty z równań różniczkowych czastkowych, Toruń 2003.
[7] Birkholc A. Analiza matematyczna. Funkcje wielu zmiennych, Wydawnictwo Naukowe PWN, Warszawa 2002.

[8] D. Bleecker, G. Csordas, Basic Partial Differential Equations, Chapman & Hall, Oxford 1995.

[9] L. Evans, Równania różniczkowe czastkowe, PWN, Warszawa 2002.
[10] Fichtenholz G.M. Rachunek różniczkowy i całkowy, PWN, Warszawa 1980.

[11] J. Jost, Postmodern Analysis, Springer-Verlag,Berlin-Heidelberg-New York 2002.

[12] W. Kołodziej, Wybrane rozdziały analizy matematycznej, PWN, Warszawa 1982.

[13] H. Marcinkowska, Wstep do teorii równań różniczkowych cz
astkowych, PWN, Warszawa 1972.
[14] J. Musielak, Wstep do analizy funkcjonalnej, PWN, Warszawa 1976.

[15] Ockendon J., Howison S., Lacey A., Movxhan A., Applied Partial Differential Equations, Oxford University Press, 2003.

[16] J. Ombach, Wykłady z równań różniczkowych wspomagane komputerowo -Maple, Wydawnictwo Uniwersytetu Jagiellońskiego, Kraków 1999.

[17] B. Przeradzki, Równania różniczkowe czastkowe. Wybrane zagadnienia, Wydawnictwo Uniwersytetu Łódz-
kiego, Łódź 2000.

[18] B. Przeradzki, Teoria i praktyka równań różniczkowych zwyczajnych, Wydawnictwo Uniwersytetu Łódzkiego, Łódź 2003.

[19] M. M. Smirnow, Zadania z równań różniczkowych czastkowych, PWN, Warszawa 1970.

[20] P. Strzelecki, Krótkie wprowadzenie do równań różniczkowych czastkowych, Wydawnictwo Uniwersytetu War-
szawskiego, Warszawa 2006.

[21] B. W. Szabat, Wstęp do analizy zespolonej, PWN, Warszawa 1974.

[22] Whitham G.B., Lecture notes on wave propagation , Springer-Verlag, Berlin-Heidelberg-New York 1979.

[23] Zauderer, Partial Differential Equations of Applied Mathemathics, John Wiley & Sons, Singapore-New York- Chichester-Brisbane-Toronto 1989.