Spistreści Równaniafalowe

Równania falowe

Spis treści

1 Przykładowe rozwiązania 2

2 Zestaw zadań do ćwiczenia samodzielnego 12

1 Przykładowe rozwiązania

Zadanie 1.1.

Rozważmy problem drgania struny jednorodnej o zamocowanych końcach:

uxx = 1 a²utt,

gdzie a jest stała różn
a od 0. Jest to rodzaj równania falowego, przy czym funkcja u(x, t) jest funkcj
a
wychylenia struny z położenia równowagi (w położeniu równowagi zajmuje ona przedział
0, π na osi x). Określamy warunki brzegowe

u(0, t) = u(π, t) = 0, (1)

co oznacza, że końce struny sa nieruchome, oraz warunki pocz
atkowe

u(x, 0) = φ(x), ut(x, 0) = ψ(x) (2)

dla t  0 i x ∈
0, π , przy czym równości

φ(0) = φ(π) = 0, φ

(0) = φ

(π) = 0, ψ(0) = ψ(π) = 0

sa warunkami zgodności mi
edzy warunkami pocz
atkowymi (2) a brzegowymi (1). Funkcja φ(x) określa
poczatkowy kształt struny, a ψ(x) określa rozkład pr
edkości pocz
atkowej.

Znaleźć rozwiazania równania. Co należy założyć o funkcjach φ i ψ, aby uzyskać rozwi
azanie w sensie
klasycznym?

Metoda szukania nietrywialnego rozwiazania polega na zostosowaniu techniki rozdzielenia zmiennych
i poszukiwania rozwiazań u(x, t) w postaci:

u(x, t) =

∞ k=1

vk(x) · wk(t).

Jeśli każdy składnik tej sumy spełnia równanie różniczkowe, to v_k

(x)wk(t) = 1

a²vk(x)w_k

(t), v_k

(x)

vk(x) = 1 a²

w_k

(t) wk(t).

Stosunek ten jest zatem stały. Niech wynosi λk. Wtedy dostajemy dwa równania:

v_k

(x)

vk(x) = λk i 1 a²

w_k

(t)

wk(t) = λk. (3)

Jeśli zażadamy, by każdy składnik sumy spełniał warunki brzegowe Dirichleta (1), to ponieważ 0 =
vk(0)wk(t), to vk(0) = 0, a ponieważ 0 = vk(π)wk(t), to vk(π) = 0. Stad wniosek, że funkcja v
k

jest rozwiazaniem równania różniczkowego zwyczajnego z warunkami brzegowymi typu Dirichleta:
v_k

(x) − λkvk(x) = 0, vk(0) = vk(π) = 0. (4) Oczywiście takie rozwiazanie istnieje dla dowolnej stałej λ
k : vk(x) ≡ 0. Interesuja nas takie warto-
ściλk, dla których mamy rozwiazania nietrywialne. Niech v
k(x) = e^αx. Wtedy z równania (4) mamy α²e^αx − λ_ke^αx = 0, czyli α² = λk.

Jeśli λk > 0,to rozwiazaniem s
a funkcje v
k(x) = C1e^√λkx + C2e^−√λkx. Z warunków brzegowych (4) otrzymamy C1 = C2 = 0 i stad v
k(x) ≡ 0. Podobnie dla λk = 0. Jeśli natomiast λk < 0, to vk(x) = C1cos√

−λkx + C2sin√

−λkx. Z warunku vk(0) = 0 mamy C1 = 0, a z warunku vk(π) = 0 mamy

C2sin

−λ_kπ = 0.

Jeśli wiec chcemy, by C
2 = 0, to musimy wziać λ
k = −k², n = 1, 2, ... , by funkcje vk(x) = sin kx były nietrywialnymi rozwiazaniami (4). Zatem szukana postać rozwi
azania jest teraz nast
epuj
aca:

u(x, t) =

∞

k=1sin kxwk(t).

Zajmijmy sie teraz drugim równaniem (3) z λ
k = −k². Ma ono postać w_k

(t) = −a²k²wk(t),

czyli jest to znowu równanie różniczkowe liniowe drugiego rzedu o stałych współczynnikach. Mamy,
jak poprzednio:

wk(t) = Cksin akt + Dkcos akt, (5)

gdzie Ck, Dk ∈ R sa dowolnymi stałymi. Trzeba tak dobrać te stałe, by funkcja u (ostatnio wyliczona)
spełniała warunki poczatkowe (2). Otrzymujemy:

φ(x) = u(x, 0) =
^∞

k=1

sin kxwk(0),

ψ(x) = ut(x, 0) =

∞ k=1

sin kxw_k
(0).

Widać wiec, że w
k(0) i w_k
(0) sa współczynnikami rozwini
ecia w szereg Fouriera funkcji φ i ψ,
odpowiednio, czyli

wk(0) = 2 π

 _π

0 φ(t) sin kt dt, w_k
(0) = 2 π

 _π

0 ψ(t) sin kt dt. (6)

Wykorzystujac teraz (5) i (6), mamy

wk(0) = Cksin 0 + Dkcos 0 = Dk, w_k
(0) = akCkcos 0 − akDksin 0 = akCk, wiec D
k = wk(0) i Ck = ^wk_ak
⁽⁰⁾. Stad otrzymujemy postać funkcji u

u(x, t) =

∞ k=1

sin kx

w_k
(0)

ak sin akt + wk(0) cos akt



,

gdzie wk(0) i w_k
(0) sa dane wzorami (6). Jest to oczywiście tylko kandydat na rozwi
azanie, bo nie
wiemy jeszcze, czy ta funkcja jest ciagła oraz czy szereg (wyst
epuj
acy po prawej stronie) dopusz-
cza dwukrotne różniczkowanie wyraz po wyrazie z zachowaniem niemal jednostajnej zbieżności dla t  0, x ∈
0, π .

Załóżmy, że φ i ψ daja si
e rozszerzyć na cał
a oś rzeczywist
a do funkcji okresowych o okresie 2π,
nieparzystych i φ ∈ C⁴, ψ ∈ C³. Wtedy całkujac cztery razy przez cz
eści, dostajemy

wk(0) = 2 πk⁴

 _π

0 φ⁽⁴⁾(t) cos kt dt, czyli dla pewnych A, B > 0

|w_k(0)|  2

πk⁴π sup |φ⁽⁴⁾(t)| = A k⁴ i analogicznie, całkujac trzy razy przez cz
eści, możemy oszacować:

|w_k
(0)|  2π

πk³π sup |ψ⁽³⁾(t)| = B k³. W takim razie możemy oszacować wyrazy szeregu



sin kx

w_k
(0)

ak sin akt + wk(0) cos akt^_ B ak⁴ + A

k⁴  B + aA k⁴ ,

a szereg^∞_{k=1 k}¹₄ jest zbieżny jako harmoniczny rzedu 4. Zatem na podstawie kryterium Weierstrassa
szereg wyjściowy jest jednostajnie zbieżny. Analogicznie można oszacować pochodne (wzgledem x)
wyrazów szeregu:



k cos kx

w_k
(0)

ak sin akt + wk(0) cos akt^ B + aA ak³

i otrzymamy jednostajna zbieżność szeregu pochodnych, a wi
ec możliwość różniczkowania szeregu
wyraz po wyrazie. Dla kolejnego różniczkowania mamy



−k²sin kx

w_k
(0)

ak sin akt + wk(0) cos akt^ B + aA ak² .

Analogicznie postepujemy, by wykazać możliwość dwukrotnego różniczkowania szeregu wyraz po
wyrazie wzgledem t:



sin kx

w_k
(0)

ak ak cos akt − wk(0)ak sin akt^_  B + aA k³ ,

sin kx^−akw_k
(0) sin akt(ak)²wk(0) cos akt ^ B + aA k² . Zatem

u(x, t) =

∞ k=1sin kx

w_k
(0)

ak sin akt + wk(0) cos akt



jest rozwiazaniem równania w sensie klasycznym, u ∈ C
² i jest to rozwiazanie jedyne.

Warunek o możliwości odpowiedniego rozszerzenia funkcji φ i ψ jest spełniony, gdy φ ∈ C⁴((0, π)) i ψ ∈ C³((0, π)) oraz np. istnieja granice:

x→0lim⁺

d^jφ(x)

dx^j , lim

x→π⁻

d^jφ(x)

dx^j , dla 0  j  4,

x→0lim⁺

d^jψ(x)

dx^j , lim

x→π⁻

d^jψ(x)

dx^j , dla 0  j  3, przy czym zachodza równości:

x→0lim⁺φ(x) = lim

x→0⁺

d²φ(x)

dx² = lim

x→0⁺

d⁴φ(x) dx⁴ = 0,

x→0lim⁺ψ(x) = lim

x→0⁺

d²ψ(x) dx² = 0.

Założenia na funkcje φ i ψ sa dosyć restrykcyjne i nie stanowi
a one warunku koniecznego, by
rozwiazanie u było klasyczne. Można je osłabić, inaczej wykonuj
ac szacowania (por.[17]).

Zadanie 1.2.

Zastosować metode rozdzielania zmiennych do równania niejednorodnego:
utt = a²uxx + Ae^−tcos π

2lx (7)

przy warunku brzegowym

ux(0, t) = u(l, t) = 0 (8)

i poczatkowym

u(x, 0) = ut(x, 0) = 0 (9)

w półpasie 0  x  l, t  0.

Zauważmy od razu, że warunki poczatkowe i brzegowe s
a zgodne. Jeśli zaniedbamy funkcj
e Ae
^−tcos _2l^πx, to rozwiazań możemy poszukiwać, jak poprzednio w postaci v (x)·w (t), czyli dojdziemy do tożsamości
v (x)w

(t) = a²v

(x)w (t), która oznacza

v

(x)

v (x) = λ = 1

a² · w

(t) w (t) .

Otrzymujemy wiec równanie v


(x)λv (x) = 0, dla którego wyznaczymy warunki brzegowe z (8):

0 = u(l, t) = v (l)w (t) =⇒ v (l) = 0, 0 = ux(0, t) = v
(0)w (t) =⇒ v
(0) = 0.

Rozwiażemy wi
ec nast
epuj
ace równanie:

v

(x)λv (x) = 0, v (l) = 0 = v
(0). (10) Jak poprzednio, dla λ  0 dostajemy tylko rozwiazania zerowe, a dla λ < 0 mamy:

v (x) = C1cos√

−λx + C2sin√

−λx, zatem v
(0) = √

−λC2 = 0, gdy C2 = 0, a v (l) = C1cos√

−λl = 0, gdy √

−λl = ^π₂ + 2kπ, k jest liczba naturaln
a. St
ad mamy wartości własne: λ
k = −^(2k+1)_4l2^2π2 i funkcje własne:

vk(x) = cos^2k+1_2l πx , k = 0, 1, 2, ... . Bedziemy wi
ec poszukiwać rozwi
azań problemu brzegowo-
poczatkowego w postaci

u(x, t) =

∞

k=0wk(t) cos

2k + 1 2l πx



.

Zakładajac, że dozwolone jest różniczkowanie szeregu wyraz po wyrazie, to z (7)

∞

k=0vk(x)w_k

(t) =

∞

k=0a²v_k

(x)wk(t) + Ae^−tcos π 2lx, czyli

∞

k=0w_k

(t) cos

2k + 1 2l πx



= −a²

∞ k=0

2k + 1 2l π

₂

wk(t) cos

2k + 1 2l πx



+ Ae^−t cos π

2lx, (11) Zauważmy, że ostatni składnik po prawej stronie tego równania można zapisać jako:

Ae^−t cos π

2lx = Ae^−tcos2k + 1

2l πx, dla k = 0.

Zatem równanie (11) można zapisać w postaci układu, porównujac kolejno wyrazy szeregów, dla
k = 0 :

w₀

(t) cos

2 · 0 + 1

2l πx= −a²

2 · 0 + 1

2l π²w0(t) cos

2 · 0 + 1

2l πx+ Ae^−tcos2 · 0 + 1 2l πx

i dla k > 0 :

w_k

(t) cos

2k + 1 2l πx



= −a²

2k + 1 2l π

₂

wk(t) cos

2k + 1 2l πx



. Po skóceniu otrzymujey:

w₀

(t) = −a²

1

2lπ²w0(t) + Ae^−t, w_k

(t) = −a²

2k + 1 2l π

₂

wk(t).

Z warunków poczatkowych (9) mamy teraz
0 = u(x, 0) =

∞

k=0wk(0) cos

2k + 1 2l πx



,

0 = ut(x, 0) =

∞

k=0w_k
(0) cos

2k + 1 2l πx



,

czyli wk(0) = w_k
(0) = 0 jako rozwiniecia w szereg Fouriera funkcji zerowych. Otrzymujemy wi
ec do
rozwiazania dwa rówania:

w₀

(t) + a²

1

2lπ²w0(t) = Ae^−t, w0(0) = w₀
(0) = 0 (12) i

w_k

(t) + a²

2k + 1 2l π

₂

wk(t) = 0, wk(0) = w_k
(0) = 0. (13) Zajmijmy sie najpierw (13). Jest to równanie jednorodne, a szukan
a funkcj
a jest

wk(t) = B1cos

2k + 1 2l πat



+ B2sin

2k + 1 2l πat



.

Z warunków poczatkowych mamy wtedy 0 = w
k(0) = B1 oraz 0 = w_k
(0) = B2aπ^2k+1_2l , czyli B2 = 0.

Zatem rozwiazaniem tego równania jest w
k(t) ≡ 0 dla k > 0. Rozwiażemy teraz (12). Zauważmy,
że rozwiazaniem równania jednorodnego jest

˜

w0(t) = B1cos

aπ 2l t

+ B2sin

aπ 2l t

.

Mo zemy teraz zastosować technike przewidywań lub uzmienniania stałych. Przewidujemy rozwi
azanie
szczególne w postaci:

¯

w0(t) = Me^−t

dla pewnej stałej M. Wtedy ¯w0

(t) = ¯w0(t) i po wstawieniu do równania (12) dostajemy:

Me^−t +

aπ 2l

₂

Me^−t = Ae^−t,

czyli stała M musi być równa _(2l)^A(2l)2+(aπ)^{2 2}. Całka szczególn
a równania jest wi
ec

¯

w0(t) = A(2l)²

(2l)²+ (aπ)²e^−t.

Ostateczne rozwiazanie jest sum
a rozw
azania ogólnego i szczególnego, czyli
w0(t) = ˜w0(t) + ¯w0(t) = B1cos

aπ 2l t

+ B2sin

aπ 2lt

+ A(2l)²

(2l)²+ (aπ)²e^−t. Z warunków poczatkowych, dostajemy teraz

B1= − A(2l)²

(2l)²+ (aπ)², B2 = A(2l)³ ((2l)²+ (aπ)²) aπ.

Ostatecznie postać szeregu w rozwiazaniu u redukuje si
e tylko do składnika z k = 0, wi
ec
u(x, t) = w0(t) cos

1

2lπx= (2l)²A

(2l)²+ (aπ)² cos

1

2lπx − cosaπ 2l t

+ 2l aπsin

aπ 2l t

+ e^−t

. Jak widać jest to rozwiazanie klasyczne (nie ma szeregu, a wszystkie funkcje wyst
epuj
ace po prawej
stronie sa klasy C
^∞.)

–300 –200 –100 100 200 300

–4 –2

2 4

t

–40 –50 –20 –30

–10 x

Wykres rozwiązania

Na koniec przypomnijmy tylko, że wspomniana wcześniej matoda uzmienniania stłych dla równania (12) polega na rozwiazaniu układu:







0 = B₁
(t) cos^aπ_2lt + B₂
(t) sin^aπ_2lt ,

Ae^−t = B₁
(t)^−^aπ_2l sin^aπ_2lt + B₂
(t)^aπ_2l cos^aπ_2lt i scałkowaniu znalezionych B₁
i B₂
.

Zadanie 1.3.

Rozwiazać zagadnienie

uxx = utt (14)

z warunkami poczatkowymi

u(x, 0) = sin x, ut(x, 0) = 0 (15)

i niejednorodnymi warunkami brzegowymi

u(0, t) = t², u(π, t) = t³ (16)

dla 0  x  π i t  0.

Należy poszukiwać rozwiazań w postaci

u(x, t) = W (x, t) + V (x, t),

gdzie funkcja W (x, t) = r0(x)t² + r1(x)t³ jest tak dobrana, by spełniała warunki brzegowe niejed- norodne (czyli wtedy warunki na V bed
a jednorodne i b
edzie można j
a znaleźć metod
a rozdzielania
zmiennych). Zwykle r0 i r1 sa funkcjami liniowymi zmiennej x. Możemy wyznaczyć warunki na te
funkcje, skoro W ma spełniać warunki brzegowe (16):

t² = W (0, t) = r0(0)t²+ r1(0)t³, czyli r0(0) = 1 i r1(0) = 0, a z

t³ = W (π, t) = r0(π)t²+ r1(π)t³,

otrzymamy r0(π) = 0 i r1(π) = 1. Skoro wiec s
a to funkcje liniowe zmiennej x, to z postaci r
0(x) = ax + b i z warunków na te funkcj
e, otrzymujemy, że a = −
_π¹, b = 1, a z postaci r1(x) = cx + d i z warunków na te funkcj
e: c =
_π¹, d = 0. Mamy wiec

W (x, t) =

−x π + 1

t²+ x πt³. Łatwo sprawdzić teraz, że V spełnia jednorodne warunki brzegowe.

Przekształcimy teraz równanie (14), używajac znalezionej postaci funkcji W . Ponieważ
Wxx+ Vxx = Wtt + Vtt,

to dostajemy równanie niejednorodne:

Vxx = Vtt + 2

1 − x π

+ 6x

πt (17)

z jednorodnymi warunkami brzegowymi

V (0, t) = V (0, π) = 0 (18)

i z warunkami poczatkowymi

V (x, 0) = u(x, 0) − W (x, 0) = sin x, Vt(x, 0) = ut(x, 0) − Wt(x, 0) = 0. (19) Zatem rozwiazania równania (17) szukamy metod
a rozdzielania zmiennych; V (x, t) = v (x)w (t) dla
równania jednorodnego i otrzymujemy, jak poprzednio

v

(x)

v (x) = λ = w

(t) w (t),

z warunkami v (x) = v (π) = 0 dla równania z funkcja v : v


(x) − λv (x) = 0. Rozwiazuj
ac ten
ostatni problem, dostajemy ciag wartości własnych λ
k = −k² i odpowiadajacy mu ci
ag funkcji
vk(x) = sin kx, k = 1, 2, ... . Zatem mamy rozwiazanie w postaci

V (x, t) =

∞

k=1wk(t) sin kx.

Po wstawieniu do równania różniczkowego (17) dostaniemy

∞ k=1

(−k²)wk(t) sin kx =

∞ k=1

w_k

(t) sin kx + 2

1 − x π

+ 6x

πt. (20)

Ostatnie dwa składniki wystepuj
ace po prawej stronie należy teraz rozwin
ac w szereg wzgl
edem
sinusów, aby móc wykonać porównanie wyraz po wyrazie. Mamy

2

1 − x π

+ 6x πt =

∞ k=1

aksin kx, czyli

ak = 2 π

 _π

0



2

1 − x π

+ 6x πt



sin kx dx.

Całkujac przez cz
eści, mamy:
ak = 2

π



2 −2x π + 6x

π t

−1

k cos kx^_

π 0 + 1

k

 _π

0

−2 π + 6

πt

cos kx dx



, czyli

ak = 2

kπ(−6t cos kπ + 2) . Wracajac do równania (20), otrzymujemy teraz:

∞

k=1(−k²)wk(t) sin kx =

∞

k=1w_k

(t) sin kx +

∞ k=1

2

kπ(−6t cos kπ + 2) sin kx.

Porównujac teraz wyrazy szeregu, dostajemy równanie różniczkowe zwyczajne niejednorodne
w_k

(t) + k²wk(t) = 2

kπ(−6t cos kπ + 2) z warunkami wyznaczonymi z (19):

sin x = V (x, 0) =

∞

k=1wk(0) sin kx, 0 = Vt(x, 0) =

∞

k=1w_k
(0) sin kx.

Wynika stad, że w
_k
(0) = 0, k = 1, 2, ... , w₁
(0) = 1 i w_k
(0) = 0 dla k = 1. Mamy wiec do
rozwiazania dwa równania:

w₁

(t) + 1²w1(t) = 2

1 · π (6t cos(1 · π) − 2) , w1(0) = 1, w₁
(0) = 0, (21)

w_k

(t) + k²wk(t) = 2

kπ(6t cos(kπ) − 2) , wk(0) = w_k
(0) = 0, dla k = 1, 2, ... . (22) Zauważmy, że równanie jednorodne w obu przypadkach jest takie samo:

w_k

(t) + k²wk(t) = 0, wiec jego rozwi
azaniem jest

˜

wk(t) = A sin kt + B cos kt.

Stosujemy metode przewidywań (po prawej stronie, jednakowej dla obu obu równań niejednorodnych,
wystepuje funkcja liniowa zmiennej t):

¯

wk(t) = Mt + N.

Wtedy mamy:

k²(Mt + N) = 12 cos kπ kπ t − 4

kπ, wiec N =
^{12 cos kπ}_k3π i N = −_k⁴3π. Ostatecznie mamy

wk(t) = ˜wk(t) + ¯wk(t) = A sin kt + B cos kt + 12 cos kπ

k³π t − N = − 4 k³π.

Z (22) 0 = wk(0) = B − _k⁴3π, wiec B +
_k⁴3π, a 0 = w_k
(0) = kA + ^{12 cos kπ}_k3π , wiec A = −
^{12 cos kπ}_k4π . Natomiast z (21) mamy 1 = w1(0) = B −_π⁴, wiec B = 1 +
_π⁴ i 0 = w₁
(0) = A −¹²_π implikuje A = ¹²_π.

Mamy wiec teraz postać wszystkich w
k i możemy zapisać kolejno rozwiazania:
wk(t) = 4

k³π



−3

kcos kπ sin kt + cos kt + 3t cos kπ − 1



, k = 2, 3, ... ,

w1(t) = 1

π(12 sin t + (4 + π) cos t − 12t − 4),

V (x, t) = w1(t) sin x +^∞_k=2wk(t) sin kx =

= _π¹sin x(12 sin t + (4 + π) cos t − 12t − 4)+

+ ^∞_{k=2 k}⁴3πsin kx^−³_k cos kπ sin kt + cos kt + 3t cos kπ − 1^ i ostatecznie

u(x, t) = W (x, t) + V (x, t) =

=

x π + 1

t²+ ^x_πt³+ ¹_πsin x(12 sin t + (4 + π) cos t − 12t − 4)+

+ ^∞_{k=2 k}⁴3πsin kx^−³_k cos kπ sin kt + cos kt + 3t cos kπ − 1^.

2 Zestaw zadań do ćwiczenia samodzielnego

1. Zastosować metode¸ Fouriera do wyznaczenia drgań podłużnych pre¸ta o długości jednostkowej przy naste¸puja¸cych warunkach pocza¸tkowych:

u(x, 0) = ψ(x), ut(x, 0) = 0, gdzie

ψ(x) =













0 dla x ∈
0, a,

h(x−a)

b−a dla x ∈ (a, b), h > 0, 0 dla x ∈
b, 1.

Udowodnić, że otrzymany szereg:

(i) jest zbieżny na całej płaszczyźnie xt, przy czym zbieżność ta jest niemal jednostajna na każdym prostoka¸cie otwartym ograniczonym prostymi: x ± t = 2k − b, −x ± t = 2k − b k ∈ Z. (Wsk.

Można udowodnić, że jeśli (an) da¸ży monotonicznie do 0, to^∞_n=1ansin nx jest jednostajnie zbieżny w każdym przedziale domknie¸tym nie zawieraja¸cym punktów x = 2kπ, k ∈ Z);

(ii) jego suma spełnia warunki pocza¸tkowe w całym przedziale
0, 1 z wyjątkiem punktu x = b;

(iii) sprawdzić, czy otrzymany szereg jest dwukrotnie różniczkowalny wyraz po wyrazie w każdym z prostoka¸tów z i).

2. Wyznaczyć drgania podłużne pre¸ta o długości jednostkowej przy warunkach pocza¸tkowych u(x, 0) = 0, ut(x, 0) = ψ(x), gdzie ψ jest określona, jak w zadaniu poprzednim. Udowodnić, że szereg otrzy- many metoda¸ Fouriera:

(i) jest zbieżny w całej płaszczyźnie xt,

(ii) jego suma spełnia warunki pocza¸tkowe w całym przedziale
0, 1 z wyja¸tkiem punktu x = b,

(iii) stanowi rozwia¸zanie zagadnienia, czyli szereg jest zbieżny jednostajnie i u(x, t) jest klasy C².

3. Rozwia¸zać naste¸puja¸ce równania:

(i) utt = uxx + bx(x − l) przy jednorodnych warunkach pocza¸tkowych i brzegowych u(0, t) = 0, u(l, t) = 0;

(ii) ^∂_∂t^2u₂ = ^∂_∂x^2u2 + x(x − l)t² przy jednorodnych warunkach pocza¸tkowych i brzegowych u(0, t) = 0, u(l, t) = 0;

(iii) ^∂_∂t^2u₂ = t^{α ∂}_∂x^2u2, (α > −1) spełniaja¸ce warunki pocza¸tkowe u|t=0 = ϕ0(x), ^∂u_{∂t |t=0} = ϕ1(x) oraz jednorodne warunki brzegowe u|x=0= 0, u|x=a = 0.

4. W półpasie a < x < b, t > 0 rozwia¸zać zagadnienie brzegowe uxx = utt, u(a, t) = u(b, t) = 0.

Czy jest to rozwia¸zanie jedyne?

5. W półpasie a < x < l, t > 0 rozwia¸zać zagadnienie mieszane dla równania utt = a²uxx przy warunkach:

(i) u(0, t) = u(l, t) = 0, u(x, 0) = 0, ut(x, 0) = sin^2π_l x;

(ii) u(0, t) = ux(l, t) = 0, u(x, 0) = x, ut(x, 0) = sin_2l^πx + sin^3π_2lx.

6. W półpasie a < x < l, t > 0 rozwia¸zać zagadnienie mieszane dla równania utt = a²uxx + f (x) przy warunkach:

(i) u(0, t) = α, u(l, t) = β, u(x, 0) = ϕ(x), ut(x, 0) = ψ(x),

(ii) ux(0, t) = α, ux(l, t) + hu(l, t) = β, u(x, 0) = ut(x, 0) = 0, h > 0.

7. Posługuja¸c sie¸ rozkładem u(x, t) = V (x, t) + W (x, t), rozwia¸zać:

(i) uxx = utt u(0, t) = µ(t), u(l, t) = ν(t), u(x, 0) = ϕ(x), ut(x, 0) = ψ(x);

(ii) uxx = utt+ f (x, t) u(0, t) = µ(t), ux(l, t) + hu(l, t) = ν(t), h > 0, u(x, 0) = 0, ut(x, 0) = ψ(x).

8. W półpasie a < x < l, t > 0 rozwia¸zać zagadnienie mieszane dla równania utt = a²uxx+ f (x, t) przy warunku pocza¸tkowym u(x, 0) = 0, ut(x, 0) = 0 i naste¸puja¸cym warunku brzegowym i funkcji f :

(i) u(0, t) = u(l, t) = 0, f (x, t) = Ae^−tsin^π_lx, (ii) u(0, t) = u(l, t) = 0, f (x, t) = Axe^−t, (iii) u(0, t) = ux(l, t) = 0, f (x, t) = A sin t, (iv) u(0, t) = u(l, t) = 0, f (x, t) = Ae^−t cos_2l^πx.

9. Rozwia¸zać naste¸puja¸ce zagadnienia mieszane:

(i) uxx = utt z warunkami: u(0, t) = t², u(π, t) = t³, u(x, 0) = sin x, ut(x, 0) = 0, gdzie 0 < x < π, t > 0,

(ii) uxx = utt z warunkami: u(0, t) = e^−t, u(π, t) = t, u(x, 0) = sin x cos x, ut(x, 0) = 1, gdzie 0 < x < π, t > 0,

(iii) uxx = utt z warunkami: u(0, t) = t, ux(π, t) = 1, u(x, 0) = sin ¹₂x, ut(x, 0) = 1, gdzie 0 < x < π, t > 0,

(iv) utt = a²uxx + sin 2t z warunkami: ux(0, t) = t², ux(l, t) = ²_asin^2l_a sin 2t, u(x, 0) = 0, ut(x, 0) = −2 cos^2x_a, gdzie 0 < x < l, t > 0.

10. Napisać zagadnienie, do którego w wyniku rozdzielenia zmiennych u(x, y , t) = v (x, y )w (t) sprowadza sie¸ mieszane zagadnienie brzegowe:

uxx+ uyy − utt = 0,

u(x, y , t) = 0, t > 0, (x, y ) ∈ C ,

u(x, y , 0) = ϕ(x, y ), ut(x, y , 0) = ψ(x, y ), (x, y ) ∈ G ,

gdzie G jest obszarem płaszczyzny zmiennych x i y o brzegu C , a ϕ(x, y ) i ψ(x, y ) sa¸ danymi funk- cjami cia¸głymi.

11. Wykazać, że jeżeli u(x, t) jest rozwiązaniem równania uxx − u_tt = 0, to rozwiązaniem tego równania jest także funkcja

v (x, t) = u

x

x²− t², t x²− t²

wszędzie tam, gdzie ona jest określona.

12. Wykazać, że jeżeli u(x, t) o ciągłych pochodnych cząstkowych trzeciego rzędu jest rozwiąza- niem równania uxx− utt = 0, to rozwiązaniem tego równania jest także funkcja

v (x, t) = u

x

x²− t², t x²− t²

.

Bibliografia

[1] W. I. Arnold, Metody matematyczne mechaniki klasycznej, PWN, Warszawa 1981.

[2] W. I. Arnold, Równania różniczkowe zwyczajne, PWN, Warszawa 1975.

[3] W. I. Arnold, Teoria równań różniczkowych, PWN, Warszawa 1983.

[4] A. W. Bicadze, Równania fizyki matematycznej, PWN, Warszawa 1984.

[5] A. W. Bicadze, D. F. Kaliniczenko, Zbiór zadań z równań fizyki matematycznej, PWN, Warszawa 1984.

[6] P. Biler Prof. dr hab.- redakcja naukowa, Warsztaty z równań różniczkowych czastkowych, Toruń 2003.
[7] Birkholc A. Analiza matematyczna. Funkcje wielu zmiennych, Wydawnictwo Naukowe PWN, Warszawa 2002.

[8] D. Bleecker, G. Csordas, Basic Partial Differential Equations, Chapman & Hall, Oxford 1995.

[9] L. Evans, Równania różniczkowe czastkowe, PWN, Warszawa 2002.
[10] Fichtenholz G.M. Rachunek różniczkowy i całkowy, PWN, Warszawa 1980.

[11] J. Jost, Postmodern Analysis, Springer-Verlag,Berlin-Heidelberg-New York 2002.

[12] W. Kołodziej, Wybrane rozdziały analizy matematycznej, PWN, Warszawa 1982.

[13] H. Marcinkowska, Wstep do teorii równań różniczkowych cz
astkowych, PWN, Warszawa 1972.
[14] J. Musielak, Wstep do analizy funkcjonalnej, PWN, Warszawa 1976.

[15] Ockendon J., Howison S., Lacey A., Movxhan A., Applied Partial Differential Equations, Oxford University Press, 2003.

[16] J. Ombach, Wykłady z równań różniczkowych wspomagane komputerowo -Maple, Wydawnictwo Uniwersytetu Jagiellońskiego, Kraków 1999.

[17] B. Przeradzki, Równania różniczkowe czastkowe. Wybrane zagadnienia, Wydawnictwo Uniwersytetu Łódz-
kiego, Łódź 2000.

[18] B. Przeradzki, Teoria i praktyka równań różniczkowych zwyczajnych, Wydawnictwo Uniwersytetu Łódzkiego, Łódź 2003.

[19] M. M. Smirnow, Zadania z równań różniczkowych czastkowych, PWN, Warszawa 1970.

[20] P. Strzelecki, Krótkie wprowadzenie do równań różniczkowych czastkowych, Wydawnictwo Uniwersytetu War-
szawskiego, Warszawa 2006.

[21] B. W. Szabat, Wstęp do analizy zespolonej, PWN, Warszawa 1974.

[22] Whitham G.B., Lecture notes on wave propagation , Springer-Verlag, Berlin-Heidelberg-New York 1979.

[23] Zauderer, Partial Differential Equations of Applied Mathemathics, John Wiley & Sons, Singapore-New York- Chichester-Brisbane-Toronto 1989.