I. Źródła i przykłady równań różniczkowych cząstkowych oraz wiadomości wstępne
Spis treści
1 Źródła i przykłady równań różniczkowych czastkowych 2
1.1 Równania pierwszego rzedu . . . . 2 1.2 Równania drugiego rzedu . . . 4
2 Wiadomości wstepne 14
2.1 Kilka uwag o równaniu różniczkowym czastkowym i jego rozwi azaniu . . . 14 2.2 Warunki poczatkowe i brzegowe . . . . 17 2.3 Zagadnienia dobrze postawione . . . 20
1 Źródła i przykłady równań różniczkowych cz astkowych
1.1 Równania pierwszego rz edu
Układ równań Cauchy-Riemanna
Niech f :C → C bedzie przekształceniem postaci f = u + iv . Z analizy zespolonej wiadomo, że f ma w każdym punkcie pochodna zespolon a wtedy i tylko wtedy, gdy jej cz eść rzeczywista u i urojona v spełniaja układ równań:
ux = vy uy =−vx.
Zatem, w pewnym sensie, cała teoria funkcji analitycznych zajmuje sie badaniem własności rozwi azań jednego układu dwóch liniowych równań różniczkowych czastkowych rz edu pierwszego o stałych współczynnikach.
Przepływ (transport) gazu
Wyobraźmy sobie gaz lub jakiś materiał ściśliwy, który przepływa równolegle do pewnej linii (np.
osi x ). Oznaczmy gestość (masa na jednostk e obj etości) gazu w punkcie (x , y , z) w czasie t przez ρ (x, t). Dla uproszczenia załóżmy, że gestość jest niezależna od y i z. Niech pr edkości a w punkcie (x , y , z) w czasie t bedzie v (x , t)i , gdzie i jest jednostkowym wektorem w dodatnim kierunku osi x .
Pokażemy, że z zasady zachowania masy funkcje ρ (x, t) i v (x, t) musza spełniać równanie:
ρt+ (ρv)x = 0 lub ρt+ vρx+ vxρ = 0. (1)
Rozważmy przestrzeń miedzy x 0 i x0 + ∆x . Ilość masy przechodzacej przez jednostkowy obszar płaszczyzny x = x0 w te przestrzeń w czasie ∆t jest wyrażona przez ρ (x0, t) v (x0, t) ∆t, a ilość wypływajacej z obszaru x = x 0+ ∆x w czasie ∆t jest równaρ (x0+ ∆x , t) v (x0+ ∆x , t) ∆t. Zatem z zasady zachowania masy i z faktu, że mase można wyrazić jako całk e z g estości, otrzymujemy równości:
−ρ (x0+ ∆x , t) v (x0+ ∆x , t) ∆t− ρ (x0, t) v (x0t) ∆t =
=− [ρ (x0+ ∆x , t) v (x0+ ∆x , t)− ρ (x0, t) v (x0, t)] ∆t =
=
x0+∆x
x0
[ρ (x, t + ∆t) − ρ (x, t)] dx.
Stosujemy twierdzenie o wartości średniej dla całki po prawej stronie:
− [ρ (x0+ ∆x , t) v (x0+ ∆x , t)− ρ (x0, t) v (x0, t)] ∆t =
= [ρ (x1, t + ∆t)− ρ (x1, t)] ∆x .
Dzielac przez ∆x · ∆t i biorac granic e przy ∆x i ∆t d aż acym do 0 (wtedy x 1 → x0), mamy
−ρ (x0+ ∆x , t) v (x0+ ∆x , t)− ρ (x0, t) v (x0, t)
∆x = ρ (x1, t + ∆t)− ρ (x1, t)
∆t ,
czyli
− (ρv)x(x0, t) =ρt(x0, t) . Zatem mamy (1).
Ruch uliczny
Niechρ (x, t) bedzie g estości a ruchu samochodów w punkcie x w czasie t na jednokierunkowej drodze (tzn. abρ (x, t)dx jest liczba samochodów mi edzy x = a i x = b). Zróbmy upraszczaj ace założenie, że ρ (x, t) jest funkcją klasy C1. Niech M bedzie dopuszczaln a pr edkości a + dodatkowe 5 kmh (zwykle jedzie sie szybciej niż dopuszczalnie). Niech d b edzie g estości a samochodów w “korku”. Wtedy można założyć, że predkość v (x , t) w punkcie x w czasie t jest dana przez
v (x , t) = M·
1− ρ (x, t) d
.
Zauważmy, że v = 0, gdy ρ = d i v = M, gdy ρ = 0. Co wiecej, jeśli ρ = 12d (tzn., gdy odległość miedzy samochodami wynosi około jednej długości samochodu), to mamy v = 12M, co jest raczej niebezpieczne, gdy M = 60, ale pozwala kontynuować jazde. Również tutaj wyst epuje równanie gazu:
ρt + (vρ)x = 0.
Ponieważ
(vρ)x =
M
1−ρ (x, t) d
ρ (x, t)
x
= M
1− 2ρ (x, t) d
ρx(x , t) , mamy tu tzw. równanie quasi-liniowe:
ρt+ M
1− 2ρ d
ρx = 0.
1.2 Równania drugiego rz edu
Równanie falowe
Fala jest pewnym sygnałem, który przechodzi z jednej cześci jakiegoś ośrodka do innej cz eści z określona pr edkości a, np. cz esto energia ma propagacj e falow a. Taka propagacja pojawia si e w wielu dziedzinach:
• mechanice płynów (fale wodne, aerodynamika),
• akustyce (fale dźwiekowe w powietrzu i płynach),
• elastyczności (napreżenia falowe, trze esienia ziemi),
• teorii elektromagnetycznej (fale elektromagnetyczne i optyczne),
• chemii (fale spalania i fale wybuchów).
Przypomnijmy na poczatek:
II zasada dynamiki: zmiana pedu ciała w czasie równa jest impulsowi siły działaj acej na to ciało;
impuls siły obliczamy jako całke z tej siły po czasie, w jakim ten impuls działa;
mase zbioru D można obliczyć jako całk e z g estości na tym zbiorze;
analogicznie, jeśli znamy gestość siły (x → f (x)), to siłe działaj ac a na D można policzyć jako całke z g estości:
F (D) =
Df (x ) dx .
Rozważmy teraz drgania poprzeczne (w płaszczyźnie (x , y )) struny o długości l , czyli 1-wymiarowego kawałka materii. Niech teraz x oznacza współrzedn a punktu struny na osi poziomej, a u(x , t) niech oznacza odchylenie punktu x na strunie od położenia równowagi w chwili t. Odchylenie to pojawia sie na skutek działania na strun e 1-wymiarowej siły zewn etrznej o g estości f , która zależy od czasu t i położenia x na strunie. Niech w położeniu równowagi struna ta zajmuje na osi poziomej przedział [0, L]. Ponadto oznaczmy przez Tx napreżenie struny w każdym jej punkcie, które powoduje, że struna wraca do położenia równowagi. Bedziemy w dalszym ci agu pisać tylko T , jeśli założymy, że napi ecie jest stałe (czyli wychylenia struny sa bardzo małe).
Możemy teraz wyznaczyć siłe zewn etrzn a działaj ac a na odcinek [x , x + ∆x ] w chwili t:
x+∆x
x f (t, s) ds.
Ponieważ drgania sa małe, wi ec wektor siły napr eżeń w danym punkcie jest skierowany stycznie do struny i, jak łatwo wyznaczyć, jego składowa pionowa ma postać T · sin α. Ale dla małych odchyleń sinα ≈ tgα i tgα= ux(t, x + ∆x ). W sasiedznich punktach siły si e wzajemnie znosz a, wi ec bierzemy pod uwage tylko siły działaj ace na końcach [s, x + ∆x ]. St ad całkowita siła działaj aca na strun e w punkcie x ma postać:
Tux(t, x + ∆x )− Tux(t, x ) +
x+∆x
x f (t, s) ds, a wiec impuls siły jest równy:
t+∆t
t
Tux(τ, x + ∆x) − Tux(τ, x) + x+∆x
x f (τ, s) ds
dτ.
Jeśli przez ρ oznaczymy gestość (liniow a) struny, to jej masa na odcinku wyraża si e nast epuj aco:
x+∆x
x ρ(s) ds,
a ped:
x+∆x
x ρ(s)ut(t, s) ds.
Z wspomnianej już II zasady dynamiki otrzymujemy równość:
x+∆x
x ρ(s)ut(t + ∆t, s) ds− x+∆x
x ρ(s)ut(t, s) ds =
=
t+∆t
t
Tux(τ, x + ∆x) − Tux(τ, x) + x+∆x
x f (τ, s) ds
dτ.
Do obu stron równości stosujemy teraz twierdzenie o wartości średniej dla całek:
ρ(s0) [ut(t + ∆t, s0)− ut(t, s0)] ∆t =
= [T (ux(τ0, x + ∆x )− ux(τ0, x )) + f (τ0, s1)∆x ] ∆t i dzielimy stronami przez ∆x· ∆t:
ρ(s0)ut(t + ∆t, s0)− ut(t, s0)
∆t = Tux(τ0, x + ∆x )− ux(τ0, x )
∆x + f (τ0, s1).
Jeśli weźmiemy dowolnie mały odcinek i dowolnie mały czas, to ∆x → 0 i ∆t → 0, co oznacza, że τ0 → t, s0 → 0, s1 → 0. Wtedy
ρ(x) = utt(t, x ) = Tuxx + f (t, x ).
Otrzymaliśmy w ten sposób równanie różniczkowe czastkowe rz edu II niejednorodne.
Gdyby na strune nie działała żadna siła zewn etrzna (f (t, x ) ≡ 0), to mielibyśmy równanie jednorodne.
Jeśli ρ jest funkcja stał a, to równanie możemy zapisać jako:
utt = c2uxx+ f (t, x ). (2)
Równanie to nazywamy 1-wymiarowym równaniem falowym lub rówaniem struny drgajacej.
Jeśli zwiekszymy wymiar, to nie mamy już struny, tylko membran e i równanie ma postać 2-wymiarowego równania falowego:
utt = c2(uxx + uyy) + f (t, x , y ), a jeśli mamy ośrodek 3-wymiarowy, to piszemy:
utt = c2(uxx+ uyy + uzz) + f (t, x , y , z).
Ogólnie, dla dowolnego x ∈ Rn możemy zapisać
utt = c2∆u + f (t, x ),
gdzie ∆u oznacza laplasjan u wzgledem zmiennej x , tzn. ∆u = ni=1uxixi.
Równanie falowe jest głównym przedstawicielem ważnej klasy rówań, zwanych równaniami hiperbo- licznymi.
Równanie przewodnictwa cieplnego (równanie dyfuzji)
Załóżmy, że mamy nieruchoma ciecz (np. wod e) wypełniaj ac a cienk a prost a rurk e, do której wpro- wadzono inna substancj e (np. barwnik).
Zjawisko dyfuzji polega na tym, że dana substancja przechodzi z obszaru o wyższej koncentracji do obszaru o niższej koncentracji. Prawo Fick’a mówi, że predkość przechodzenia tej substancji jest proporcjonalna do gradientu jej koncentracji.
Dokładniej, jeśli u(t, x ) oznacza koncentracje w punkcie x w chwili t, czyli mas e substancji na jednostke przekroju poprzecznego rurki, to masa substancji w odcinku rurki od x do x + ∆x może być wyznaczona jako całka z koncentracji:
M(t) =
x+∆x
x u(t, s) ds.
Wtedy zmiane masy substancji w czasie możemy zapisać jako: d
dtM(t) =
x+∆x
x ut(t, s) ds.
Ale masa substancji w tym odcinku rurki może zmienić sie tylko, jeśli substancja wpływa lub wypływa przez końce rurki:
d
dtM(t) = kux(t, x + ∆x )− kux(t, x ), gdzie k > 0 jest stała proporcjonalności. St ad mamy:
x+∆x
x ut(t, s) ds = kux(t, x + ∆x )− kux(t, x ).
Nastepnie stosujemy twierdzenie o wartości średniej dla całek, otrzymj ac kolejno: ut(t, s0)∆x = kux(t, x + ∆x )− kux(t, x ),
ut(t, s0) = kux(t, x + ∆x )− ux(t, x )
∆x .
Przy ∆x → 0 mamy s0 → x i wtedy:
ut(t, x ) = kuxx(t, x ).
Ponieważ k > 0, wiec można równanie to zapisać jako
ut(t, x ) = c2uxx(t, x ). (3)
Jest to 1-wymiarowe równanie dyfuzji (jednorodne), a jeśli do prawej strony tego równanie dodamy (lub odejmiemy) funkcje f (t, x ), to oznaczać b edzie to dodatkow a produkcj e (lub ucieczk e) substancji z rurki (preta), a jeśli f (t, x , u), to pojawia się dodatkowe źródło ciepła lub substancji i równanie niejednorodne ma postać:
ut(t, x )− c2uxx(t, x ) = f (t, x , u).
Rówanie to jest znane pod nazwa równania reakcji-dyfuzji.
Można również wyprowadzić n-wymiarowe równanie dyfuzji, które ma postać:
ut = c2∆u (ew. + f (t, x )) dla x ∈ Rn.
Należy wtedy założyć, że proces dyfuzji nie zależy od orientacji przestrzeni i wykorzystać wzór Gaussa- Ostrogradskiego:
Ωdivf dx =
∂Ωf ◦ n dS,
jeśli Ω jest zbiorem otwartym i ograniczonym wRn, którego brzeg∂Ω jest hiperpowierzchnia (n −1)- wymiarowa klasy C 1, f : ¯Ω → Rn jest klasy C1 na zbiorze ¯Ω, gdzie divf = ni=1∂x∂fi
i oznacza dywergencje pola wektorowego f , n = n(x) jest wektorem normalnym zewnetrznym do ∂Ω w punkcie x .
Równoważna postać tego wzoru jest wiec nast epuj aca:
Ω
n i=1
∂fi
∂xi, dx =
∂Ω
n i+1
fi · nidS.
Rozważmy teraz równanie dyfuzji w n-wymiarowej przestrzeni. Weźmy dowolny zbiór D ⊂ Rnotwarty, ograniczony i spójny. Wtedy funkcja koncentracji u = u(t, x ), x ∈ Rn spełnia na podstawie prawa Fick’a (jak poprzednio) nastepuj ace równanie bilansu:
Dut(t, x ) dx =
∂Dk (∇u ◦ n) dS.
Stosujemy teraz, do całki po prawej stronie równania, wzór G-O:
Dut(t, x ) dx =
Dkdiv (∇u) dx.
Z dowolności D mamy:
ut = kdiv (∇u) , czyli
ut = k∆u.
Różnica w wygladzie tego równania, a wyprowadzonego wcześniej równania falowego jest, wydawa- łoby sie, niewielka, ale analiza matematyczna tych równań jest zupełnie inna (co jest typowe dla RRCz).
Równanie dyfuzji jest przedstawicielem kolejnej ważnej klasy równań nazywanych parabolicznymi.
Modyfikacje równania dyfuzji
Zwykle zmiany zachodza poprzez wi ecej niż jeden proces. Cz esto pojawia si e sytuacja, kiedy procesowi dyfuzji toworzyszy jednocześnie transport. Przykładem moga być zanieczyszczenia w powietrzu lub wodzie, które sie przemieszczaj a wraz z jakimś ruchomym nośnikiem (strumień wody, wiatr) i w tym samym czasie rozprzestrzeniaja si e dyfuzyjnie. Gdyby nie było dyfuzji, to chmura zanieczyszczeń przemieszczałaby sie bez żadnej zmiany, ta sama wielkość chmury, która została wydalona przez komin fabryki osiagn ełaby inne miejsce w tym samym kształcie i koncentracji. Dyfuzja powoduje zmniejszanie koncentracji zanieczyszczenia.
Matematyczny opis tego zjawiska polega na połaczeniu równania dyfuzji (3) i równania transportu (1):
ut+ (vu)x = c2uxx, lub w przypadku n-wymiarowym
ut+ div(vu) = c2∆u.
Równanie to nazywa sie cz esto równaniem dryfuj aco-dyfuzyjnym.
Przypomnijmy w tym miejscu jeszcze raz równanie reakcji-dyfuzji zapisane teraz w przypadku n- wymiarowym:
ut − c2∆u = f (t, x , u). (4)
Najprostszym przypadkiem jest, gdy f = ku, k = const. Wtedy oznacza to, że wielkość (ilość) substancji jest proporcjonalna do koncentracji. Równanie ma prosta form e:
ut− c2∆u = ku
i można je rozwumieć jako kombinacje dyfuzji i praw wzrostu exponencjalnego. Jeśli natomiast f jest nieliniowe ze wzgledu na u, to równanie reakcji-dyfuzji (4) ma wiele ważnych zastosowań, szczególnie w teorii spalania oraz w biologi populacyjnej.
Opiszemy w tym miejscu takie równanie, tzw. równanie Fishera, które jest kombinacja 1-wymiarowego równania logistycznego i równania dyfuzji.
Równanie Fishera
Opiszemy na poczatku model populacji rz adzonej przez prawo logistyczne. Rozważmy równanie róż- niczkowe (nie bedziemy si e nim szczegółowo zajmować):
P(t) = kP(t),
gdzie P(t) oznacza populacje w czasie t, a P (t) zmiane tej populacji (w sposób wykładniczy). Załóżmy, że P0 = P(0) jest populacja w chwili pocz atkowej. Wtedy rozwi azaniem jest
P(t) = P0ekt
(łatwo to sprawdzić przez zróżniczkowanie i wstawienie do równania). Możemy przeprowadzić analizę:
k > 0 =⇒ P(t) → ∞ (eksplozja populacji), k < 0 =⇒ P(t) → 0 (populacja wyginie),
k = 0 =⇒ P(t) = P0 (brak zmian).
Oczywiście, ten model jest mało realistyczny, populacje zachowuja si e w sposób bardziej skompliko- wany, np. nie moga wzrastać do nieskończoności.
Niech L bedzie teraz graniczn a wartości a populacji, tzn. jeśli kiedykolwiek w czasie t wartość L b edzie osiagni eta przez P(t), to nast api drastyczne przepełnienie, brak pożywienia i populacja zacznie wy- mierać. Odpowiadajacy model jest zadany nast epuj acym równaniem różniczkowym zwyczajnym:
P(t) = kP(t) (L− P(t)) (5)
lub w skrócie
P = kP(L− P).
Poprzednio założenie k > 0 prowadziło do nieograniczonego wzrostu populacji. Teraz możemy ustalić znak prawej strony równania (5), czyli znak pochodnej P:
P < L =⇒ P(t)> 0 (populacja ro´snie), P > L =⇒ P(t)< 0 (populacja maleje), P = L =⇒ P(t) = 0 (stan r´ownowagi populacji).
Równanie (5) można łatwo rozwiazać tzw. metod a rozdzielania zmiennych i dostaniemy wtedy: P(t) = P0LeLkt
L− P0+ P0eLkt.
Ale jeśli interesuje nas przestrzenne rozmieszczenie osobników, to musimy wprowadzić gestość u(t, x ) populacji, czyli ilość osobników na jednostke obj etości lub powierzchni. Gdyby populacja zachowy- wała sie zgodnie z prawem Fick’a (migracja z regionów o wi ekszej g estości do regionów o mniejszej gestości), to mielibyśmy:
ut− c2∆u = ku(L− u),
gdzie P w równaniu logistycznym (5) zastapiliśmy przez u. Ale populacje nie zawsze tak migruj a (ludzie do miast!) i prawo Fick’a nie działa, chyba że założymy coś innego, np. sprawiedliwy podział dóbr (pożywienia, itp.)
To ostatnie równanie właśnie nazywa sie równaniem Fishera.
Równanie Poissona i równanie Laplace’a
Załóżmy, że we wszystkich omówionych przypadkach równań drugiego rzedu, procesy si e tam po- jawiajace nie zależ a od czasu. Wtedy, po dostatecznie długim czasie, nast epuje stabilizacja funk- cji u. Przykładowo, w równaniu przewodnictwa cieplnego jest naturalne (fizycznie), że po jakimś poczatkowym czasie temperatura si e ustabilizuje, czyli nie b edzie si e zmieniać w czasie (choć może sie zmianiać pomi edzy punktami). W przypadku równania falowego struna lub membrana przesta- nie drgać. Oznacza to, że ut ≡ 0 i (lub) utt ≡ 0, i zarówno rówanie falowe jak i rówanie dyfuzji (przewodnictwa cieplnego) redukują sie do postaci:
∆u = f ,
nazywanej równaniem Poissona, a jeśli f ≡ 0, to mamy równanie Laplace’a, które opisuje (ogól- nie mówiac) stany stacjonarne rozmaitych procesów fizycznych. Funkcja u może być np. granicznym rozkładem temperatury w pewnym obszarze, potencjałem pola grawitacyjnego lub elektromagnetycz- nego (w obszarze pozbawionym źródeł pola - tzw. pole bezźródłowe).
Równania te sa przedstawicielami trzeciej ważnej klasy równań cz astkowych drugiego rz edu, a mia- nowicie równań eliptycznych.
2 Wiadomości wst epne
2.1 Kilka uwag o równaniu różniczkowym cz astkowym i jego rozwi
azaniu
Na początek wprowadzimy kilka nowych oznaczeń. Niech u : Rn ⊃ U → R, U - otwarty, będzie funkcją posiadającą odpowiednie pochodne cząstkowe lub będącą odpowiedniej klasy gładkości (w zależności od potrzeb).
Definicja 2.1.
Niech α = (α1,α2, ... ,αn) , αi 0 dla i = 1, 2, ... , n. Wtedy α nazywa się multiindeksem rzędu
|α|, gdzie
|α| = α1+ ... +αn. Następnie dla danego multiindeksu α określamy pochodną u jako:
Dαu(x ) := ∂|α|u(x )
∂x1α1...∂xnαn =∂x1α1...∂xnαnu(x ).
Zauważmy, że jeśli k jest całkowitą stałą nieujemną, to
Dku(x ) :={Dαu(x ) : |α| = k}
jest zbiorem wszystkich pochodnych cząstkowych rzędu k dla funkcji u. I tak, dla k = 1 mamy po prostu
Du = (ux1, ... , uxn) , czyli gradient funkcji u, a dla k = 2 dostajemy macierz Hessego:
D2u =
∂2u
∂x1∂x1 ... ∂x∂2u
1∂xn
... ... ...
∂2u
∂xn∂x1 ... ∂x∂2u
n∂xn
.
Możemy teraz powiedzieć, co nazywamy równaniem różniczkowym cząstkowym, a co jego rozwiąza- niem.
Ogólnie mówiąc, jest to równanie, w którym niewiadomą jest funkcja dwóch lub więcej zmiennych i pewne jej pochodne cząstkowe, tzn. dla ustalonego k = 1 i otwartego zbioru U ⊂ Rn wyrażenie
FDku(x ), Dk−1u(x ), ... , Du(x ), u(x ), x= 0, x ∈ U (6) jest nazywane równaniem różniczkowym cząstkowym k-tego rzędu, gdzie
F :Rnk × Rnk−1× · · · × Rn× R × U → R jest daną funkcją, a u : U → R jest funkcją nieznaną.
Oczywiście jest możliwe, by niewiadomych było więcej niż tylko jedna funkcja, może ich być kilka.
Wtedy mówimy o układzie równań cząstkowych. Rząd równania zależy, jak widać, od rzędu pochod- nych funkcji niewiadomej u. Jeśli maksymalny rząd pochodnych funkcji u jest 2 (czyli w równaniu pojawia się przynajmniej jedna pochodna cząstkowa drugiego rzędu i nie ma pochodnych wyższego rzędu), to równanie jest 2-go rzędu.
Ważną cechą równania jest jego liniowość. Mówiąc niezbyt precyzyjnie, liniowość oznacza, że funkcja niewiadoma i jej pochodne cząstkowe występują w równaniu w co najwyżej pierwszej potędze, czyli liniowo. Bardziej wyszukane określenie związane jest z terminologią algebraiczną.
Przypomnijmy, że zbiór funkcji (ciągłych, różniczkowalnych) jest przestrzenią liniową. W takiej prze- strzeni możemy określić operatory, dla których argumentami są funkcje, a operatory działają na nie i otrzymujemy inne funkcje. Przykładem takiego operatora może być L określony następująco:
L[u] = ux1+ ux2.
Jak widać L bierze dowolną funkcję różniczkowalną dwóch zmiennych, liczy obie pochodne cząstkowe dla tej funkcji i sumuje je. Łatwo sprawdzić, że ten operator jest liniowy.
Używając tej terminologii, możemy zapisać równanie różniczkowe w postaci L[u] = f ,
gdzie po lewej stronie są zgrupowane wszystkie wyrażenia z nieznaną funkcją i jej pochodnymi.
Powiemy wtedy, że równanie jest liniowe, jeśli operator L jest liniowy, równanie liniowe jest jednorodne, jeśli f ≡ 0, a niejednorodne w przeciwnym wypadku.
Warto zwrócić uwagę na zaletę liniowości. Mianowicie, jeśli wiemy, że u i v są rozwiązaniami L[u] = 0, to rozwiązaniem jest również suma u +v . Ogólnie, dowolna kombinacja liniowa rozwiązań jest również
rozwiązaniem.
Możemy teraz bardziej szczegółowo podać postać równania liniowego rzędu k, mianowicie
|α|k
aα(x )Dαu = f (x )
dla danych funkcji aα (|α| k), f .
Wyróżniamy również równania semiliniowe i quasiliniowe, postaci
|α|=k
aα(x )Dαu + a0Dk−1u, ... , Du, u, x= 0,
|α|=k
aαDk−1u, ... , Du, u, xDαu + a0Dk−1u, ... , Du, u, x= 0,
(odpowiednio). W pierwszym z nich liniowość jest zachowana przy pochodnych najwyższego rzędu, czyli k, w drugim równaniu współczynniki mogą zależeć od pochodnych niższego rzędu.
Rozwiążemy równanie (6), jeśli znajdziemy wszystkie funkcje je spełniające. Przy czym, jeśli rozwią- zanie będzie funkcją klasy Ck, to mówimy o rozwiązaniu klasycznym.
Przypomnijmy, że rozwiązania równań różniczkowych zwyczajnych zależały od dowolnych stałych:
jednej dla równania pierwszego rzędu, dwóch dla drugiego rzędu, itd. W równaniach cząstkowych sytuacja jest bardziej skomplikowana.
Przykład 2.1.
Rozważmy równanie uxy = 0 liniowe jednorodne drugiego rzędu. Możemy je zapisać w postaci
∂
∂y
∂u
∂x
= 0.
Widać natychmiast, że po dwukrotnym scałkowaniu, otrzymamy u(x , y ) = F (x ) + G (y ), gdzie F , G są dwiema dowolnymi funkcjami (różniczkowalnymi).
Przykład ten pokazuje, że rozwiązania równań cząstkowych już nie zależą od stałych, ale wręcz od dowolnych funkcji. Aby ograniczyć ilość rozwiązań (lub wskazać to jedyne) nakładamy na równanie pewne warunki.
2.2 Warunki pocz atkowe i brzegowe
Załóżmy, że rozważamy nasze równanie cząstkowe w pewnym obszarze Υ ∈ RN. Poszukujemy roz- wiązania określonego w otoczeniu pewnego podzbioru Ω, (który jest hiperpowierzchnią (N − 1)- wymiarową klasy C1) spełniającego na Ω dwa warunki:
• u|Ω= Ψ,
• ∂u∂ν |Ω= Φ,
gdzie ∂u∂ν oznacza pochodną w kierunku wektora normalnegoν do hiperpowierzchni Ω, a Φ, Ψ : Ω → R są ustalonymi funkcjami ciągłymi.
Czasami dokładamy jeszcze inne warunki, ważne ze względów fizycznych, czy biologicznych. Dzieje się tak dlatego, że zwykle mamy najpierw jakieś zagadnienie, np. fizyczne, i badamy jego rozwiązania, zatem te warunki dodatkowe są już z góry zadane. Jak to wygląda na konkretnych przykładach równań omówionych w pierwszym rozdziale?
Zauważmy po pierwsze, że zwykle w takim równaniu oddzielnie rozważamy zmienną czasową t - zwykle dodatnią, i zmienną przestrzenną x ∈ Rn, od której to zależy wymiar równania. Okazuje się, że taki podział nie jest tylko uzasadniony fizycznie, ale ma też sens z matematycznego punktu widzenia.
Ponieważ dany proces fizyczny powinien się rozpocząć w jakimś momencie, więc powinniśmy określić stan poczatkowy. Jeśli jeszcze pojawia się pochodna po czasie drugiego rzędu, to potrzebujemy również określić początkową prędkość. Warunki te nazywane są warunkami początkowymi :
u(x , t0) =ψ(x) w Ω dla równania pierwszego rzędu względem czasu, i
u(x , t0) =ψ(x), ut(x , t0) = φ(x) w Ω
dla równania drugiego rzędu względem czasu, gdzie ψ, φ sa danymi funkcjami.
Warunki początkowe są zwykle niewystarczające do wyznaczenia jednoznacznego rozwiązania. Jeśli myślimy fizycznie o rozchodzeniu się ciepła w jakimś pojemniku, który matematycznie jest reprezen- towany jako Ω, to rozkład ciepła wewnątrz pojemnika jest zdeterminowany warunkami panującymi na brzegu. Dla równań drugiego rzędu względem zmiennych przestrzennych (jak dla równania falowego lub dyfuzji) mamy trzy typowe tzw. warunki brzegowe:
(D) u jest określone na brzegu ∂Ω (“warunek Dirichleta”),
(N) pochodna u w kierunku wektora normalnego ∂u∂ν =∇u·ν jest określona na brzegu ∂Ω (“warunek Neumanna”),
(R) kombinacja ∂u∂ν + au jest określona na brzegu ∂Ω (“warunki Robina”), gdzie a jest daną funkcją zmiennych x , t.
Wszystkie te warunki brzegowe nazywamy jednorodnymi, jeśli funkcje określone na brzegu ∂Ω są tożsamościowo równe zero.
Zobaczmy te warunki bardziej szczegółowo (z użyciem zapisu funkcyjnego i opearatorowego) dla poszczególnych rodzajów równań omawianych w poprzednim rozdziale. Rozważmy w tym celu otwarty i ograniczony zbiór Ω ⊂ Rn, którego brzeg ∂Ω jest (n − 1)-wymiarową hiperpowierzchnią klasy C1 oraz rozważmy operator L = ni=1∂x∂22
i - tzw. operator eliptyczny.
Równanie Poissona można teraz zapisać ogólnie jako Lu = f (x ).
Jako rozwiązania poszukujemy funkcji u, która spełnia równanie dla x ∈ Ω, jest ciągła na Ω i spełnia odpowiednio:
(D) u|∂Ω =ψ, ψ : ∂Ω → R jest daną funkcją ciągłą, (N) ∂u∂ν |∂Ω =φ, φ : ∂Ω → R jest daną funkcją ciągłą,
(R) kombinacja α(x)∂u∂ν(x ) +β(x)u(x) = γ(x) dla x ∈ ∂Ω, gdzie α, β, γ : ∂Ω → R są danymi funkcjami ciągłymi i α2+β2 > 0.
Podobnie postępujemy w przypadku równania falowego i równania dyfuzji, które można teraz zapisać (odpowiednio) jako:
utt − Lu = f (t, x), ut− Lu = f (t, x).
Rozwiązaniem jest funkcja u = u(t, x ), która spełnia równanie dla (t, x )∈ (0, ∞) × Ω ⊂ Rn+1, jest ciągła na 0, T )× Ω , T > 0 i spełnia opisane wcześniej warunki początkowe z t0 = 0 i jeden z trzech warunków brzegowych (D), (N) lub (R).
We wszystkich tych problemach brzegowych rozwiązań poszukiwaliśmy w zbiorze Ω ograniczonym.
Takie problemy możemy określić nazwą: wewnętrzne problemy brzegowe. Jeśli natomiast chcemy, by równanie było spełnione wRn\Ω dla Ω ograniczonego, to oczywiście nie możemy zrezygnować z wa- runków postawionych na brzegu ∂Ω, ale musimy jakoś ograniczyć funkcję dla ||x|| → ∞. Najczęściej żąda się, by
||x||→∞lim u(x ) = 0, n > 2,
||x||→∞lim u(x )< ∞, n = 2.
Mówimy wtedy o zewnętrznych problemach brzegowych.
Omówimy teraz interpretację fizyczną tych warunków brzegowych.
Załóżmy, że mamy równanie struny drgającej, czyli równanie falowe jednowymiarowe. Załóżmy po- nadto, że końce struny w x = 0 i x = l są zamocowane. Wtedy dostajemy jednorodny warunek brzegowy Dirichleta u(t, 0) = u(t, l ) = 0. Jeśli końce poruszają się zgodnie z zachowaniem pewnej funkcji, powiedzmy g (t) = sin t, to mamy u(t, 0) = u(t, l ) = sin t, czyli niejednorodny warunek brzegowy Dirichleta. Jeśli natomiast dana siła ν(t) działa np. na prawy koniec struny w kierunku transwersalnym, to uzyskujemy następującą postać warunku brzegowego: ∂u∂n(t, l ) = ux(t, l ) =ν(t).
W szczególności, jeśli koniec struny porusza się swobodnie, to mamy warunek jednorodny Neumanna ux(t, l ) = 0. Na koniec, jeśli koniec struny jest połączony z jakimś elastycznym elementem, np. gumą, który zachowuje prawo Hook’a (siła jest proporcjonalna do rozciągania), to zachodzi następujący wa- runek Robina: ux + au = 0.
Weźmy teraz pod uwagę równanie przewodnictwa cieplnego (dyfuzji). Wtedy warunek (D) mówi, że brzegi danego ciała mają ustaloną stałą temperaturę. Jeśli np. zanurzymy to ciało w pojem- niku z topniejącym lodem, to dostaniemy warunki jednorodne (D). Warunek jednorodny Neumanna mówi, że ciepło nie ucieka przez brzegi, czyli ciało jest całkowicie odizolowane. Jeśli natomiast ciało Ω jest zanurzone w zbiorniku o znanej temperaturze g , to dostajemy warunek Robina ∂u∂ν(t, x ) = a (u(t, x )− g(t)) dla wszystkich x ∈ ∂Ω.
Rozważmy na koniec równanie iut + ∆u = 0 zwane równaniem Schr¨odingera, opisujące ruch czą- stek w mechanice kwantowej. Jeśli to równanie będziemy rozważać w całej przestrzeni, np. R3, to rozwiązanie u jest takie, że|u|2 jest gęstością prawdopodobieństwa znalezienia cząstki. Zatem (jako gęstość) musi spełniać warunek normalizacyjnyR3|u|2dx = 1, który mówi, że prawdopodobieństwo zanlezienia cząstki gdzieś w przestrzeni wynosi 1. Ograniczoność tej całki oznacza, że rozwiązanie musi wystarczająco szybko zbiegać do 0 w nieskończoności (jest to jakaś interpretacja zewnętrznego problemu brzegowego).
2.3 Zagadnienia dobrze postawione
Mamy już sformułowane warunki brzegowo-początkowe dla równania, zatem możemy poszukiwać rozwiązań. Ponieważ jednak nie jesteśmy w stanie wyznaczyć dokładnie takiego rozwiązania w więk- szości istotnych przypadków, więc nie możemy rozwiązać równania w klasycznym sensie. Możemy pójść dwiema drogami. Po pierwsze, zajmować się tylko takimi równaniami, dla których rozwiązanie da się wyznaczyć. Po drugie, zaprząc metody numeryczne, znajdując rozwiązanie przybliżone. Kiedy równania, którymi musimy się zajmować, stają się coraz bardziej skomplikowane, to druga droga wy- daje się praktyczniejsza. Zanim jednak zabierzemy się za poszukiwania numerycznego rozwiązania, musimy znać odpowiedzi na trzy ważne pytania.
1. Istnienie. Czy istnieje przynajmniej jedno rozwiązanie danego problemu?
2. Jednoznaczność. Czy rozwiązanie jest jedyne?
3. Stabilność. Czy rozwiązanie zależy w sposób stabilny od danych wejściowych? Innymi słowy, czy rozwiązanie zmieni się tylko trochę, jeśli tylko trochę zmienimy dane?
Zagadnienie nazywamy dobrze postawionym, jeśli posiada te trzy własności, tzn. istnieje jednoznaczne rozwiązanie, które jest stabilne względem danych.
Własność stabilności jest uzasadniona fizycznie i wymagana, gdyż dla danego fizycznego problemu nigdy nie możemy zmierzyć danych w sposób dokładny, więc oczekujemy (czasem mylnie), że małe błędy pomiarów spowodują tylko niewielkie zaburzenia rozwiązania. Podobne rozumowanie możemy zastosować do obliczeń komputerowych.
Z kolei, kiedy na równanie nakładamy różne warunki motywowane względami fizycznymi, to może się zdarzyć, że będzie ich za mało - wtedy może być więcej niż jedno rozwiązanie, lub za dużo - wtedy może nie być rozwiązań w ogóle.
Podamy teraz przykłady fizyczne problemów dobrze i źle postawionych.
Przykład 2.2.
Rozważmy równanie przewodnictwa cieplnego. Jeśli znamy początkową temperaturę ciała i tempera- turę na jego brzegu, to w naturalny sposób oczekujemy, że będziemy w stanie określić temperaturę ciała w dowolnym czasie (przyszłym). Można udowodnić matematycznie, że taki problem jest dobrze postawiony.
Zadajmy pytanie odwrotne: czy znając temperaturę w danej chwili, możemy powiedzieć, jaka była temperatura wcześniej? Z fizycznego punktu widzenia, temperatura rozchodzi się jednostajnie tak,
że po pewnym czasie powinna być jednakowa w całym ciele, niezależnie od jej początkowego roz- kładu. Zatem jest raczej niemożliwe, by odtworzyć temperaturę początkową (gdyby można było, to zaprzeczałoby to drugiemu prawu teromodynamiki). Zatem problem odwrócony nie jest dobrze postawiony.
Przykład 2.3.
Rozważmy problem Neumanna dla stacjonarnego równania przewodnictwa cieplnego:
∆u = 0 w Ω, ∂u
∂ν = 0 na ∂Ω.
Widać natychmiast, że każda funkcja stała u = const jest rozwiązaniem tego problemu, więc nie mamy jednoznaczności i problem jest źle postawiony.
Przykład 2.4.
Rozważmy równanie Laplace’a
uxx = uyy = 0
w górnej półprzestrzeni D ={−∞ < x < ∞, 0 < y, ∞} , spełniające warunki u(x , 0) = g (x ), uy(x , 0) = 0.
Bezpośrednim rachunkiem można sprawdzić, że funkcje un(x , y ) = 1
ne−√nsin nx sinh ny
spełniają równanie oraz un(x , 0) = 0 i ∂u∂yn(x , 0) = e−√nsin nx . Zatem warunki początkowe zbiegają do 0 przy n→ ∞. Ale jeśli y = 0, to un(x , y ) nie zbiega do 0. To oznacza, że dla dowolnie małych wartości początkowych możemy dostać bardzo duże (co do wartości) rozwiązanie. Zatem nie jest spełniony warunek stabilności.
Warunek stabilności można również nazwać warunkiem ciągłej zależności od warunków początkowych i ta nazwa wyjaśnia uzasadnienie braku stabilności w ostatnim przykładzie.
Wykorzystując zapis formalny z [13], możemy doprecyzować definicję problemu dobrze postawionego.
Wprowadźmy oznaczenia: L - pewien operator różniczkowy, B - operator brzegowy. Wtedy problem brzegowy ma postać:
Lu = f , Bu = φ,
gdzie funkcje f ,φ są dane. Ustalmy dalej S = (L, B) traktując go, jako nowy operator oraz Y niech będzie przestrzenią metryczną określającą zakres zmienności danych (f ,φ) i X niech będzie przestrzenią metryczną dopuszczalnych rozwiązań u.
Definicja 2.2.
Niech S : X → Y będzie odwzorowaniem przestrzeni metrycznych. Powiemy, że problem jest dobrze postawiony, jeśli dla dowolnego y ∈ Y istnieje (; istnienie) dokładnie jedno x ∈ X (; jednoznacz- ność) takie, że Sx = y oraz odwzorowanie S−1 : Y → X jest ciągłe (; stabilność).
W badaniu, czy problem jest dobrze postawiony, należy zawsze określić parę (X , Y ), bo w zależności od doboru Y odpowiedź na to pytanie może się zmieniać.
Wróćmy teraz do przykładu 2.4, wypisując dla niego wszystkie oznaczenia z definicji:
X = C (R × [0, δ]) - przestrzeń funkcji ciągłych z metryką zbieżności niemal jednostajnej,
Y = BC (R) - przestrzeń funkcji ciągłych i ograniczonych z metryką daną przez normę superemum, tzn. ||φ||∞= supx∈R|φ(x)|,
S = (L, B) - odwzorowanie określone na podprzestrzeni funkcji spełniających równanie uxx+ uyy = 0, uy(x , 0) = 0 dane wzorem (Su)(x ) = u(x , 0) = g (x ). Przypomnijmy, że rozwiązaniem jest
un(x , y ) = 1
ne−√nsin nx sinh ny ,
jeśli g = gn dane jest jako gn(x ) = 1ne−√nsin nx , dla dowolnego n∈ N. Widać, że gn→ 0 w Y , bo
||gn||∞= sup
x∈R|gn(x )| = sup
x∈R|1
ne−√nsin nx| 1
ne−√n→ 0.
Z drugiej strony, ciąg (un) nie jest zbieżny do 0 (rozwiązania problemu z g = 0) w przestrzeni X . Istotnie,
|un(x ,δ)| = 1
ne−√n| sin nx|| sinh nδ|, więc np. dla x ustalonego takiego, że sin nx = 0
|un(x ,δ)| = 1
ne−√nC| sinh nδ| nie zbiega do 0.
Gdyby więc nawet dla dowolnej funkcji g ∈ Y istniało jedno rozwiązanie, czego tu nie badaliśmy, to i tak odwzorowanie S−1 nie byłoby ciągłe.
Bibliografia
[1] W. I. Arnold, Metody matematyczne mechaniki klasycznej, PWN, Warszawa 1981.
[2] A. W. Bicadze, Równania fizyki matematycznej, PWN, Warszawa 1984.
[3] A. W. Bicadze, D. F. Kaliniczenko, Zbiór zadań z równań fizyki matematycznej, PWN, War- szawa 1984.
[4] P. Biler Prof. dr hab.- redakcja naukowa, Warsztaty z równań różniczkowych czastkowych, Toruń 2003.
[5] Birkholc A. Analiza matematyczna. Funkcje wielu zmiennych, Wydawnictwo Naukowe PWN, Warszawa 2002.
[6] R.L. Devaney, An introduction to Chaotic Dynamical Systems, Chapman & Hall, Oxford 1995.
[7] L. Ewans, Równania różniczkowe czastkowe, PWN, Warszawa 2002.
[8] J. D. Logan, Applied Partial Differential Equations, Springer-Verlag, Berlin-Heidelberg-New York 1998.
[9] H. Marcinkowska, Wstep do teorii równań różniczkowych cz astkowych, PWN, Warszawa 1972. [10] Musielakowie H. i J. Analiza matematyczna, tom II, część 1: Funkcje i odwzorowania wielu
zmiennych, Wydawnictwo Naukowe Uniwersytetu im. Adama Mickiewicza w Poznaniu, Poznań 1999.
[11] Ockendon J., Howison S., Lacey A., Movxhan A., Applied Partial Differential Equations, Oxford University Press, 2003.
[12] J. Ombach, Wykłady z równań różniczkowych wspomagane komputerowo -Maple, Wydawnic- two Uniwersytetu Jagiellońskiego, Kraków 1999.
[13] B. Przeradzki, Równania różniczkowe czastkowe. Wybrane zagadnienia, Wydawnictwo Uniwer- sytetu Łódzkiego, Łódź 2000.
[14] B. Przeradzki, Teoria i praktyka równań różniczkowych zwyczajnych, Wydawnictwo Uniwersy- tetu Łódzkiego, Łódź 2003.
[15] P. Strzelecki, Krótkie wprowadzenie do równań różniczkowych czastkowych, Wydawnictwo Uni- wersytetu Warszawskiego, Warszawa 2007.
[16] B. W. Szabat, Wstęp do analizy zespolonej, PWN, Warszawa 1974.
[17] Whitham G.B., Lecture notes on wave propagation , Springer-Verlag, Berlin-Heidelberg-New York 1979.
[18] Zauderer, Partial Differential Equations of Applied Mathslathics, John Wiley & Sons, Singapore-New York-Chichester-Brisbane-Toronto 1989.
