7fc-7y t y p o l i t e c h n i k i Śl ą s k i e j______________________________________________________________ 1 9 9 0
Seria: AUTOMATYKA z . 102 Nr kol„10QA
Danuta R a s z t a b i g a , F r a n c i s z e k M a r e c k i P o l it e c h n ik a Ś l ą s k a
M ODEL M ATEMATYCZNY P R O C E S U W A L CO W A N IA C IĄ G Ł E G O
S t r e s z c z e n i e : W a r t y k u l e p r z e d s t a w i o n o m odel m a t e m a t y c z n y i a l g o r y t m s t e r o w a n i a W a l c o w n i ą C i ą g ł ą K ę s ó w C W CK D, n a p o d s t a w i e k t ó r e g o n a p i s a n o p r o g r a m k o m p u t e r o w y , s y m u l u j ą c y p r a c ę w a l c o w i i w ym iany z ł o ż e ń . W a l g o r y t m i e s t e r o w a n i a WCK w y r ó ż n i o n o h e u r y s t y k i , a o b l i c z e n i a z i l u s t r o w a n o t e s t a m i k o m p u t e r o w y m i. P r z y r o z w i ą z y w a n i u p r o b le m u p r z y j ę t o k r y t e r i u m m a k s y m a l i z a c j i w y d a j n o ś c i WCK.
1. W p r o w a d ze n ie
W a lc o w n ia C i ą g ł a K ę só w CWCKD s k ł a d a s i ę z e z ł o ż e ń w a l c ó w t w o r z ą c y c h l in ię . K a ż d e z ł o ż e n i e j e s t p a r ą w a lc ó w . Na p o w i e r z c h n i k a ż d e g o w a l c a zn ajd u ją s i ę w y k r o j e o p r z e k r o j u p r o s t o k ą t n y m C r y s . I D . P r z e p u s z c z a j ą c walcowany m a t e r i a ł p r z e z o tw ó r u t w o r z o n y p r z e z p r z e c i w l e g ł e w y k r o j e w a lc ó w tworzących z ł o ż e n i e , o t r z y m u j e s i ę p r o d u k t o o k r e ś l o n y c h wymi a r a c h geom etrycznych.
K a ż d e z ł o ż e n i e ma r ó ż n e w y k r o j e . W t r a k c i e w a l c o w a n i a m a t e r i a ł j e s t p r ze p u szc za n y j e d n o k r o t n i e p r z e z j e d e n z w y k r o jó w k a ż d e g o z ł o ż e n i a . Materiał p r z e z n a c z o n y d o w a l c o w a n i a n a z y w a n y j e s t w s a d e m . W r e z u l t a c i e walcowania z WCK o t r z y m u j e s i ę p r o d u k t y . Z w s a d u d a n e g o t y p u m ożna u z y s k a ć niektóre p r o d u k t y .
D la u z y s k a n i a k o n k r e t n e g o p r o d u k t u n a l e ż y o d p o w i e d n i w s a d p r z e p u ś c i ć przez o k r e ś l o n y w y k r ó j k a ż d e g o z ł o ż e n i a . D r o g a ^ p o k t ó r e j m usi być p r ze p u s zc za n y d a n y w sa d , j e s t n a z y w a n a m a r s z r u t a t e c h n o l o d c z n ą d l a o kreślonego p r o d u k t u . W y m ia r y n o m i n a l n e w y k r o j ó w l e ż ą c y c h n a m a r s z r u c i e t e c h n o l o g i c z n e j u l e g a j ą o d p o w i e d n i emu z m n i e j s z e n i u d l a k o l e j n y c h z ł o ż e ń l i n i i .
W t r a k c i e p r o c e s u w a l c o w a n i a p o w i e r z c h n i e w a l c ó w Cw w y k r o j a c h ) u l e g a j ą ś c ie r a n iu . W w y n i k u t e g o ś c i e r a n i a w y m ia r y w y k r o jó w u l e g a j ą p o w i ę k s z e n i u . Jeśli w y m ia ry t e p r z e k r o c z ą d o p u s z c z a l n e g r a n i c e , t o w a l c e z l o ż e n i a m uszą kyć w y m ie n io n a C o d d a n e d o r e c e n e r a c i i ) n a n o w e . W y m iana z ł o ż e n i a p o w o d u je Przestój c a ł e j WCK. P r z e s t o j e WCK m o żna m i n i m a l i z o w a ć p o p r z e z odpowiedruo-
s te r o w an ie p r o c e s e m w a l c o w a n i a .
I M . D . R a s z t a b i g a , F. Marecki
W CK o t r z y m u j e w sa d w s p o s ó b c i ą g ł y . N a w e j ś c i u i w y j ś c i u WCK zn a jd u ją s i ę m a g a zy n y b u f o r o w e . M a g a z y n y t e m a ją n i e o g r a n i c z o n ą p o je m n o ś ć . Zapasy w s a d u w m a g a z y n i e b u fo r o w y m u z u p e ł n i a n e s ą p r z e z s t a ł y w c z a s i e strumień m asy w s a d u . O p r ó ż n i e n i e z k o n k r e t n e g o r o d z a j u w s a d u m a g a z y n u w ejścio w eg o u n i e m o ż l i w i a p r o d u k c j ę o k r e ś l o n e g o r o d z a j u p r o d u k t u . P r o d u k t y z WCK są p r z e k a z y w a n e p o r c i a m i d o d a l s z y c h a g r e g a t ó w . A g r e g a t y t e p o w i n n y pracować w s p o s ó b c i ągł y . D l a z a p e w n i e n i a c i ą g ł o ś c i p r a c y a g r e g a t ó w z l o k a l iz o w a n o p r z e d nim i m a g a z y n y b u f o r o w e d l a o d p o w i e d n i c h p r o d u k t ó w C r y s . 2 D . W każdy®
m a g a z y n i e b u fo r o w y m m o że z n a j d o w a ć s i ę p r o d u k t j e d n e g o t y p u . B r a k produktu p o w o d u j e o k r e ś l o n e s t r a t y p r o d u k c y i n e .
S t e r o w a n i e WCK p o w i n n o m i n i m a l i z o w a ć s t r a t y p r o d u k c y j n e . S t r a t y te w y n i k a j ą z p r z e s t o j ó w a g r e g a t ó w o r a z r e g e n e r a c j i w a l c ó w . W y d a j n o ś ć WCK Jest w i ę k s z a n i ż sum a w y d a j n o ś c i a g r e g a t ó w . P o z w a l a t o n a p r z e s t o j e WCK dla w y m ia n y w a l c ó w . S t e r o w a n i e WCK p o l e g a n a o k r e ś l a n i u : p r o d u k t u , k t ó r y ma być w a l c o w a n y , l i c z b y t o n t e g o p r o d u k t u o r a z w y z n a c z a n i u w a l c ó w d o w y m ia n y .
W r e f e r a c i e p r z e d s t a w i o n o m odel m a t e m a t y c z n y i a l g o r y t m ste ro w an ia W CK, n a p o d s t a w i e k t ó r e g o n a p i s a n o p r o g r a m k o m p u t e r o w y s y m u l u j ą c y pracę w a l c o w n i i w y m ia n y z ł o ż e ń . W a l g o r y t m i e s t e r o w a n i a WCK wyróżniono h e u r y s t y k i . O p i s p r o g r a m u k o m p u t e r o w e g o , s y m u l u j ą c e g o p r a c ę w a lc o w n i i w y m ia n y z ł o ż e ń o r a z o p i s h e u r y s t y k w a l g o r y t m i e s t e r o w a n i a p r z e d s t a w i o n o v [ 5 J . P r z y r o z w i ą z y w a n i u p r o b le m u » p r z y j ę t o k r y t e r i u m m a k s y m a liza c ji w y d a j n o ś c i WCK. M a k s y m a l i z a c j a w y d a j n o ś c i WCK s p r o w a d z a s i ę do m i n i m a l i z a c j a c z a s u p r z e s t o j u .
2 . P o d s t a w o w e z a ł o ż e n i a 1 o k r e ś l e n i a
P r z y j m i j m y n a s t ę p u j ą c e o z n a c z e n i a : M - l i c z b a t y p ó w w s a d u ,
N - l i c z b a t y p ó w p r o d u k t ó w , I - l i c z b a z ł o ż e ń WCK,
J ~ m a k sy m a ln a l i c z b a w y k r o j ó w z ł o ż e n i a .
Z a ł ó ż y m y , ż e p r z y p o r z ą d k o w a n i e p r o d u k t ó w d o w s a d u J e s t o k r e ś l o n e przez mac i e r z :
m = l ... M n=*l... N
C U
E l e m e n t y t e j m a c i e r z y s ą z d e f i n i o w a n e n a s t ę p u j ą c o :
Model m a te m a ty c zn y
Rys. 1 Z ł o ż e n i e w a l c ó w . C l , 2 - w a l e c numer 1 i 2 ; 3 - w y k r o j e z ł o ż e n i a ; 4 - o s i e o b r o t u w a lc ó w } F i g .l A s s e m b ly r o l l e r s . C l , 2 - r o l l e r s 1 a n d 2 ;
3 - a s s e m b l y p a s s e s ; 4 - r o l l e r r o t a t i o n a x i s }
n o ^ ^ t a b i o a , F. Marecki
1Afi --- — ---
R y s . 2 S y s t e m WCK.
C A - n —t y a g r e g a t ; B ^ - n - t y m a g a z y n b u f o r o w y ;
N - l i c z b a a g r e g a t ó w C m a g a z y n ó w b u f o r o w y c h l u b p r o d u k t ó w } ;
Bm -m-ty m a g a zy n w s a d u ; M - l i c z b a t y p ó w w s a d u } F i g . 2 BCM S y s t e m .
CA - n - th a g c r e o a t e ; B - n - th s t o r e ; N - num ber o f a g g r e g a t e s ;
n n
B m - m-th I n p u t s t o r e ; M - num ber o f c h a r g e t y p e s .
Model m a t e m a t y c z n y . - • , •__________________________________________ __________________ ^ ^
f 1 . J * a *= <
ro’ n 1 O , w
j e ś l i z m - tego w s a d u m o źru u z y s k a ć n - t y p r o d u k t
p r z y p a d k u p r z e c i w n y m C laD
L i c z b a w y k r o j ó w p o s z c z e g ó l n y c h z ł o ż e ń m oże b y ć r ó ż n a » z a t e m d l a o p i s u WCK z a pom ocą m a c i e r z y p r z y jm ie m y
J = max J . C 2D
v i < i S i
g d z i e : J. - l i c z b a w y k r o jó w i —t e g o z ł o ż e n i a .
K a ż d y p r o d u k t J e s t o k r e ś l o n y p r z e z s w e w y m ia r y p r z e k r o j u p o p r z e c z n e g o » zatem l i c z b a p r o d u k t ó w , k t ó r e m ożna u z y s k a ć z W C K ^ J e s t l i c z b ą w y k r o jó w o s t a t n ie g o z ł o ż e n i a , c z y l i :
N = J x C3D
M a r s z r u t y t e c h n o l o g i c z n e p r o d u k t ó w m ożna o k r e ś l i ć p o d a j ą c n um ery wykrojów k o l e j n y c h z ł o ż e ń ^ p r z e z k t ó r e ma p r z e j ś ć w sa d .
M a r s z r u t y t e c h n o l o g i c z n e p r o d u k t ó w o p i s u j e m a c i e r z :
A = [ \ . n ] 1 = 1 ... 1 n ^ l , . . . , N
g d z i e : X - numer w y k r o j u i - t e g o z ł o ż e n i a d l a n - t e g o p r o d u k t u . L i c z b a t o n w s a d u , k t ó r ą m o żna p r z e w a l c o w a ć n a pewnym w y k r o j u ; n a z w ie m y ży w o tn o ś c ią w y k r o j u .
Ż y w o t n o ś c i w y k r o j ó w o p i s u j e m a c i e r z :
G * [ 9 ^ ]
j = l J
g d z i e : g — ż y w o t n o ś ć J —t e g o w y k r o j u i —t e g o z ł o ż e n i a . J e ż e l i
3 J < J C6Z>
i
to w m a c i e r z y C5D p r z y j m u j e m y d l a n i e i s t n i e j ą c y c h w y k r o jó w :
V C J < j < J D « > C g . = -1 D C 6aD
j
Wykroje, k t ó r e n i e i s t n i e j ą ^ n i e bęrdą b r a n e pod u w a g ę w o b l i c z e n i a c h .
2 a ł ó ż m y , ż e p o j e m n o ś c i m a g a zy n ó w b u f o r o w y c h p r z e d a g r e g a t a m i s ą z a p i s a n e w w e k t o r z e :
n = i N
g d z i e : b - p o je m n o ś ć m a g a zy n u b u f o r o w e g o n - t e g o p r o d u k t u C p r z e d a g r e g a t e m A ^ D .
Magazyn p r z e d WCK ma n i e o g r a n i c z o n ą p o je m n o ś ć .
W y d a j n o ś c i WCK o r a z a g r e g a t ó w d l a p o s z c z e g ó l n y c h p r o d u k t ó w s ą z a p i s a n e v m a c ie r z y :
D. R«iS2t a b i o a . f . Marocki
W « r W , 1 „ C8J
L n , l J n = l ...N
1 * 1 , 2
g d z i e : w ^ - w y d a j n o ś ć n - t e g o a g r e g a t u C d l a n —t e g o pr c d u k b u J , 2 ~ w>'d a J n o ś ć w a ‘' cłia n - teg o p r o d u k t u .
W y d a j n o ś ć j e s t r o z u m i a n a j a k o l i c z b a t o n m a t e r i a ł u o b r a b i a n e g o w je d n o s t c e c z a s u .
P r z y j m i e m y , ż e w y d a j n o ś c i s p e ł n i a j ą w a r u n e k :
V w > w C 8 a J
n , t n,2
n
S t r a t y J e d n o s t k o w e p r z e s t o j ó w a g r e g a t ó w s ą z a p i s a n e w w e k t o r z e :
H = i h 1 n J n = l , . . . , N- w C9:>
g d z i e : h.^ - s t r a t a p r z e s t o j u n - t e g o a g r e g a t u w j e d n o s t c e c z a s u . C z a s y w y m ian z ł o ż e ń s a z a p i s a n e w w e k t o r z e :
T » £ -r J i = l , _ tI C IO J
g d z i e : - c z a s w y m ia n y i —t e g o z ł o ż e n i a .
C z a s p r z e s t o j u WCK w w y n i k u w y m ia n y z ł o ż e ń j e s t z a i e ż n y o d lic z b y b r y g a d C s u w n i c ) . J e ż e l i l i c z b a b r y g a d n i e J e s t o g r a n i c z o n a , t o p r z e s t ó j WCK j e s t r ó w n y n a j d ł u ż s z e m u c z a s o w i r^.
Z a ł ó ż m y , ż e j e d n o s t k o w e d o s t a w y w s a d u s a z a p i s a n e w w e k t o r z e :
D = f d 1 , w C I O
[ m j m = l ,. . . , M
g d z i e : d ^ - d o s t a w a w s a d u m - tego t y p u w J e d n o s t c e c z a s u .
P r z y j m i e m y , ż e p o je m n o ś ć m a g a zy n ó w b u f o r o w y c h d l a w s a d u p r z e d WCK n i e jest o g r a n i c z o n a .
3 . O p i s m a t e m a t y c z n y
W p r o c e s i e w a l c o w a n i a na WCK m ożna w y r ó ż n i ć o p e r a c i e : - w a l c o w a n i a w s a d u ,
- w y m ia n y z ł o ż e ń .
P o k a ż d e j o p e r a c j i z m i e n i a s i e s t a n WCK.
O z n a c z m y p r z e z k numer k o l e j n e j o p e r a c j i , k = l K. L i c z b a o p e r a c j i K nie j e s t d a n a . W y n i k a o n a z w a r u n k ó w w a l c o w a n i a C n p . z a d a n a c h w i l a z a k o ń c z e n ia p r o c e s u j .
PET-i S t a n WCK p o k - t e j o p e r a c j i j e s t m a c i e r z ą :
k - i = i ... i C 1 ^
K i ]
j=i j
g d z i e : w^ — l i c z b a t o n w s a d u p r z e w a l c o w a n e g o n a J —tym w y k r o j u
Modo! m a t e m a t y c z n y . 1 A 9
i - t e g o z ł o c e n i a .
Ponieważ z ł o ż e n i a s ą w y m i e n i a n e e l e m e n t y x . . le o k r e ś l a Ja, l i c z b ę t o n w s a d u
1 • J
przewal c o w a n e g o n a tym samym z ł o ż e n i u .
J e ż e l i w k —t e j o p e r a c j i i - t e z ł o ż e n i e J e s t w y m i e n i a n e , t o p r z y jm u je m y , że:
V .« O C 1 3 a i
1 S j 3 J . w 3 oraz
V K 1' . « -1 C 13 b 3
J . < i < J *•' 1
Z a ł o ż e n i e m o że b y ć w y m i o n i o n e ^ J e ż e l i s p e ł n i a w a r u n e k :
3 x fc . = g. C14>
W J W J
1 < j < J Ł
Zatem w s p ó ł r z ą d n e s t a n u WCK s p e ł n i a j ą w a r u n e k :
V V O < x k . < g. . C l & O
v .j i .j 1 < i < I 1 < j < J
oraz
V V x k . = -1 C 1 5 b 3
W J 1 £ i s I J t s j £ J .
PET. 5 S t e r o w a n i e w y m ianam i z ł o ż e ń WCK w k - t e j o p e r a c j i J e s t w ekto rem :
y k - [ * i ] i = i ...i C 1 6 >
Elem enty t e g o w e k t o r a o k r e ś l a m y n a s t ę p u j ą c o :
w k - t e j o p e r a c j i i - t e z ł o ż e n i e j e s t w y m i e n i a n e k r i . j - s i i
k O , w p r z } V; =
p r z y p a d k u p r z e c i w n y m C 16a D
Zatem w k - te j o p e r a c j i m oże b y ć w y m i e n i o n y c h w i e l e z ł o ż e ń . Czas r k p r z e s t o j u WCK i
- d la J e d n e j b r y g a d y :
Czas T k p r z e s t o j u WCK n a s k u t e k w y m ia n y z ł o ż e ń w y z n a c z a m y n a s t ę p u j ą c o :
k VCI k
r = £ y * t. C 1 7 a J
ć l a n i e o g r a n i c z o n e j l i c z b y b r y g a d :
r k = m ax y k * t. C 17b D
i < i < I v
PEF. 3 S t e r o w a n i e w a l c o w a n i e m w s a d u WCK w k - te j o p e r a c j i j e s t w ek to r em :
1 5 0 .
D . R a s z t a b i g a , F . M a r e c k i
[ ]
E l e m e n t y t e g o w e k t o r a o k r e ś l a m y n a s t ę p u j ą c o :
Cl 83 1 = 1 , . . . ,M + 1
■u^ — num er p r o d u k t u » k t ó r y ma b y ć r e a l i z o w a n y , k - l i c z b a t o n p r o d u k t u xł^ » d l a m = l , . . . ,Mk
■uk - l i c z b a t o n w s a d u m - tego t y p u , k t ó r y ma b y ć w a l c o w a n y dla m* 2
r e a l i z a c j i n - t e g o p r o d u k t u , m = l , . . . , H.
D£F. 4- Z a p a s w s a d u WCK p o k - t e j o p e r a c j i j e s t w e k t o r e m :
k T m = l , H C ła:>
g d z i e : Jc - z a p a s w s a d u m - tego t y p u .
P r z y j m i e m y , ż e w p r o c e s i e musi b yć s p e ł n i o n y w a r u n e k :
V < s k _1 C 203
1 < „ < M m* 2
P E F . 5 Z a p a s p r o d u k t ó w WCK p o k - t e j o p e r a c j i j e s t w e k t o r e m :
2? = [ I . C21>
[ n J n = l N
g d z i e : z ^ - z a p a s p r o d u k t u n - t e g o t y p u .k
P r z y j m i e m y , ż e w p r o c e s i e m usi b yć s p e ł n i o n y w a r u n e k :
V e k < b C 223
1 < n < K n n
C z a s & k o p e r a c j i w a l c o w a n i a w s a d u WCK w y z n a c z a m y z e w z o r u :
p r z y czym
O z n a c z m y p r z e z lk c h w i l ę z a k o ń c z e n i a k - t e j o p e r a c j i , C ł ° = 0 3 . Z a t e m d l a op>eracji w a l c o w a n i a w s a d u o trzy m a m y :
C 233
C 243
a d l a o p e r a c j i w y m ia n y w a lc ó w :
C 2 5 a 3
C 2 5 b 3 C z a s w y z n a c z a m y z C 2 3 3 , n a t o m i a s t c z a s r k o d p o w i e d n i o z C l 7 a D l u b z ClTfc)
Mnrisl m a t e m a t y c z n y : 1 5 1
4. Równani a s t a n u
Na p o d s t a w i e p r z y j ę t y c h z a ł o ż e ń i d e f i n i c j i z o s t a n ą w y p r o w a d zo n e równania s t a n u p r o c e s u w a l c o w a n i a .
Z a ł ó ż m y , ż e d a n e s ą : X k ” f S * -1 o r a z Z * '* } p r z y c zy m X ° , S ° o r a z Z ° są danymi w a r u n k a m i p o c z ą t k o w y m i. N a l e ż y w y z n a c z y ć s t a n p o k o l e j n e j o p e r a c ji X.]f
4.1 O p e r a c i a w y m ia n y z ł o ż e A .
J e ż e l i k - ta o p e r a c j a p o l e g a n a w y m i a n i e z ł o ż e ń , t z n .
-1 k ^
3 y = 1 C 2 6 }
t o o trzym am y :
k _ f o- dla »i = 1
*v ,j “ | ^ x k-i , w p r z y p a d k u.. p r z e c i wnym .
C 2 7 5
P o n ad to d l a s e k w e n c y j n e j w y m ia n y w a l c ó w
■' z rf • C 2 8 a J
lub d l a r ó w n o c z e s n e j w y m ia n y w a l c ó w m ax
< i < 1
y. • T.k
Z a p a s y w s a d u w y z n a c z a m y z e w z o r u :
k k-i , . k A k-J_
S m = S m * m ”
Z a p a s y p r o d u k t ó w w y z n a c z a m y z e w z o r u : m=l ,
max £ O , z * * — 2 * C Ł - l J J
Zatem ^by z a p a s n i e b y ł z e r o w y ^ m u s i byó s p e ł n i o n y w a r u n e k :
C 28b D
CE9D
C 30 J
T k < _ n_ C 31 3
w
n * 2 k
P r z y j m ie m y , ±e s t e r o w a n i e u d l a o p e r a c j i w y m ia n y z ł o ż e ń J e s t w e k t o r e m zerowym.
4.2
J e ż e l i k —t a o p e r a c j a p o l e g a n a w a l c o w a n i u w s a d u , t z n .
i 5 2 D. Rasztabiga, F. Marecki
V y k - O C323
1 < i S I 1
a p o n a d t o r e a l i z o w a n y J e s t n —t y p r o d u k t , t o z a d a n e J e s t s t e r o w a n i e U.Jc
Na p o d s t a w i e U* o trz y m a m y :
. .. _ d l a Cu* * n3 .* CJ « 3
x k . = 1 f x i . j . + z i w n C33:>
<k = \ W J
^ 1 x k' 1 .
v V.J w p r z y p a d k u p r z e c i w n y m - • j
P o n a d t o
k
tk « i k_1 + — C 343
Ułn , l Z a p a s y w s a d u w y z n a c z a m y z e w z o r u :
k k -4 k . k . k—1.* -
s * s - v + d * C i - L j C 3 5 }
m m m-*-2 m
Z a p a s y p r o d u k t ó w w y z n a c z a m y z e w z o r u :
k - 1 k - .Je k - i . ,. k
2 + u - w • C t — t 3 , d l a n = u
i> 2 n , 2 i
n a x f O . x k ~i - w * C i k - d l a n * u k
I n n , 2 1 i
C 3 6 )
Z a te m ^ a b y n i e n a s t ą p i ł o p r z e p e ł n i e n i e n - t o g o m a g a z y n u b u f o r o w e g o ^ musi być s p e ł n i o n y w a r u n e k ;
C37D
c o w y n i k a z C36I> d l a n * v/k.
5 . S t e r o w a n i e
W r ó w n a n i a c h s t a n u z a k ł a d a n o , ż e s t e r o w a n i e w k - t e j o p e r a c j i jest
k k
z a d a n e . O b e c n i e r o zw a ż y m y d o p u s z c z a l n e s t e r o w a n i e P o r a z U.
D l a o p e r a c j i w y m ia n y z ł o ż e ń w e k t o r P k ma n i e z e r o w e w s p ó ł r z ę d n e * w ek to r
u k
j e s t z e r o w y .Z
k o l e i d l a o p e r a c j i w a l c o w a n i a w s a d u w e k t o roa
n i e z e r o w e w s p ó ł r z ę d n e j a w e k t o r P j e s t z e r o w y .
P o n i e w a ż p r z e s t o j e WCK m ogą p o w o d o w ać p r z e s t o j e d a l s z y c h agregatów, z a t e m p r z y j m i e m y , ż e w y m ia n y z ł o ż e ń d o k o n u j e s i ę t y l k o w przypadkach k o n i e c z n y c h .
J e ż e l i :
V m in C g - x k _ * 3 = 0 C 383
1 < n < N 1 < Ł < I v , i., n w i .r ,
t o w s t a n i e X k—1 n a WCK n i e m o żn a r e a l i z o w a ć ż a d n e g o p r o d u k t u . Z a t e m trzeba
d o k o n a ć w y m ia n y n i e k t ó r y c h z ł o ż e ń . P r z y j m i e m y , ż e z ł o ż e n i e p r z e z n a c z o n e
Model matematyczny 1 5 3
wymiany musi s p e ł n i a ć w a r u n e k : k-i
3 x . v. i = . C3€D
3
W p r zy p a d k u . g d y w i e l e z ł o ż e ń s p e ł n i a w a r u n e k C 3 9 D , p o w s t a j e p r o b le m n a jle p s ze g o w y b o r u z p u n k t u w i d z e n i a p r z y j ę t e g o k r y t e r i u m o p t y m a l i z a c j i . Po wymianie z ł o ż e ń w a r u n e k C 38 D n i e m oże b y ć s p e ł n i o n y .
J e ż e l i w a r u n e k C 3 8 2 n i e j e s t s p e ł n i o n y * t o n a l e ż y w y b r a ć : - numer p r o d u k t u Cu^ 58 rO ,je
- tonaż p r o d u k t u C u^ ) , - typv i t o n a ż e w s a d ó w C uje
Jr m+2
y
D o p u s z c z a l n y num er p r o d u k t u u =n m usi s p e ł n i a ć w a r u n e k :
f m in C g . k " ł - x . i > O ] * C s k " ‘ <
L i c c t »- • a.. i » A . I n
u 1 v S I l * n v , n J
m= U
C £ s * a > O } C 4 0 )
m m, r>
Wartość u^ m usi s p e ł n i a ć w a r u n e k :
v f ^
0 <u < rnln ■{ m in C g , - x k " ‘ 3 ; C b - 2 k " ‘ 3 ■n ,ł ;
2 I v , A . v * A n n W — U>
L Ł < j v » n * *n n , 4 n , 2
Z s k " * a m m, n I]
=i J
m : M
Z s “ ’ m * a } C 41 3
Typy w sadów m u s z ą s p e ł n i a ć w a r u n e k :
V C u 1 > 0 3 ==> C a = 13 C 42 3
m * 2 m, n
1 < m < M
Tonaże w sa d ó w m u s z a sp> ełniać w a r u n k i :
V v k m+ 2 < s k 1 m C 43 a 3
1 < ro < M oraz
£ U k = u* C 4.3b2>
*- m-2 2
m
Spośród s t e r o w a ń d o p u s z c z a l n y c h n a l e ż y w y b r a ć n a j l e p s z e z p u n k t u w i d z e n i a Przy ję teg o k r y t e r i u m o p t y m a l i z a c j i .
Z a łó ż m y , ż e w p r o c e s i e w a l c o w a n i a n a l e ż y m i n i m a l i z o w a ć p r z e s t o j e agregatów. D l a r e j e s t r a c j i t y c h p r z e s t o j ó w w p r o w a d z im y w e k t o r :
1 5 A _ D. Rasztabiga, F. Marocki
g d z i o : V * _ s u m a r y c z n a s t r a t a p r z e s t o j u n - t e g o a g r e g a t u .
E l e m e n t y w e k t o r a C-44J w y z n a c z a m y n a s t ę p u j ą c o :
k - 1 . IV * k /- k . k —1_ ”1 , , . k . k
' - [C t —m ax C ^ » t J J » J e ś l i l n > V*n
{
xj n + h n *O , w p r z y p a
C 4 5 } p r z y p a d k u p r z e c i w n y m
W o b l i c z e n i a c h n a l e ± y z a p a m i ę t a ć w e k t o r :
* n = [ < ] n = l N C 4 6 >
k
gdzie-: v>n ~ c h w i l a , w k t ó r e j p o k - t e j o p e r a c j i z a p a s n - t e g o p r o d u k t u s p a d n i e d o z e r a .
W a r t o ś c i p o c z ą t k o w e p r z y j m u j e m y n a s t ę p u j ą c o : ao
y/° s= -- —--- r >*7)
ri w n = i , . . . N
n , 2
J e ś l i k- ta o p e r a c j a b y ł a w y m ia n ą w a l c ó w , t o o trz y m a m y : k—l
k
n = l , . . . N C48J
n , 2
W p r z y p a d k u g d y k - ta o p e r a c j a p o l e g a ł a n a w a l c o w a n i u n - t e g o p r o d u k t u , to otrzym a m y :
zk
k - 1 n k
n
C49>
{
t . A - » + --- " d l a uKw i
k n ’ 2 v
• d l a u
n i
A b y n i e n a l i c z a ć w i e l o k r o t n i e t y c h sa m y c h s t r a t , w C 4 5 J p r z y j ę t o r ó ż n i c ę tk
U-—w •
t = m ax C 50J
. k-i C » g d z i e :
J e ś l i
i " -1 > C S lJ
t o d l a k - l- s z e j o p e r a c j i w e d ł u g C 4 5 } w y z n a c z a s i ę s t r a t ę d l a p rze d zia łu c z a s u od y/^ d o tk 1. Z a t e m , J e ś l i d l a k - t e j o p e r a c j i mamy:
.k k k —l
> Tn vn C525
t o s t r a u ę n a l e ż y n a l i c z y ć t y l k o d l a p r z e d z i a ł u c z a s u od tk” 4 do- tk. To u z a s a d n i a w zór C 5 0 J .
Model m a t e m a t y c z n y r ■ • •__________________________________________ ^ 5 5
e. Reguły heur-ygtyę.zne.
R e g u ł y h e u r y s t y c z n e p o w i n n y o k r e ś l a ć : - k t ó r y p r o d u k t r e a l i z o w a ć ,
- i l e p r o d u k t u r e a l i z o w a ć ,
- z J a k i e g o w s a d u r e a l i z o w a ć p r o d u k t , - k t ó r e w a l c e w y m ie n ia ć .
feeguły h e u r y s t y c z n e n i e d a j ą g w a r a n c j i w y z n a c z e n i a r o z w i ą z a n i a o p t y m a l n e g o . Z p u n k t u w i d z e n i a p r z y j ę t e g o k r y t e r i u m o p t y m a l i z a c j i C m i n i m a l i z a c j i s tra t w y n i k a j ą c y c h z p r z e s t o j u w a l c o w n i f i n a l n y c h } m o żna p r z y j ą ć n a s t ę p u ją c e r e g u ł y h e u r y s t y c z n e :
- Wybór p r o d u k t u
A by n i e n a s t ą p i ł p r z e s t ó j a g r e g a t u ? z a l e c a s i ę r e a l i z o w a ć p r o d u k t n , któ re go n a j w c z e ś n i e j m oże z a b r a k n ą ć w m a g a z y n i e b u fo r o w y m . Z a te m k o r z y s t a j ą c z C 4 8 } l u b C 4 9 } j w y z n a c z a m y :
y k = m in Cv'k ' 15 C S3 5
1 < u < N - Wybór i l o ś c i p r o d u k t u
I l o ś ć w y b r a n e g o p r o d u k t u Jc m usi s p e ł n i a ć w a r u n e k C 4 i } . P o n a d t o
p r z y jm u je s i ę , ż e :
< w + Cw* - w * 2 C5 4 }
2 n,i n l
J e ś li y/ J e s t k o l e j n y m t e r m in e m C l ^ n } , w y z n a c z o n y m w e d ł u g C 5 3 } .
- Wybór w s a d u
D l a r e a l i z a c j i n - t e g o p r o d u k t u z a l e c a s i ę wybór m - tego w s a d u , k t ó r e g o zapas j e s t n a j w i ę k s z y , t z n . :
s k = max s k • a C 5 5 }
w 1 < p < M "
- Wybór w a l c ó w d o w y m ia n y
A by o g r a n i c z y ć p r z e s t ó j WCK^ z a l e c a s i ę w y m ia n ę z ł o ż e ń o n a j w i ę k s z y c h c za s a c h r ..
Z a ł ó ż m y , ż e d a n y J e s t z b i ó r w a l c ó w p r z e z n a c z o n y c h d o w y m ia n y :
3 C x k = g k 5 ==> C i <s C 563
J 1 > J “ J
2© z b i o r u t e g o w y z n a c z a m y w a l e c i - t y , j e ś l i s p e ł n i a w a r u n e k :
C 57>
1 5 6 D . R a s z t a b i g a , F . M a r e c k i
J e ś l i p o w y m ia n i e i - t e g o w a l c a n a WCK m ożna r e a l i z o w a ć p e w n e p r o d u k t y , to s p r a w d z a m y w a r u n e k :
J e ś l i t e n w a r u n e k j e s t s p e ł n i o n y , t o m ożna w y m ie n ić k o l e j n y walec s p e ł n i a j ą c y w a r u n ek C 5 T O . W p r z y p a d k u ^ g d y p o w y m ia n i e p i e r w s z e g o w a l c a na WCK n i e m ożna r e a l i z o w a ć ż a d n e g o p r o d u k t u , t r z e b a w y m ie n ić k o l e j n e w a l c e aż d o • 'o d e t k a n i a “ p e w n e j m a r s z r u t y t e c h n o l o g i c z n e j .
7 . W n io s k i,
I s t o t a p r o b l e m u w a l c o w a n i a n a WCK p o l e g a n a p o d e j m o w a n iu d e c y z ji d o t y c z ą c y c h w y r o b u , k t ó r y ma b yć p r o d u k o w a n y o r a z z ł o ż e n i a , k t ó r e ma być w y m ie n io n e p r z y s p e ł n i o n y m k r y t e r i u m m a k s y m a l i z a c J i w y d a j n o ś c i WCK p o p rze z m i n i m a l i z a c j e l i c z b y w y m ia n z ł o ż e ń .
Z a p r o p o n o w a n y a l g o r y t m s t e r o w a n i a p r o c e s e m w a l c o w a n i a w sform ułow anym m o d e lu m a tem a ty c zn y m p o z w a l a n a n i e p r z e r w a n y p r a c ę w a l c o w n i f i n a l n y c h , p o p r z e z u t r z y m a n i e k a ż d e g o p r o d u k t u w m a g a z y n i e w y jś c io w y m . Z o trzym a ne go h arm on o gram u d l a r ó ż n y c h h e u r y s t y k a l g o r y t m u s t e r o w a n i a p r a c y l i n i i w a l c o w n i c z e j n a WCK o t r z y m u j e s i ę n u m e r y z u ż y t y c h z ł o ż e ń i c h w i l e ich w y m ia n y .
Na p o d s t a w i e p r z e d s t a w i o n e g o m o d e l u m a t e m a t y c z n e g o i h e u r y s t y c z n y c h a l g o r y t m ó w s t e r o w a n i a z o s t a ł n a p i s a n y p r o g r a m s y m u l u j ą c y s t e r o w a n ie p r o c e s e m w a l c o w a n i a i w y m ianam i z ł o ż e ń C 83 . P r o g r a m t e n p o z w a l a na
■ p rzep ro w a dzen ie e k s p e r y m e n t ó w k o m p u t e r o w y c h C t e s t ó w } . N a p o d s t a w i e testów m ożna b ę d z i e o c e n i ć j a k o ś c i o w o s t e r o w a n i e l i n i ą w a l c o w n i c z ą d l a różnych h e u r y s t y k , p r z y j ę t y c h d o s y m u l a c j i p r a c y w a l c o w n i i w y m ia n y z ł o ż e ń oraz s fo r m u ł o w a ć z a l e ż n o ś c i i p r a w i d ł o w o ś c i d l a z a d a n i a s t e r o w a n i a procesem w al c o w a n i a n a WCK.
[13 Z i e l i ń s k a - K ró l E . , M a r e c k i F„ : H a r m o n o g r a m o w a n ie p r o c e s u w a l c o w a n i a na WCK. Z N P o l . E l . Automatyka-, n r 4 4 , s s . 1 2 3 - 1 3 3 , G l i w i c e 1 9 7 8 .
:2] R a s z t a b i g a D. : R o l l i n g p r o c e s s c o n t r o l . 8 - t h I n t e r n a t i o n a l C o n f e r e n c e on C o n t r o l a n d C om p uter S c i e n c e , B u c h a r e s t 1 9 8 9 .
V 1 < n < N
C 5 8 }
L IT E R A T U R A
13J W a n d z ik M. : S t e r o w a n i e l i n i ą w a l c o w n i c z ą . P r a c a d y p lo m o w a m a g i s t e r s k a .
M odel m a t e m a t y c z n y 1 5 7
I n s t y t u t A u t o m a t y k i , G l i w i c © 1 9 8 9 .
[43 M a r e c k i F . i i n n i : S y m u l a t o r y s t e r o w a n i a d y s k r e t n y m i p r o c e sa m i p r ze m y s ł o w y m i. R a p o r t z p r a c y n a u k o w o - b a d a w c z e j . I n s t y t u t A u t o m a t y k i.
P o l i t e c h n i k a Ś l ą s k a , G l i w i c e 1 9 8 9 C n i e p u b l i k o w a n a } .
fai R a s z t a b i g a D. : S t e r o w a n i e p r o c e s e m w a l c o w a n i a c i ą g ł e g o . M a t e r i a ł y k o n f e r e n c y j n e I V O g ó l n o p o l s k i e g o K o n w e r s a t o r i u m n t . : " C y b e r n e t y k a - I n t e l i g e n c j a - R o z w ó j " C I R ' 8 9 , Z G P T C o r a z C O B N iD W a r s z a w a , WSRP w S i e d l c a c h , s s . 1 3 5 - 1 4 4 , S i e d l c e 1 9 8 9 .
fe) R a s z t a b i g a D. : S y m u l a t o r s t e r o w a n i a p r o c e s e m w a l c o w a n i a n a W a lc ow n i C i ą g ł e j K ę s ó w . V I K K A D PP K o z u b n i k k . P o r ą b k i , ZN P o l . S i . . A u t o m a t y k a , nr 1 0 1 , . G l i w i c e 1 9 9 0
f73 R a s z t a b i g a D. , M a r e c k i F. : M i n i m a l i z a c j a c z a s u p r o c e s u w a l c o w a n i a c i ą g ł e g o . ZN . P o l . S l . , A u t o m a t y k a , G l i w i c e 1 9 9 0 Cw d r u k u } . (8l R a s z t a b i g a D . ; M a k s y m a l i z a c j a w y d a j n o ś c i W a lc o w n i C i ą g ł e j K ę só w . I
O g ó l n o p o l s k a K o n f e r e n c j a n t . " S z t u c z n a i n t e l i g e n c j a " C I R * 9 0 . S i e d l c e 1 9 9 0 Cw d r u k u } .
R e c e n z e n t : D o c . dr h . i n ż . K .W a l a W p ł y n ę ł o d o R e d a k c j i d o 1 9 9 0 - 0 4 - 3 0 .
M A T H E M A T IC A L M ODEL O F T H E C O N TIN U O U S - F L O W R O L L I N G P R O C E S S
Sum m ary
T h e p a p e r p r e s e n t s a m a t h e m a t i c a l m odel a n d a n c o n t r o l a l g o r i t h m o f t h e B i l l e t C o n t i n u o u s M i l l C B C M }. For c o n t r o l a l g o r i t h m o f t h e BCM t h e h e u r i s t i c s a r e d i s t i n g u i s h e d a n d t h e c a l c u l a t i o n s a r e i l l u s t r a t e d w it h t h e e x a m p l i e s . T h e c r i t e r i o n o f m i n i m i z a t i o n o f t h e t i m e c o n t i n u o u s - f l o w r o l l i n g p r o c e s s h a s b e e n .a s s u m e d w hen s o l v i n g t h e p r o b l e m .
MATEMATHHECKA5I MOHEHb I1POLIECCA HEnPEPblBHOTO nPOK A T A
P e 3 » M e
B C T a T b e n p e n c T a s n e H a M a T e K a T K s e c k a « Monenb h a n r o p H T « y np a B neH na Henpepw BHw« FI pox a t h mm Ct a h o m. Hanncavia K O H n c T ep H aa ynpaBn$nouaa n p o r p a « » a ehMynHpyjowaa p a 6 o T y n p o x a T H o r o CTJfcHa h o6tieH n p o K aT H U x s a n x o s . B a n r o p n m e BuneneHW o b p h c t k x h a p a c H e r u unniocTpHpoBaHW KOwn»TepHWKM T e c T a K K . Hn*
peweHHa npo6neMbi n pH H ST xpHTepHft Max ch Manw eauK h n p o K 3 B0 2 HTenbHoct»i n p o x a T H o r o C T a K a .
