Zastosowanie metody programowania wieloetapowego do harmonogramowania procesu walcowania ciągłego

(1)

zsszrrr n a u k o w e p o l i t e c h n i k i Śl ą s k i e j Ssriai A UT O MA TY KA z . 75

__________ 1984

H r kol. 811

Elżbieta Zielińska-Król Politechnika Śląska

ZASTOSOWANIE M E T O D T PROGRAMOWANIA WIELOETAPOWEGO DO HARKONOGRAKOWAKIA PROCESU WALCOWANIA CIĄGŁEGO

Streszczenie. W pracy rozważa się problem harmonogramowenia procesu walcowania w oparciu o metodę programowania wieloetapowe

go. Sformułowano model matematyczny oraz podano definicje etanu 'procesu decyzyjnego, wartości stanu i procedury generacji starów.

1 . Wprowadzenie

Walcowanie n a gorąco jest podstawowym sposobem plastycznej przeróbki sta

li. Wlewki stalowe nagrzane w piecach wgłębnych do odpowiedniej temperatury, są odwalccrwane w walcarce-zgnlataczu skąd Już j a k o ftzw, kęsy zostają skiero

wane do walcowni ciągłej kęsów /WCK/. Proces walcowania w WCK polega n a jedno

krotnym przewalcowaniu materiału wejściowego przez określone wykroje znajdu

jące się n a kolejnych złożeniach' walców^ tzw. stopniach walcowania. Celem tego procesu jest otrzymanie wyrobów o ściśle określonych wymiarach poprzecznych i pełnej przydatności do dalszego przerobu, w ilościach wynikających z zapo

trzebowania odbiorców. Różne asortymenty z uwagi n a wymiary uzyskuje się w wyniku walcowania przez różne wykroje znajdujące się n a poszczególnych zło

żeniach /z reguły jest kilka wykrojów n a jednym złożeniu - rys.1./.

'

1 \

w

Rye.1. Złożenie walców

Dla każdego asortymentu wyrobów są określone marszruty technologiczne wskazu

jące kolejne walce i odpowiednie wykroje na tych walcach. Podczas walcowania wykroje ulegają zużyciu,co wiąże się z koniecznością wymiany złożeń. Wymiana

jednego złożenia powoduje przestój całej walcowni. V związku r ty., proces walcowania w W C E prowadzi się w ter. spo6Ób, aby w chwili wymiany złożenia wszystkie wykroje znajdujące się na nim były w maksymalnym stopniu wykorzys

tane. A zater, wymiana złożeń następuje wówczas, gdy na złożeniu nie - cżra

(2)

158 E . Ziellńska-Krdl

walcować żadnego asortymsntu. Stąd harmonogram walcowania partii wyrobów winien uwzględniać minimalizację sumarycznego p rzestoju walcowni spowodowane- go wymianami złożeń walców.

2. H o d e l matematyczny

Szczegółowy opis p ierwotnej- struktury procesu walcowania w VC K oraz epi- 3oby jej uproszczenia /b ez u t raty ogólności/, wykorzystujące procedury agre

gacji i dekompozycji podano w pracy [ 2 1 . Obecne rozważania dotyczyć będą vj- łącznie struktury procesu po agregacji i dekompozycji / ry s. 2./.

V ^o/

Bys.2. Struktura procesu walcowania: a/ pierwotna, b/ po agregacji, c/ po dekompozycji

V celu sformułowania problemu przyjmijmy następujące dane:

zbićr numerów asortymentów przewidzianych do realizacji w z a d a n y m -przedzia

le cza3u [ t p . . . . » - ^ ^

== ,... ,k,... ,X.}

w e k t o r tonaży zamówień

2 - £xk]

gdzie: x k - tonaż zamówienia n a k-ty asortyment;

zbiór numerów kolejnych złożeń walców

I M , . . . | i, . . . , i}

zbiory numerów wyk ro jó w n a i-tym złożeniu

(3)

Zastosowanie metody programowania

- macierz marszrut technologicznych

D = tdi(k] ^ 3 3 k=1 ,K

g d z i e ś d i k - n umer wykroju i-tego złożenia wykorzystywanego do produkcji k-tego asortymentu;

- macierz nominalnych żywotności wykrojów

H " I-EJ

gdzieś h. j - żywotność nominalna j-tego wykroju na i-tym złożeniu /liczba y J

ton materiału, którą można przewalcowaó na j-tym wykroju i-teco złożenia od stanu,¿dy jest on nowy do stanu Jego zużycia/;

- macierz nominalnych żywotności wykrojów po dekompozycji

A = ^ i . k 3 i»3JT k=1 ,ł

gdzie; a i ^ - żywotność nominalna .wykroju d i( k;

- macierz początkowych żywotności wykrojów

^ l . j 3 1m j ń - ■ j*=T7T(i)

gdzie; r. , - początkowa żywotność j-tego wykroju i-tego złożenia /liczba i- f J

ton materiału przewaloowanego na j-tym wykroju i-tego złożenia do chwili t - macierz początkowych żywotności wykrójćw po dekompozycji

3 = ^ i . k 3

k«1,K gdzie; s^ ^ - żywotność początkowa wykroju

- macierz początkowej przepustowości V CX po dekompozycji

q - ^ i , k 3 i - m k*=1 ,K

gdzie: k - początkowa przepustowość wykroju d.. /liczba ton materiału, którą można przewalcowaó przez wykrój d^ ^ do chwili jego zuzycia/;

- wektor czasów wymian złożeń

1 “ CTi ] i-TTT

gdzie: T Ł - czas wymiary i-tego złożenia;

- wek t or wydajności walcowania

A - C A k ] lwTTZ

(4)

160 B . Z i e l i ń sk a- K ró l

gdzie: - w y d a j n o ś ć W C E dla k -tego a s o r t y m e n t u /liczba t o n k-tego a s o r t y m e n t u p r z e w a lc ow an e w jednostce czasu/*

W celu sformułowanie o gr an i c z e ń p r o c e s u wp ro w a d z i m y następujące o z n a c z e n i a :

- = | 1 ,. .. ,n,.. . ,n] - zbiór n u m e r ó w k o l e j n y c h operacji, które muszą z os ta ć w y k o n a n e dla r ea l iz a c j i w e k t o r a tonaży zamówień. O p eracją nazj- w ać b ę d z i e m y p r z e w a l c o w a n i e pewnej p orcji A i c z b y t o n / w y r o b u określo

n e g o a so rt y m e n t u b e z w y m ia ny złożeń. Liczba N o peracji nie jest znano p rzed r o z p o c z ę c i e m procesu;

- - chwila r o zp o cz ęc ia n- te j operacji;

- t chwi-la z a k oń cz en i e n- t ej operacji;

D

- k - a s or ty m en t w y r o b u r e a l i z o w a n e g o p o d c za s n-tej operacji;

- z - liczba ton m a t e r i a ł u p o d l e g a j ą c e g o n-tej operacji.

n

Z i d e n ty f ik ac ji p r o c o s u w y n i k a j ą n a s t ę p u j ą c e ograniczenia:

a / w każdej chwil i trwa ni a p r o c e s u m o ż e b y ć w y k o n y w a n a t y l k o jedna operat?

c / k a ż d a operacja mu s i b y ć w y k o n a n a d la m ak sy m a l n e j i l oś c i m at eriału m o ż l iw ej do p r z e w a l c o w a n i e b e z w y m i a n złożeń

gdzie: - p r z e p u s t o w o ś ć w a l c o w n i dla k u t e g o a s o r t y m e n t u przed n w y k o n a n i e m n -tej operacji,

z t - liczba ton w y r o b ó w kn - t e g o asor ty me n tu , k t ó r ą odwslcowan!

E do ch wili r o z p o c z ę c i a n-tej operacji

/1/

b / w y k o n y w a n i e operscji nie mo że b y ć p r z e r w an e

/2/

n t

n =1,n-'

/ V

f n * ł^ n O; w p r z y p a d k u p r z e c i w n y m

/5 /

(5)

Zastosowanie 'metody programowania.

i / należy wykonać tyle operacji, aby zrealizować zamówienia na poszczególne asortymenty w żądanej ilości /liczbie tor./

sk,?l = Z _ V “ V k=T^ /6/

n=1 ,N

gdzie: ^ jj — przewalcowana liczba ton k — tego asortymentu»

e/ wykonanie operacji nie może powodować zbędnych przestojów W CK

k. 6 trTi

m n

gdzie: ^K11 — zbiór numerów asortymentów, z których każdy może być wykonany podczas n-tej operacji i n i e spowoduje zbędnej -wymiany złożeń.

Przy tak sformułowanym modelu i ograniczeniach procesu poszukujemy h a r  monogramu postaci

H = < S n - V V zn > n=Tlh

Zakładając, że k r y t e r i u m opt ym al iz a cj i p r o c e s u walcowania jest; mini

malizacja czasu r ea li z ac ji w e k to ra zamówień, p r o bl em polega na znalezie

niu takiego h a r m o n o g r a m u oraz liczby operacji U, które s p eł niają podane wyżej ograniczenia i m i n i m a l i z u j ą w s k a ź n i k jakości

6 = m a x /?/

/9a/

U n i S

czyli wprost ® c %

3. Stan p r o c e s u d e c v z v i n e r o i w ą r t o ś ó staDlL.

Sef.i. Stanem procesu decyzyjnego jest para macierzy

TT1 ”! = (P1 ^ , 5 1 ’? ) / 10/

o 1*=1 gdzie: - macierz stanu realizacji asortymentów

pM = [d1 *'*] — c / H /

p * “ L p n , n J n = H H m= 1,5 o elementach

f tR ; jeśli w stanie ‘JT1 **? wykonano n-tą o p e r a c j ę ^ ph,i (_

o

; w p rzypadku przeciwnym

kR ; jeśli » tR /iib/

0 ; w przypadku przeciwny-.

zn ; jeśli py - tn / n c /

0 i w przypadku przeciwnym

„l.t?

pn,2

(6)

162

^{B .}^Ziellń^ska-Kr^<51

oraz - macierz przepustowości walcowni

S M = [ < £ ; £ ] i = I 3 /12/ k=1 ,K

o elementach stanowiących przepustowość wykroju ^ ^ w stanie ‘jf 1,IZ . V stanie początkowym 'if1 ’0 , macierz p 1 >° jest ^macierzą zerową, a macierz przepustowości jest równa początkowej przepustowości walcowni, czyli

P 1 ' ° = C o l , 3 1,° ■= Q / 1 3/

2 kolei stanem końcowym 6 i jest para, dla której spełniony jest wa

runek realizacji wektora zamówień. Warun ek ten, po uwzględnieniu zmiennych stanu przyjmie postać K równań

S\ , r i = P n ’J ’ S" 1,»! v = xk* k = 1 'K: / U /

n=1,K pn , 2 ’K

gdzie; 2^’^ - liczba ton k-tego asortymentu zrealizowanego w stanie 'Ji1'*! i I - zbiór wszystkich stanów końcowych.

H a podstawie każdego stanu końcowego m ożna wyznaczyć dopuszczalny harmono

gram.

Dei.2. W ar to ś c i ą stanu i!'“ ’1! jest wielkość określająca najpóźniejszą chwilę zakończenia operacji w stanie 'jT- '!

V 1 *1} = mas p*'?- /15/

1 < n ć K 0,1 luh inaczej

V 1,12 = p1,'? /I5a/

n M ,1

gdzie; n^*'/ - n u m e r operacji wykonywanej jako ostatnia w stanie r\T 1,r!

r.1,łl = n O T : ( p M > 0 ) a ( p * ; , ^ = o) / 16/

D la stanów końcowych war to ść stanu jest równa wartości wskaźnika 0 obliczonej dla harmonogramu otrzymanego n a podstawie danego stanu. Stąd opij' malnym stanem końcowym je3t stan, d la którego warto ś ć stanu jest minimalna-

Generowanie stanów

P rzejście d o stanu n astępnego w kolejnym etapie decyzyjnym następuje s*

podstawie znajomości stanu etapu poprzedniego i dopuszczalnej do podjęcia w t ym stanie decyzji. W rozważanym przypadku decy zj ą jest polecenie realizJ' cji kolejnej operacji /tzn. określenie asortymentu, tonażu i chwili rozpoo^' cla/. Uwzględniając, że zarówno tonaż jak i chwila rozpoczęcia operacji

(7)

Zastosowanie metody programowania . 1 6 2

wynikają z ograniczeń procesu - można przyjąć, że decyzja określa tylko a-"1 sortyment wyrobów, który należy realizować w ramach, kolejnej operacji.

Decyzja dopuszczalna w stanie winna spełniać następujące warunki:

i/ realizować można tylko taki asortyment, którego jeszcze nie wykonano całkowicie w danym stanie, t j .

zk '7 = x k - 2l ,rl > 0 /17/

gdzie: - liczba ton wyrobu k-tego asortymentu, którego nie w ykona

n o w stanie M ;

ii/ ni e może powodować zbędnych przestojów WCK, tzn. musi dotyczyć w pierw

szej kolejności asortymentów, które można realizować bez wymiany wal

ców, t j .

k e - s M /1G/

g d z i e : - zbiór indeksów asortymentów możliwych do realizacji w stanie , których realizacja nie spowoduje zbędnych wymian złożeń

'k, jeśli 3 > 0

/,Ca/

, jeśli V ■= 0 ke-K K i 1,7

przy czym qk ’7 czyli przepustowość WCK dla k-tego asortymentu w stanie , określa zależność

q £ ,rl = min q}*5 /'9/

■ i i ł i l X , K

natomiast i 1 ’1! ożyli zbiór indeksów asortymentów, które można realizo

w a ć po wymianie złożeń, określa zależność

i 1 ’1? = j k e T : > o } / 2 0/

Znaczenie i sposób wyznaczenia podaje nieco dalej zależność / 2 £ / . Zakładając, że k jest asortymentem, którego realizację poleca decyzja dopuszczalna w stanie — regułę przejścia do stanu następnego, t j ,

= (P,5i) przedstawimy następująco:

P «= P 1 »! + A P(k) 5 “ S 1 *7 + A«5(k)

gdzie: A P ( k ) = C A p O c ) ^ ] n=f 3 / 22/

n*=i ,3

/ ²¹ /

przy czym t

ft ; jeśli n «= + 1 A p E ; i (k) ■

n n

G ; w prceciwnyn przypadku

/22a/

(8)

164 E.Ziellńska-Król

Av ^n'2 ^Ck)

A p n ;3 (*>

1^; jeśli n'«= n^-’*? + 1 = n

O ; w przeciwnym przypadku

zn ; jeśli n'= n^'7 + 1 = n

' 0 ; w'przeciwnym przypadku A S { k ) «= I A ą ( k ) i f k J j-—

k'=1 ,K

/22b/

/22c/

/23/

przy czym A q(k) ^ k <- - u b y t e k przepustowości i-tego złożenia dla k'-tego asortymentu.

Ze znajomości decyzji wynika

= k /24/

W celu określenia pozostałych zmiennych wygodnie je3t w yróżniś dwa przypadki.

P rz ypadek 1 . W stanie istnieją asortym e n t y możliwe do w y k onania bez wymi an y złożeń, tj.

3 ą l ’A > 0 /25a/

k'e T

/ w a r un e k ten jest spełniony również dla kcli, który zgodnie z decyzją należy wykonań podczas n-tej operacji/.

4 . « » ( z j - l , - i l ' l ) / 2 5 V

‘i • * ? . , + j “ ' 25o/

oraz , f~zr,> jeśli (k'=k)v [(k'/k)A(d. .=d. v /’)3

A *i k'(k) = ’ ’

' [ 0 ; w przeciwnym przypadku

D la pierwszej operacji /tj.n=l/, = ip* a = qJ: •

Przypadek 2. W stanie 3T^',1 n ie m a asortymentu, możliwego do realizacji bes wymiany złożeń, t j .

V 0 / 2 6/

k'e T Wówczas

z* - a i n ( z M , ą M ) /27a/

(9)

Zastosowanie metody programowania . 165

oraz

r-zn ; jeśli'-{(k'=k)v[Ot'|ik)A(dlłk» a i ,k ,)]}A(i'^ i M ) - zn +ai,k '; J e ś l i{ ( k/=k)y[(kVk)A(dljy= d i j k ,)]}A ( i t l 1 **!)

a ljk; jeśli [ ( k ^ k M d ^ d ^ , ) } a ( i 6 1 1 '7) O ; w pozostałych przypadkach

gdzie: 4 y '7 - przepustowość W C K w etanie “jf 1 '1? dla k-tego asortymentu po uwzględnieniu wymian walców

tó-1 ^{■ min} i 4 i 4 i

/ 28 ^/

Z kolei 4 ^ ’^ - p rzepustowość w stanie 'jf " ^ w y k r o j u i-tego złożenia dla k-tego asortymentu określa zależność

q M ; d eśii _* _]j V _{1 # K} > o

a k : Jeśli 3 qM, - 0

i,k v's y i»K

/29/

Czas wymian złożeń T jest uzależniony od liczby brygad dokonujących wymiany. P r z y nieograniczonej liczbie brygad

% = max i £ I 1.1 natomiast przy jednej brygadzie

/3<W /3C b/

T = ^

ie I **Z

przy czym I1 '*! - z biór indeksów złożeń wymagających wymiany w -stanic ^ ~ ’ 1

1 1’1 ^{= |} ¹⁶¹ ^{: V} ^{» o]} ^/ 51 ^/

^ k 6 'X

5. Pwagi końcowe

Przedstawiony problem harmonogramowania procesu walcowania w walcowni ciągłej kęsów rozwiązano metodą programowania wieloetapowego. V porównaniu z d o w o l n y m .algorytmem heurystycznym metodą tą można znaleźć rozwiązanie opty

malne /kosztem czasu obliczeń/. V p r z y p a d k u fgdy pamięć lub czas obliczeń eą ograniczone, za pomocą przedstawionego algorytmu nożna uzyskać rozwia.zanie heurystyczne.

Podene w pracy zależności pozwalają na uzyskanie terminów wymian złożeń, istotnych dla oddziału regeneracji walców, współpracującego z WCŁ.

Przedstawiony algorytm charakteryzuje się dużą zajętcścią pomięci kom

(10)

<66 ^{E .21eliń}^ska-Król

puterowej, /jest jednak korzystny z uwagi r a czas o bl i cz eń /. J e B t to związane z uwzględnieniem w definicji stanu - macierzy przepustowości W C K po dekompo

zycji. Wprowadzając pewne up ro szczenia m o żn a zmniejszyć obszar zajmowanej pa

mięci lecz wówczas w ydłuży się czas obliczeń. H a czas obliczeń i zajmowany obszar pamięci komputerowej będą miały również wp ł y w reguły wyboru stanu ak

tywnego, podziału i eliminacji stanów nieperspektywicznych. Reguł y te oraz ich ocena b ę d ą przedmiotem dalszych prac.

U T E H A T U H A

tli P r a c a zbiorowa: System automatycznej kontroli i sterowania jakością wyro bó w dla celów automatycznego sterowania, cz.III i IV. Eaport z pracy n-b, Instytut Automatyki, Gliwice 1975, 1976.

[3 M a re ck i F..,Król E.: Harmonogramowanie procesu walcow an ia n a VCK. ZS Poli

techniki Śląskiej, s. Automatyka, n r 44, Gliwice 1976.

[5] Kr ól E.: Sterowanie operatywne procesem w alcowania ciągłego kęsów. Prace VIII EKA, Szczecin 1960-

[4j W i t a s ze k E.¡Sterowanie operatywne p rocesem walco wa n ia kęsów. Praca dyplo

mowa magisterska /niepublikowana/, In stytut Automatyki, Gliwice 1981.

[5] Staszewski A.: Harmonogramowanie proce su walcowania ci ąg ł eg o z uwzględnie

n i e m współpracy z systemem w alcowni finalnych. P r ac a dyplomowa magisterska /niepublikowana/» Instytut Automatyki, Gliwice 1983-

[6] Belliaan E . : A da ptacyjne procesy sterowania.. EWlf, W a rszawa 1965.

[7] Coffman E. i in.: Teoria szeregowania zadań. WHT, War sz aw a 1980.

E3] Mare ck i F.: M e t o d a p r ogramowania wieloetapowego. ZH Politechniki Śląskiej, s. Automatyka /w druku/, Gliwice 1934.

R e c e n z e n t : P r o f . d r h a b . i n ż . S t e n i s ł s w P iasecki W p ł y n ę ł o do R e d a k c j i do 3 0. 0 3»19SAr.

nPKMEHEHKE METOM HHOIOBTAIIHOn) IIPOrPAiMHPOBAHHH MIEHMPHOrO ggAHHPOBAHHfl UPOIIECCA HP0KA.TA

P e

³

a a e

B paOore oGcyaataetcn npodjieaa KSJieHHapHoro im am poB am st nponecca npo- s a s a a a <5a3e K etosa KHoroaTaimoro nporpaMsmpoBaHHK . OJopMyrapoBaHa

^liaie-

¡saTuvecEaa w z e jo , , z a so cnpeReieH ue coctohheh pemazmero npouecca, Bear®-

HH COCTOHHEH E Iiponesyp HOJryTteHEH COCTOHHHfl.

(11)

Zastosowanie metody program owania . 167

AS APPLICATION OF T H E M U LT IS T A G E P RO G RA M M I N G M ET H OD FOR SCHEDULING PHOBLEM OF C O NT IN UO U S R O L L I N G

S u m m a r y

A schedul in g p r o b l e m for c o nt in uo u s rolling is consid e re d using m ulti

stage p r o g r a m m i n g method. A m a th em a ti ca l model and de finitions of the state of d e c is io n process, state v b l u e B and state ge ne r at io n procedure are given.