PAWEŁ KRUPSKI
Wykład 2. Ciągi liczbowe i ich granice
0.1. Podstawowa terminologia.
Definicja 0.1. Ciągiem liczb rzeczywistych nazywamy dowolną funkcję a : N → R.
Jej wartość a(n) nazywamy n-tym wyrazem ciągu. Zwyczajowo zapisujemy: a(n) = an i a = a1, a2, · · · = {an}.
Ciąg {an} jest ograniczony z góry (z dołu), gdy funkcja a jest ograniczona z góry (z dołu), tzn. zbiór jego wyrazów jest ograniczony z góry (z dołu); ciąg jest ograniczony, gdy jest ograniczony z góry i z dołu.
Ciąg {an} jest rosnący (malejący), gdy funkcja a jest rosnąca (malejąca), tzn.
a1 < a2 < . . . (a1 > a2 > . . . ); {an} jest słabo rosnący (słabo malejący), gdy funkcja a jest słabo rosnąca (słabo malejąca), tzn. a1¬ a2¬ . . . (a1 a2 . . . ).
Ciąg słabo rosnący (słabo malejący) nazywany jest także ciągiem niemalejącym (nierosnącym).
Ciągi słabo rosnące lub słabo malejące nazywamy ciagami monotonicznymi.
Ciąg {an} jest stały, gdy funkcja a jest stała, tzn. (∀ n, m ∈ N) an = am. Ciąg {an} jest prawie stały, gdy (∃ k ∈ N ∀ n, m k) an= am.
Jeśli W jest pewną własnością, to mówimy, że prawie wszystkie wyrazy an mają własność W (lub W zachodzi dla prawie wszystkich n), gdy
(∃ k ∈ N ∀ n k) an ma własność W .
Na przykład, prawie wszystkie wyrazy an należą do zbioru A ⊂ R, gdy (∃ k ∈ N ∀ n, m k) an∈ A.
Definicja 0.2. Jeśli {an} jest ciągiem i ciąg liczb naturalnych n1, n2, . . . jest ro- snący, tzn. n1< n2< . . . , to ciąg an1, an2, · · · = {ank} nazywamy podciągiem ciągu {an}.
Na przykład, ciag a1, a3, a5, · · · = {a2k−1} jest podciągiem ciągu {an}, a ciąg a1, a3, a2, a4, a5, a6, . . . nie jest jego podciągiem.
0.2. Granice ciągów i ich najprostsze własności.
Definicja 0.3. Liczba a jest granicą ciągu {an}, gdy dla każdej liczby > 0 prawie wszystkie wyrazy an należą do przedziału otwartego (a − , a + ) (przedział taki będziemy nazywać -otoczeniem punktu a). Innymi słowy,
(∀ > 0 ∃ k ∈ N ∀ n k) |an− a| < .
1
Mówimy wówczas także, że ciąg jest zbieżny (do a) lub wyrazy ciągu dążą do a i piszemy limn→∞an= a lub krócej lim an= a, lub an→ a (gdy n → ∞).
Ciąg {an} jest rozbieżny do ∞ (-∞), gdy dla każdej liczby ∈ R prawie wszystkie wyrazy an należą do przedziału (, ∞) (do przedziału (−∞, )). Piszemy wtedy lim an= ∞ (lim an= −∞), lub an → ∞, (an→ −∞) (gdy n → ∞). Mówimy też, że ∞ (−∞) jest granicą niewłaściwą a przedział (, ∞) ((−∞, )) jest otoczeniem
∞ (−∞).
Ciąg, który nie jest zbieżny ani rozbieżny do ±∞, będziemy nazywać rozbieżnym.
Przykłady 0.4. Ćwiczenie
(1) Ciąg harmoniczny {1/n} jest zbieżny do 0 a ciąg {(−1)n} jest rozbieżny.
(2) Ciąg prawie stały an= c dla n k jest zbieżny do c;
(3) Każdy ciąg słabo rosnący (słabo malejący) nieograniczony z góry (nieogra- niczony z dołu) jest rozbieżny do ∞ (−∞);
(4) ciąg an := − log n dla parzystych n i an = 0 dla nieparzystych n jest rozbieżny.
(5) lim an= 0 wtedy i tylko wtedy, gdy lim |an| = 0.
Obserwacja 0.5. Każdy ciąg posiada co najwyżej jedną granicę.
Dowód. Gdyby ciąg {an} miał dwie różne granice a i b, to dla := |a − b|/3, - otoczenia punktów a i b są rozłączne i jednocześnie każde z nich zawierałoby prawie wszystkie wyrazy an, co jest oczywiście niemożliwe. Obserwacja 0.6. Każdy ciąg zbieżny jest ograniczony.
Dowód. Jeśli lim an= a, to prawie wszystkie an należą do przedziału (a − 1, a + 1), czyli istnieje k ∈ N takie, że a − 1 < an < a + 1 dla każdego n k. Niech m = min{a − 1, a1, . . . , ak−1}, M = max{a+11, a1, . . . , ak−1}. Wtedy m ¬ an¬ M
dla każdego n ∈ N.
Twierdzenie 0.7 (Działania arytmetyczne na ciągach zbieżnych i rozbieżnych do
±∞).
(1) Jeśli ciągi {an} i {bn} są zbieżne odpowiednio do a i b, to ciągi {an± bn}, {anbn} i {an/bn} (gdy bn 6= 0) są zbieżne odpowiednio do a ± b, ab i a/b (gdy b 6= 0).
(2) Jeśli lim an= ∞ i ciąg {bn} jest ograniczony z dołu, to lim(an+ bn) = ∞, a jeśli dodatkowo założymy, że istnieje liczba dodatnia ograniczająca z dołu ciąg {bn} dla prawie wszystkich n, to lim(anbn) = ∞.
(3) Jeśli lim an= ±∞, to lima1
n = 0. Jeśli lim an= 0, to lim|a1
n|= ∞.
Dowód. Dowody wymienionych własności można znaleźć np. w podręczniku Kura-
towskiego, 2.4 i 2.8.
Twierdzenie 0.8 (Nierówności między granicami). (1) Jeśli an ¬ bndla pra- wie wszystkich n, ciągi {an} i {bn} są zbieżne, to lim an ¬ lim bn;
(2) Twierdzenie o 3 ciągach: jeśli an ¬ cn ¬ bn dla prawie wszystkich n i lim an= lim bn, to ciąg {cn} jest zbieżny i lim cn= lim an = lim bn; (3) załóżmy, że an¬ bn dla prawie wszystkich n; jeśli lim an= ∞, to lim bn=
∞, a jeśli lim bn= −∞, to lim an = −∞.
Dowód. Zob. podręcznik Kuratowskiego, 2.5 i 2.8.
Zasadnicze twierdzenia o zbieżności ciągów i podciągów.
Twierdzenie 0.9 (O ciągach monotonicznych). Każdy ciąg monotoniczny jest albo zbieżny albo rozbieżny do ±∞: pierwszy przypadek zachodzi, gdy ciąg jest ograniczo- ny; gdy jest nieograniczony z góry, to jest rozbieżny do ∞, a gdy jest nieograniczony z dołu, to jest rozbieżny do −∞.
Dowód. Dla dowodu pierwszego przypadku zob. podręcznik Kuratowskiego, 2.6, dowód Twierdzenia 3. Dowód pozostałych przypadków jest prostym ćwiczeniem.
Następująca pożyteczna obserwacja wynika wprost z definicji granicy.
Obserwacja 0.10. Każdy podciąg ciagu zbieżnego do a jest też zbieżny do a.
Dowód. Niech {ank} będzie podciągiem ciągu {an} zbieżnego do a. Wtedy każde
-otoczenie punktu a zawiera prawie wszystkie wyrazy an, więc tym bardziej prawie
wszystkie wyrazy ank.
Następujące twierdzenie jest jednym z fundamentalnych w matematyce.
Twierdzenie 0.11 (Bolzano-Weierstrassa). Każdy ciąg ograniczony ma podciąg zbieżny.
Dowód. Niech {an} będzie ciągiem ograniczonym i niech A = {an : n ∈ N} A będzie zbiorem wyrazów ciągu. Istnieje M > 0 takie, że (∀ n ∈ N) an ∈ [−M, M ] Przypadek 0.12. A jest skończony, A = {an1, . . . , ank} dla pewnego k ∈ N. .
Rozważmy funkcję a : N → R, a(n) = an i przeciwobrazy a−1(an) wyrazów ciągu. Zauważmy, że N = Sk
m=1a−1(anm), więc pewien przeciwobraz a−1(anm) musi być nieskończony, a−1(anm) = {r1, r2, . . . } i możemy przyjąć, że r1< r2< . . . (dlaczego?). Otrzymujemy pociąg stały ar1, ar2, . . . , którego wyrazy są równe anm. Przypadek 0.13. A jest nieskończony.
Dzielimy przedział [−M, M ] na pół: [−M, M ] = [−M, 0] ∪ [0, M ]. Wybieramy
“połówkę”, która zawiera nieskończenie wiele wyrazów; oznaczmy ją przez P1. Dzie- limy przedział P1 na połowy i wybieramy połówkę P2, która zawiera nieskończenie wiele wyrazów, itd. Formalnie: w kroku indukcyjnym określamy Pn+1jako “połów- kę” przedziału Pn, która zawiera nieskończenie wiele wyrazów.
Mamy Pn+1 ⊂ Pn i |Pn| = 2M2n = 2n−1M , gdzie |Pn| oznacza długość przedziału Pn. Niech Pn= [bn, cn]. Wtedy |Pn| = cn− bn =2n−1M .
Wybieramy indukcyjnie podciąg {amn} taki, że amn∈ Pn:
niech am1 będzie dowolnym wyrazem w P1. Jeśli amn∈ Pnzostał wybrany, to w Pn+1wybieramy amn+1 tak, by mn< mn+1; można to zrobić, bo wyrazów w Pn+1
jest nieskończenie wiele. Zachodzą nierówności bn¬ amn¬ cn.
Ciąg {bn} jest słabo rosnący, a {cn} słabo malejący (bo Pn+1⊂ Pn ) oraz oba ciagi są ograniczone (bo sa w [−M, M ]). Zatem są zbieżne. Zauważmy, że
lim cn− lim bn = lim(cn− bn) = lim M 2n−1 = 0,
więc lim cn= lim bn. Z twierdzenia o 3 ciągach otrzymujemy lim amn= lim bn.
Wniosek 0.14. Jeśli każdy zbieżny podciąg ograniczonego ciągu {an} ma taka samą granicę a, to lim an = a.
Dowód. Przypuśćmy, że {an} nie jest zbieżny do a, tzn.
(∃ > 0) (∀k ∈ N) (∃ nk k) |ank− a| .
Indeksy nk można wybierać rosnąco: n1 < n2 < . . . . Wg twierdzenia Bolzano- Weierstrassa, z podciągu {ank} można wybrać podciąg zbieżny {ankm}. Z założenia limm→∞ankm = a, więc |ankm− a| < dla prawie wszystkich m. Z drugiej strony ankm ∈ {an1, an2, . . . }, więc |ankm − a| , sprzeczność.
0.3. Ciągi Cauchy’ego.
Definicja 0.15. Ciąg {an} spełnia warunek Cauchy’ego (∀ > 0 ∃ k ∈ N ∀ n, m k) |an− am| < .
Twierdzenie 0.16. {an} jest zbieżny wtedy i tylko wtedy, gdy spełnia warunek Cauchy’ego.
Dowód. Załóżmy najpierw, że {an} jest zbieżny i lim an = a. Niech > 0. Istnieje k ∈ N takie, że |an− a| < /2 dla każdego n k. Jeśli zatem m, n k, to
|an− am| = |an− a + a − am| ¬ |an− a| + |a − am| < /2 + /2 = , czyli warunek Cauchy’ego jest spełniony.
Aby pokazać implikację odwrotną, załóżmy teraz, że {an} spełnia warunek Cau- chy’ego. Wynika stąd, że {an} jest ograniczony:
dla = 1 istnieje k ∈ N takie, że |an− ak| < 1 dla każdego n k, czyli ak− 1 <
an< ak+ 1; jeśli więc m = min{a1, . . . , ak−1, ak− 1} i M = max{a1, . . . , ak−1, ak+ 1}, to m ¬ an ¬ M dla kazdego n ∈ N.
Z twierdzenia Bolzano-Weierstrassa wiemy, że {an} ma podciąg zbieżny {akn}, limn→∞akn = a. Pokażemy, że lim an= a. Niech > 0. Istnieją:
k ∈ N takie, że |an− ak| < /3 dla n k (warunek Cauchy’ego), l ∈ N takie, że |akn− a| < /3 dla n l (zbieżność podciągu do a.
Ponieważ kn n (zadanie), więc dla n max{k, l} mamy
|an− a| = |an− ak+ ak− akn+ akn− a| ¬ |an− ak| + |ak− akn| + |akn− a| <
/3 + /3 + /3 = .
Przykłady 0.17 (Kilka ważnych granic).
1. Ciąg an= (1 + 1/n)n jest zbieżny.
Zbieżność uzasadniamy na podstawie Twierdzenia 0.9, pokazując, że jest to ciąg rosnący i ograniczony z góry przez 3. Granicę ciągu (1 + 1/n)n oznacza się za Eulerem przez e. ≈ 2.718 . . . ).
2. lim bn=
0, dla |b| < 1;
∞, dla b > 1.
3. lim√n
b = 1 dla b > 0.
4. lim√n n = 1
Literatura uzupełniająca.
1. K. Kuratowski, Rachunek różniczkowy i całkowy,§2
2. F. Leja, Rachunek różniczkowy i całkowy, Rozdział II, 4–7, 16, 18,19.
3. A. Błaszczyk i S. Turek, Matematyka. Od podstaw do elementów matematyki wyższej, 10
