ALGEBRA 1
Algebra
WYKŁAD 6
Rozważmy układ m równań liniowych z n niewiadomymi
m n
mn m
m
n n
n n
b x
a x
a x
a
b x
a x
a x
a
b x
a x
a x
a
...
...
...
...
2 2 1
1
2 2
2 22 1
21
1 1
2 12 1
11
o współczynnikach aik oraz bi.
Macierz układu równań wymiaru m n ma postać
n m m
n
a a
a a
A
, 1
1 11
...
...
...
.
Ogólna postać układu równań liniowych
ALGEBRA 3
Definicja
Macierz rozszerzona jest to macierz powstała przez dopisanie do macierzy głównej układu równań wektora wyrazów wolnych
b b b
a a
a
a a
a
a a
a C
mn m
m m
n n
...
...
...
...
...
2 1
2 1
2 22
21
1 12
11
(inne oznaczenie macierzy rozszerzonej
A|B
).
Ogólna postać układu równań liniowych
Twierdzenie (Kroneckera – Capellego)
Jeżeli rzędy macierzy układu równań oraz macierzy rozszerzonej są sobie równe oraz są równe liczbie niewiadomych
rz A = rz C = n,
to układ równań ma dokładnie jedno rozwiązanie (układ oznaczony).
Jeżeli rzędy macierzy układu równań oraz macierzy rozszerzonej są sobie równe, ale są mniejsze od liczby niewiadomych
rz A = rz C < n,
to układ równań ma nieskończenie wiele rozwiązań (układ nieoznaczony).
Jeżeli rząd macierzy głównej jest mniejszy niż rząd macierzy rozszerzonej
rzA < rz C,
to układ równań nie ma rozwiązań (układ sprzeczny).
Ogólna postać układu równań liniowych
ALGEBRA 5 Algorytm rozwiązywania układu równań liniowych A X = B
Krok 1. Wyznaczamy rząd macierzy układu A.
Krok 2. Wyznaczamy rząd macierzy rozszerzonej A|B.
Jeżeli rz A < rz A|B , to koniec procedury - układ równań jest sprzeczny.
Jeżeli rz A = rz A|B, to krok 3.
Krok 3. Rozwiązujemy układ równań.
a) Jeżeli
rz A = rz A|B = liczba niewiadomych,
to układ równań jest oznaczony (można go rozwiązać np. stosując wzory Cramera), b) Jeżeli
rz A = rz A|B = r < liczba niewiadomych, układ równań jest nieoznaczony.
Aby go rozwiązać wybieramy z układu r równań odpowiadających nieosobliwej podmacierzy rzędu r.
Pozostawiamy po lewej stronie niewiadome związane z podmacierzą, zaś pozostałe przenosimy na drugą stronę równania i traktujemy jako parametry rozwiązania.
„Odrzucone” równania będą spełnione przez znalezione rozwiązanie.
Ogólna postać układu równań liniowych
Przykład 1
Rozwiązać układ równań:
1 2
4 2
5 2
z y
x
z y
x
z y
x
Obliczamy wyznacznik macierzy układu równań
2 1
1
1 1
2
1 2
1 A
Ponieważ
det A = 0
(kolumna 3 jest różnicą drugiej i pierwszej) układ nie jest oznaczony.Ogólna postać układu równań liniowych
ALGEBRA 7
Przykład 1 (c. d.)
Wyznaczamy rząd macierzy
A.
Jest on równy 2, ponieważ np.0 1 3
2 2 1
.
Obliczamy rząd macierzy rozszerzonej
C (A|B):
1 4 5
2 1
1
1 1
2
1 2
1 C
Rząd
C
jest równy 2 (trzeci wiersz jest różnicą drugiego i pierwszego!).Ponieważ rz
A
= rzC
= 2 jest mniejszy od liczby niewiadomych (n
= 3),układ równań jest nieoznaczony.
Ogólna postać układu równań liniowych
Przykład 1 (c. d.)
Dokonujemy jego redukcji wybierając z macierzy układu nieosobliwą
podmacierz np. przez wykreślenie z macierzy A trzeciego wiersza i trzeciej kolumny.
Pozostawiamy niewiadome x i y . Niewiadomą z przenosimy na drugą stronę.
Otrzymujemy układ równań:
4 2
5 2
z y
x
z y
x
Jest to układ równań Cramera względem niewiadomych x i y .
Niewiadomą z traktujemy jako parametr i oznaczamy
z = t . Rozwiązania układu równań mają postać
x = t +1, y = - t + 2, z = t, t R.
Uwaga
Wybierając inną podmacierz nieosobliwą otrzymujemy rozwiązania równoważne
.
Ogólna postać układu równań liniowych
ALGEBRA 9
Przykład 2
Rozwiązać układ równań:
3 3
1 2
4 2
1 2
z y
x
z y
x
z y
x
Obliczamy rząd macierzy układu równań:
0 1
3 1
2 4
2
1 2
1 det
Wyznacznik macierzy jest równy
0
, a zatem szukamy podmacierzy o niezerowym wyznaczniku, np.0 3 1
1 2 det 1
Stąd
rz A = 2
.Ogólna postać układu równań liniowych
Przykład 2 (c. d.)
Obliczamy rząd macierzy rozszerzonej:
3 1 1
1 3
1
2 4
2
1 2
1 C
Ponieważ
0 1 3
1 3
1 2 4
1 1 2
det
Stąd
rz C = 3
.Ponieważ
rzA < rzC
układ równań nie ma rozwiązań (jest sprzeczny).Ogólna postać układu równań liniowych
ALGEBRA 11
Zadanie
Sprawdzić, czy układ równań o podanej macierzy rozszerzonej jest oznaczony, nieoznaczony czy sprzeczny:
5 6 1
1 2 1
2 2 1
| B A
Ogólna postać układu równań liniowych
Zbudowany przez IBM dla amerykańskiego Departamentu Energii, superkomputer Roadrunner 25 maja 2008 roku osiągnął moc obliczeniową 1,026 PFLOPSa w benchmarku LINPACK.
Czyni go to pierwszym w historii superkomputerem o mocy obliczeniowej przewyższającej 1 PFLOPS.
Roadrunner zbudowany został w oparciu o 12960 mikroprocesorów PowerXCell 8i oraz 6912 dwurdzeniowych mikroprocesorów AMD Opteron. Zajmuje powierzchnię 560 m².
Zadanie
Ile czasu zajęłoby wykonanie wszystkich operacji mnożenia przy rozwiązywaniu układu 20 równań liniowych o 20 niewiadomych metodą Cramera, przy obliczaniu wyznaczników metodą rozwinięcia Laplace’e.
Wskazówka: Wyznacznik jest sumą 21! składników, z których każdy jest iloczynem 20 liczb.
21! = 5.10909422 1019
Roadrunner
1 petaflops =
1015operacji na sekundę
.Ran
k Site Computer/Year Vendor Cores Rmax Rpeak Power
1 DOE/NNSA/LLNL United States
Sequoia - BlueGene/Q, Power BQC 16C 1.60 GHz, Custom / 2011
IBM 1572864 16324.75 20132.66 7890.0
2
RIKEN Advanced Institute for Computational Science (AICS) Japan
K computer, SPARC64 VIIIfx 2.0GHz, Tofu interconnect / 2011
Fujitsu 705024 10510.00 11280.38 12659.9
3
DOE/SC/Argonne National
Laboratory United States
Mira - BlueGene/Q, Power BQC 16C 1.60GHz, Custom / 2012
IBM 786432 8162.38 10066.33 3945.0
4
Leibniz
Rechenzentrum Germany
SuperMUC - iDataPlex DX360M4, Xeon E5-2680 8C 2.70GHz,
Infiniband FDR / 2012 IBM 147456 2897.00 3185.05 3422.7
5
National
Supercomputing Center in Tianjin China
Tianhe-1A - NUDT YH MPP, Xeon X5670 6C 2.93 GHz, NVIDIA
2050 / 2010 NUDT 186368 2566.00 4701.00 4040.0
6
DOE/SC/Oak Ridge National Laboratory United States
Jaguar - Cray XK6, Opteron 6274 16C 2.200GHz, Cray Gemini interconnect, NVIDIA 2090 / 2009
Cray Inc.
298592 1941.00 2627.61 5142.0
TOP500 List - June 2012 (1-100)
Rmax and Rpeak values are in TFlops. For more details about other fields, check the TOP500 description.
Power data in KW for entire system
The Sequoia supercomputer a system built by IBM for the U.S. Department of Energy’s Lawrence Livermore National Laboratory, in California, is the now the most powerful supercomputer on earth.
ALGEBRA 15
Metoda eliminacji Gaussa (Gaussa-Jordana)
Algorytm Gaussa polega na odpowiednim przekształceniu układu równań przy użyciu tzw. przekształceń elementarnych.
Definicja
Przekształceniami elementarnymi układu równań liniowych nazywamy następujące operacje:
zmianę kolejności równań w układzie,
pomnożenie dowolnego równania przez liczbę różną od 0, dodanie (stronami) do dowolnego równania innego równania tego układu,
dodanie (stronami) do dowolnego równania innego równania tego układu pomnożonego przez dowolną liczbę.
Metoda eliminacji Gaussa
Twierdzenie
Wykonanie skończonej liczby przekształceń elementarnych nie zmienia rozwiązania układu równań liniowych
(tzn. wykonując na danym układzie równań przekształcenia elementarne otrzymujemy układ równań równoważny danemu układowi).
Wykonanie skończonej liczby przekształceń elementarnych nie zmienia rzędu macierzy układu (ogólnie każdej macierzy).
Jeżeli macierz jest nieosobliwa, to za pomocą przekształceń elementarnych można ją sprowadzić do macierzy jednostkowej.
Metoda eliminacji Gaussa
ALGEBRA 17
Metoda eliminacji Gaussa dla układu Cramera
Istotą metody Gaussa jest sprowadzenie macierzy głównej
A
układu równań najpierw do macierzy górnotrójkątnej (Etap l), a następnie do macierzydiagonalnej (Etap ll), za pomocą odpowiedniej sekwencji operacji elementarnych.
Niech R1, R2, ... Rn oznaczają kolejne równania układu, tzn.
R1 : a11x1 + a12x2 + ...+ a1nxn = b1 R2 : a21x1 + a22x2 + ...+ a2nxn = b2
...
Rn : an1x1+ an2x 2 + ...+ annxn = bn,
Metoda eliminacji Gaussa
Załóżmy, że
a
110
(w przeciwnym wypadku zmieniamy kolejność równań).ETAP l
Eliminujemy pierwszą niewiadomą
x
1 ze wszystkich równań oprócz pierwszego za pomocą następujących przekształceńa R R a
a R R a
a R R a
n n 1
11 1
1 11 3 31
11 1 2 21
Metoda eliminacji Gaussa
ALGEBRA 19 Eliminując w analogiczny sposób niewiadomą
x
2 ze wszystkich równańpocząwszy od trzeciego i powtarzając proces dla kolejnych niewiadomych, po (n -1) krokach dostajemy równoważny układ równań z macierzą
trójdiagonalną górną
a11x1 + a12x2 + ...+ a1nxn = b1 ã22x2 + ...+ ã 2nxn = b
~ 2 ...
ã nnxn = b
~ n
ETAP ll
Z ostatniego równania wyznaczamy
x
n .Pozostałe niewiadome zaś w kolejności
x
n-1,x
n-2, ...,x
2,x
1.Metoda eliminacji Gaussa
Przykład
Rozwiązać układ równań liniowych
Metoda eliminacji Gaussa
ALGEBRA 21
Przykład (c. d.) ETAP l
Krok 1. (eliminacja niewiadomej x)
a) Mnożymy pierwsze z równań przez 1/3 i odejmujemy od równania drugiego
b) Mnożymy pierwsze z równań przez 2/3 i odejmujemy od równania trzeciego
Metoda eliminacji Gaussa
Przykład (c. d.) ETAP l
Krok 2. (eliminacja niewiadomej y)
Mnożymy drugie z równań przez 1/11 i odejmujemy od równania trzeciego
Metoda eliminacji Gaussa
ALGEBRA 23
Przykład (c. d.) ETAP ll
Krok 1. (wyznaczenie niewiadomej z) Z równania trzeciego wyliczamy wartość z
22 z 3
Krok 2.
Wyliczoną wartość z wstawiamy do równania drugiego i znajdujemy wartość y
, Krok 3.
Wartości z i y wstawiamy do równania pierwszego i obliczamy wartość x
,
Metoda eliminacji Gaussa
Uwaga
Prezentowane wyżej przekształcenia układu równań są w istocie operacjami wykonywanymi na macierzy rozszerzonej układu.
Programy komputerowe realizujące te przekształcenia umożliwiają rozwiązywanie układów równań o bardzo dużej liczbie niewiadomych.
Metoda eliminacji Gaussa
ALGEBRA 25
Ogólna postać układu równań liniowych
W przypadku ogólnego układu równań rozszerzamy przekształcenia elementarne o dwa następne:
skreślenie wiersza złożonego z samych zer,
skreślenie wiersza proporcjonalnego do innego wiersza.
Metoda eliminacji Gaussa
Przykład
Wykorzystanie metody eliminacji Gaussa do rozwiązania układu równań
Macierz rozszerzona układu równań
Metoda eliminacji Gaussa
ALGEBRA 27
Przykład (c. d.)
Macierz A|B przekształcamy w ten sposób, że ostatni wiersz mnożymy przez 1/3 i zamieniamy miejscami z pierwszym
W kolejnym kroku od trzeciego wiersza odejmujemy pierwszy wiersz pomnożony przez 4
Ostatni wiersz jest równy wierszowi drugiemu pomnożonemu przez (-2) - zatem go skreślamy
Metoda eliminacji Gaussa
Przykład (c. d.)
Kolejnym przekształceniem jest odjęcie drugiego wiersza od pierwszego
Otrzymaliśmy równoważny układ równań postaci
Jest to układ nieoznaczony z dwoma parametrami.
Przyjmując zmienne z i t jako parametry otrzymamy
Metoda eliminacji Gaussa
ALGEBRA 29
Metoda eliminacji Gaussa
W ogólnym przypadku macierz rozszerzona A|B zostaje przekształcona do macierzy
1 ,
1 ,
1 ,
1 1
, 1
...
0 0
0 0
...
...
0 0
...
1 0
...
0
0 1
...
...
0 1
0
...
0 ...
...
0 0
1
'
|'
r r n
r r
r
n r
z z t
t
z t
t
B A
Liczba r jest rzędem macierzy układu A .
Ostatni wiersz może nie występować.
Macierz jednostkowa stopnia r
Mogą zaistnieć następujące przypadki:
jeśli zr+1 0, to układ A X = B jest sprzeczny,
jeśli ostatni wiersz się nie pojawi i n = r , to układ A X = B jest oznaczony (ma jednoznaczne rozwiązanie)
, ,
....
,
,
2 21
1
z x z x
nz
nx
jeśli ostatni wiersz się nie pojawi i n > r , to układ jest nieoznaczony.
Po przyjęciu zmiennych
x
r+1, ....,x
n jako parametrów, otrzymujemy:n r
n r r
r
n r
r
r
x
x
t t
t t
z z
x x
...
...
...
...
...
...
...
...
1
, 1
,
, 1 1
, 1 1
1
Metoda eliminacji Gaussa
Uzupełnienia
ALGEBRA 31
Definicja
Przekształceniami elementarnymi macierzy nazywamy:
Pomnożenie dowolnego wiersza (kolumny) macierzy przez różną od zera liczbę rzeczywistą.
Zamianę miejscami dwóch dowolnych wierszy (kolumn) macierzy.
Dodanie do dowolnego wiersza (kolumny) innego wiersza (kolumny) pomnożonego przez dowolną liczbę rzeczywistą.
Wykonanie odpowiedniej sekwencji przekształceń elementarnych na macierzy jednostkowej pozwala wyznaczyć macierz odwrotną do danej macierzy nieosobliwej.
Przekształcenia elementarne macierzy
ALGEBRA 33
