Przekształcenia całkowe

Przekształcenia całkowe

Wykład 5

fragmenty

Rozkład na ułamki proste

Jeżeli rozważamy ułamek algebraiczny właściwy ( stopień licznika jest mniejszy od stopnia mianownika tzn. m<n ) i

nieskracalny ( licznik i mianownik nie mają żadnego dzielnika wspólnego zawierającego x ) postaci

1

0 1 1

1

0 1 1

( ) ( )

( )

m m

m m

n n

n n

b b x b x b x

R x Q x

P x a a x a x a x

−

− −

−

+ + + +

= =

+ + + +

…

… Przekształcenie Laplace’a

to można go przekształcić na sumę ułamków prostych, czyli ułamków o postaci

2

lub 2 , 0.

( )^m ( )ⁿ 2

A Bx C p

x a x px q q

+ ⎛ ⎞ − <⎜ ⎟

− + + ⎝ ⎠

Mogą tu zachodzić przypadki:

1. Mianownik jest taki, że ma tylko rzeczywiste pierwiastki jednokrotne:

Rozkład przeprowadza się według wzoru:

( )

1, 2, , _n. a a … a

1 2

1 2

( ) ( )

( )( ) ( _n)

n

R x Q x

x a x a x a

A B C

x a x a x a

= =

− − −

= + + +

− − −

…

… Np

.

Przekształcenie Laplace’a

2 2

3

6 1 6 1

( 1)( 1) 1 1

x x x x A B C

x x x x x x x x

− + = − + = + +

− − + − +

2. Pierwiastki mianownika są rzeczywiste, ale są

wśród nich wielokrotne. Rozkład wygląda następująco:

Przekształcenie Laplace’a

1 2

1 2

( ) ( )

( ) (^k )^k ( _i)^ki R x Q x

x a x a x a

= =

− − … −

( ) ( )

( ) ( ) ( )

1 1

2 2

1 2

2

1 1 1

1 2

2

2 2 2

.

k

i

k i

k

k k

k i

A A A

x a x a x a

B L

B B

x a x a x a x a

= + + + +

− − −

+ + + + + +

− − − −

…

… …

( ) ( )

1 1 2 3

2 3

3

1

( 1) 1 1 1

x A B B B

x x x x x x

+ = + + +

− − − −

Np.

3. Wśród pierwiastków mianownika są pierwiastki zespolone jednokrotne:

Przekształcenie Laplace’a

( )

1 2 2 2

1 2 1 1 2 2

1 2

2 2 2

1 1 1 1 2 2

( ) ( )

( ) ( ) ( )( )

.

k k

R x Q x

x a x a x p x q x p x q

A A Dx E Fx G

x a x a x p x q x p x q

= =

− − + + + +

+ +

= + + + + +

− − + + + +

… …

… …

Np.

2

2 2

3 2

( 1)( 1) 1 1

x A Dx E

x x x x x x

− = + +

+ + + + + +

4. Wśród pierwiastków mianownika są pierwiastki zespolone wielokrotne

:

( ) ( )

( ) ( )

1 2 1 2

1 1 2 2

1 2

2 2

1 2 1 1 2 2

1 2 1 1 2 2

2 2 2 2

1 1 1 1 1 1

1 1

2 2 2

2 2

1 1 2 2

( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )

.

k k l l

l l l l

l l

R x Q x

x a x a x p x q x p x q

A A D x E D x E

x a x a x p x q x p x q

D x E F x G F x G

x p x q

x p x q x p x q

= =

− − + + + +

+ +

= + + + + + +

− − + + + +

+ + +

+ + + + +

+ +

+ + + +

… …

… …

… …

Np.

( )

2

1 1 2 2

2 2 2 2 2

5 4 16

( 3)( 1) 3 1 1

x x A D x E D x E

x x x x x x x x

− + = + + + +

− − + − − + − +

Przekształcenie Laplace’a

Uwaga:

Trójmian kwadratowy występujący w mianowniku sprowadzamy do postaci kanonicznej i ułamek przyjmuje postać

x

+ px + q

2 2

2 2

A x p C Ax B

x px q p

x w

⎛ + ⎞ +

⎜ ⎟

+ → ⎝ ⎠

+ + ⎛⎜⎝ + ⎞⎟⎠ +

gdzie

.

2

2 2

1

3 2 2

( 1)( 1) 1 1 3

2 4

D x E

x A

x x x x

x

⎛ + ⎞ +

⎜ ⎟

− = + ⎝ ⎠

+ + + + ⎛⎜⎝ + ⎞⎟⎠ +

2

2 w = − ⎜ ⎟q ⎛ ⎞p

⎝ ⎠ Np

.

Przekształcenie Laplace’a

Przekształcenie odwrotne względem przekształcenia Laplace’a

Twierdzenie 1:

Jeżeli funkcja jest oryginałem, a funkcja jest transformatą Laplace’a (obrazem) funkcji , to w każdym punkcie, w którym jest ciągła, słuszny jest wzór

( )

( ) Φ

f t

1

( )

( ) d

2

i

st i

f t s e s

i

λ+ ω

λ− ω

= Φ

π

∫

f t

( )

gdzie całkowanie odbywa się wzdłuż dowolnej prostej

równoległej do osi urojonej o równaniu , oraz gdzie jest wskaźnikiem wzrostu oryginału .

Re s = λ > λ

( )

λ

Przekształcenie Laplace’a

Przekształcenie powyższe nazywamy przekształceniem odwrotnym względem przekształcenia Laplace’a i

oznaczamy symbolem

Przekształcenie Laplace’a

[ ]

1 1 1

( ) L ( ) L ( ) ( ) d

2

i

st i

f t s s e s

i

λ ω

π λ ω +

− −

−

= Φ = Φ =

∫

Własności przekształcenia odwrotnego względem przekształcenia Laplace’a

Własność 1:

gdzie c jest dowolną stałą.

Dowód:

( ) ( )

1 1

L⁻ ⎡⎣cΦ s ⎦⎤ = cL⁻ ⎡⎣Φ s ⎤⎦

Przekształcenie Laplace’a

[ ] [ ]

1 1 1

L ( ) ( ) e d ( ) e d L ( )

2 2

i i

st st

i i

c s c s s c s s c s

i i

λ+ ω λ+ ω

− −

λ− ω λ− ω

Φ = Φ = Φ = Φ

π

∫

∫

Własność 2:

Dowód:

( ) ( ) ( ) ( )

1 1 1

1 2 1 2

L⁻ ⎡⎣Φ s + Φ s ⎦⎤ = L⁻ ⎡⎣Φ s ⎦⎤ + L⁻ ⎣⎡Φ s ⎤⎦

Przekształcenie Laplace’a

( ) ( ) [ ]

( ) ( )

( ) ( )

1

1 2 1 2

1 2

1 1

1 2

L 1 ( ) ( ) d

2

1 1

e d e d

2 2

L L

i

st

i

i i

st st

i i

s s s s e s

i

s s s s

i i

s s

λ+ ω

−

λ− ω

λ+ ω λ+ ω

λ− ω λ− ω

− −

⎡Φ + Φ ⎤ = Φ + Φ =

⎣ ⎦ π

= Φ + Φ =

π π

⎡ ⎤ ⎡ ⎤

= ⎣Φ ⎦ + ⎣Φ ⎦

∫

∫ ∫

Własność 3:

gdzie - dowolne stałe.

Dowód:

[ ] [ ] [ ]

1 1 1

1 1 2 2 1 1 2 2

L⁻ c Φ ( )s + Φc ( )s = c L⁻ Φ ( )s + c L⁻ Φ ( )s

1, 2

c c

( ) ( ) [ ]

( ) ( )

( ) ( )

1

1 1 2 2 1 1 2 2

1 2

1 2

1 1

1 1 2 2

L 1 ( ) ( ) d

2

e d e d

2 2

L L

i

st

i

i i

st st

i i

c s c s c s c s e s

i

c c

s s s s

i i

c s c s

λ+ ω

−

λ− ω

λ+ ω λ+ ω

λ− ω λ− ω

− −

⎡ Φ + Φ ⎤ = Φ + Φ =

⎣ ⎦ π

= Φ + Φ =

π π

⎡ ⎤ ⎡ ⎤

= ⎣Φ ⎦ + ⎣Φ ⎦

∫

∫ ∫

Przekształcenie Laplace’a

Definicja:

Splotem dwóch funkcji oraz całkowalnych w

przedziale nazywamy funkcję zmiennej określoną całką

Własności:

1. Splot jest operacją przemienną

1( )

f t f t₂( ) 0, a

1 2 1 2

0

( ) ( ) ( ) ( ) d , 0 .

t

f t ∗ f t =

∫

t

Przekształcenie Laplace’a

1( ) 2( ) 2( ) 1( ) f t ∗ f t = f t ∗ f t

2. Splot jest operacją łączną

3. Splot jest operacją rozdzielną względem dodawania

Twierdzenie 2 (Borela o mnożeniu transformat):

Iloczyn transformaty Laplace’a z oryginału przez transformatę z oryginału równa się transformacie Laplace’a ze splotu tych oryginałów

[

]

[

]

[

]

1( ) f t

2( ) f t

Przekształcenie Laplace’a

[

] [

] [

]

L f t( ) L f t( ) = L f t( ) ∗ f t( )

Wzór Borela (o splocie):

Odwrotne przekształcenie Laplace’a z iloczynu dwóch transformat i jest równe splotowi

ich oryginałówΦ¹( )s Φ₂( )s f t₁( )∗ f t₂( )

[ ] [ ] [ ]

-1 -1 -1

1 2 1 2

L Φ ( )s Φ ( )s = L Φ ( )s ∗L Φ ( )s

Przekształcenie Laplace’a