RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE

RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE

WYKŁAD 6

PRZYKŁAD (przypomnienie)

Rozwiązać zagadnienie Cauchy’ego

 













0 ) 0 ( ' , 1 ) 0 (

4 ' 4

"

²

y y

e y y

y

^x

Równanie charakterystyczne

0 4

2

 4 r   r

ma rzeczywisty pierwiastek podwójny r = 2, stąd CORJ jest funkcja

 

^x

x

x

C e C x C e

xe C

y

₁



₁ ²



₂ ²



₁



₂ ²

_.

CSRN przewidujemy w postaci

e

x

Ax

y

₂



^{2 2}

_,

Równania różniczkowe liniowe n-tego rzędu

PRZYKŁAD (c. d.)

Obliczamy pochodne

e

x

x x

A

y

₂

'  2 (

²

 )

²

_,

e

x

A Ax

Ax

y

₂

"  ( 4

²

 8  2 )

²

_.

Wstawiamy to do równania y ' '  4 y '  4 y  e

^2x

i uzyskujemy

x x

x

x

A x x e Ax e e

Ae Ax

Ax

²

8 2 )

²

8 (

²

)

²

4

^{2 2 2}

4

(       _.

Po przekształceniach dostajemy 2 Ae

^2x

 e

^2x

_{, skąd}

2

 1 A

CSRN jest równa y

₂

x

²

e

^2x

2

 1 , więc CORN jest postaci

. 2 )

( 1 2

1

₂

2 1

2 2

2 2

2 2

1

x x

x

x

C e x e x C x C e

xe C

y      

Równania różniczkowe liniowe n-tego rzędu

PRZYKŁAD (c. d.)

Z warunków początkowych y ( 0 )  1 , y ' ( 0 )  0 , dostajemy C

₂

 1 i ponieważ

x x

x

x

C x C e xe x e

e C

y ' 

₁ ²

 2 (

₁



₂

)

²



²



^{2 2}

_to

2

1

2

0  C  C _{, czyli} C

₁

  2 _.

Rozwiązaniem zagadnienia Cauchy’ego jest funkcja

. 1

2 2 1 2

2 xe

^2x

e

^2x

1 x

²

e

^2x

x

²

x e

^2x

y 



 



  











Równania różniczkowe liniowe n-tego rzędu

Definicja

Równaniem różniczkowym liniowym n-tego rzędu nazywamy równanie postaci

gdzie y(x) jest funkcją niewidomą zmiennej x , a współczynniki

są ciągłe na przedziale określoności równania.

Jeśli f(x)  0 , to równanie nazywamy jednorodnym, Jeśli f(x)  0 , to równanie nazywamy niejednorodnym.

Twierdzenie

Jeżeli są ciągłe na przedziale (a, b)

oraz x

₀

(a, b), y

₀

, y

₁

, …, y

_n-1

R, to zagadnienie Cauchy’ego

.

ma dokładnie jedno rozwiązanie na przedziale (a, b).

), ( )

( )

( ...

)

(

^{( 1)} ₁ ^' ₀

1 )

(

a x y a x y a x y f x

y

ⁿ



_n ^n

    )

( ), ( ),..., (

),

(

_{2 0}

1

x a x a x f x

a

_{n n}

) ( ), ( ),..., (

),

(

_{2 0}

1

x a x a x f x

a

_{n n}



 



















 

 

1 0

) 1 ( 1

0 0

0

0 '

1 )

1 ( 1

) (

) ( ,

...

, )

( ' ,

) (

) ( )

( )

( ...

) (

n n

n n

n

y x

y y

x y y

x y

x f y

x a y

x a y

x a

y

Równania różniczkowe liniowe n-tego rzędu

Uwaga

Równania liniowe wyższych rzędów mają podobne własności

do równań pierwszego i drugiego rzędu, stąd konstrukcja rozwiązań jest uogólnieniem wcześniej omawianych metod.

Podobnie jak w przypadku równań pierwszego i drugiego rzędu, rozwiązywanie równania liniowego niejednorodnego rzędu n-tego polega na wyznaczeniu CORJ, a następnie zastosowaniu metody uzmiennienia stałych, bądź przewidywań.

Równania różniczkowe liniowe n-tego rzędu

Równania różniczkowe liniowe jednorodne rzędu n-tego ,

0 )

( )

( ...

)

(

^{( 1)} ₁ ^' ₀

1 )

(

 a

_

x y

^

  a x y  a x y 

y

ⁿ _n ⁿ

Równanie liniowe jednorodne ma zawsze rozwiązanie zerowe

( y(x)  0).

Twierdzenie

Jeżeli funkcje

) ( , ...

), ( ),

(

₂

1

x y x y x

y

_n

są całkami szczególnymi równania liniowego jednorodnego, to ich kombinacja liniowa

) ( ...

) ( )

(

_{2 2}

1

1

y x C y x C y x

C

y    

_{n n}

jest też rozwiązaniem tego równania.

Jeżeli dodatkowo funkcje te tworzą fundamentalny układ rozwiązań (tzn. są liniowo niezależne), to ich kombinacja liniowa jest CORJ.

Równania różniczkowe liniowe n-tego rzędu

Twierdzenie

Funkcje y

₁

( x ), y

₂

( x ), ... , y

_n

( x ) _klasy C

¹

(a, b) są liniowo niezależne wtedy i tylko wtedy, gdy wyznacznik Wrońskiego (wrońskian)

0

) ( ....

...

...

...

) ( ...

) ( ) (

) ( ...

) ( ) (

) ( ...

) ( ) (

) ,..., ,

(

1 )

1 ( 2 ) 1 ( 1

'' ''

2 ''

1

' '

2 '

1

2 1

2

1

 







y y x

y

x y x

y x y

x y x

y x y

x y x

y x y

y y

y W

n n n

n

n n n

n

dla każdego x z przedziału (a, b).

Równania różniczkowe liniowe n-tego rzędu

Równania różniczkowe liniowe jednorodne n-tego rzędu o stałych współczynnikach

Definicja

Równaniem różniczkowym liniowym jednorodnym rzędu n-tego o stałych współczynnikach nazywamy równanie postaci

0 ...

₁ ^' ₀

) 1 ( 1 )

(

 a

_

y

^

  a y  a y  y

ⁿ _n ⁿ

gdzie a

0

, a

_{1, …}

a

n-1

R.

Poszukujemy rozwiązań szczególnych tego równania w postaci funkcji

y  e

rx

Po wstawieniu do równania otrzymujemy równanie charakterystyczne

0 ...

_{1 0.}

) 1 (

1

   

 a

_

r

^

a r a r

ⁿ _n ⁿ

Twierdzenie

Jeżeli r jest pierwiastkiem równania charakterystycznego, to funkcja y e 

^rx

_jest

rozwiązaniem szczególnym równania.

Równania różniczkowe liniowe n-tego rzędu

Wyznaczanie układu fundamentalnego rozwiązań

Jeżeli równanie charakterystyczne ma

n

różnych pierwiastków rzeczywistych r1

,

r2

, ... ,

r_n.

to układ fundamentalny rozwiązań tworzą funkcje

x r n

x r x

r _n

x y x

y x

y

₁

( )  e

¹

,

₂

( )  e

²

, ... , ( )  e

_,

(CORJ jest kombinacją liniową tych funkcji)

Jeżeli równanie charakterystyczne ma różne pierwiastki zespolone, to każdej parze pierwiastków sprzężonych

r

k

=  +  i

oraz

r

k+1

=  -  i

odpowiadają funkcje

x x

y x x

y

_k

( )  e

^x

cos  i

_k1

( )  e

^x

sin 

_,

Jeżeli

r

jest

m-

krotnympierwiastkiem równania charakterystycznego, to odpowiada mu

m-

rozwiązań szczególnych postaci

) ( ,

...

), ( ),

( x x y x x

¹

y x

y

_k



_k ^m



_{k ,}

Równania różniczkowe liniowe n-tego rzędu

Przykład

Rozwiązać równanie

0 '

6

"

5 ''

'  y  y 

y

Równanie charakterystyczne

0 6

5 ²

3  r  r 

r

Pierwiastki równania

3 ,

2 ,

0 _{2 3}

1  r  r 

r

Układ fundamentalny rozwiązań

x

x y e

e y

y ₁  1 , ₂  ² , ₃  ³

CORJ:

x

x C e

e C C

y  ₁  ₂ ²  ₃ ³

Równania różniczkowe liniowe n-tego rzędu

Przykład

Rozwiązać równanie

0 13

' 9

"

3 ''

'  y  y  y 

y

Równanie charakterystyczne

0 13

9 3 ²

3  r  r  

r

Pierwiastki równania

i r

i r

r

₁

 1 ,

₂

  2  3 ,

₃

  2  3

Układ fundamentalny rozwiązań

x e

y x

e y

e

y ₁  ^x , ₂  ^{ 2 x} cos 3 , ₃  ^{ 2 x} sin 3

CORJ:

) 3 sin 3

cos

( _{2 3}

2

1 e e C x C x

C

y  ^x  ^{ x} 

Równania różniczkowe liniowe n-tego rzędu

Przykład

Rozwiązać równanie

0 4

' 8

"

5 ''

'  y  y  y 

y

Równanie charakterystyczne

0 4

8 5 ²

3  r  r  

r

Pierwiastki równania

2 ,

1 _{2 3}

1  r  r 

r

Układ fundamentalny rozwiązań

x x

x y e y xe

e

y ₁  , ₂  ² , ₃  ²

CORJ:

) ( _{2 3}

2

1 e e C C x

C

y  ^x  ^x 

Równania różniczkowe liniowe n-tego rzędu

Przykład

Rozwiązać równanie

0

"

) 2

4

(  y  y 

y

Równanie charakterystyczne

0 1

2 ²

4  r  

r

Pierwiastki równania

i r

r i

r

r

₁



₂

 ,

₃



₄

 

Układ fundamentalny rozwiązań

x x

y x

x y

x y

x

y ₁  cos , ₂  sin , ₃  cos , ₄  sin

CORJ:

x x

C C

x x

C C

y  ( ₁  ₂ ) cos  ( ₃  ₄ ) sin

Równania różniczkowe liniowe n-tego rzędu

Metoda uzmiennienia stałych dla równania liniowego niejednorodnego rzędu n-tego

Jeżeli CORJ ma postać

) ( ...

) ( )

( _{2 2}

1

1 y x C y x C y x

C

y    

_{n n} ^,

to CORN poszukujemy w postaci

) ( ) ( ...

) ( ) ( )

( )

(

_{1 2 2}

1

x y x C x y x C x y x

C

y    

_{n n}

Wyznaczenie funkcji

C ₁ ( x ), C ₂ ( x ), ... , C

_n

( x )

wymaga rozwiązania układu równań liniowych

 





 











































 ( ) ( ) ... ( ) ( ) ( )

) (

...

, 0 )

( ) ( ...

) ( ) ( )

( ) (

, 0 )

( ) ( ...

) ( ) ( )

( ) (

, 0 )

( ) ( ...

) ( ) ( )

( ) (

) 1 ( '

) 1 ( 2 '

2 )

1 ( 1 '

1

'' '

'' 2 '

2 ''

1 '

1

' '

' 2 '

2 '

1 '

1

' 2

' 2 1

' 1

x f x

y x C y

x C x

y x C

x y x C x

y x C x

y x C

x y x C x

y x C x

y x C

x y x C x

y x C x

y x C

n n n

n n

n n

n n

n n

Równania różniczkowe liniowe n-tego rzędu

Jest to układ Cramera, więc jego rozwiązanie ma postać

, )

( ...,

, )

( ,

)

(

¹ ₂^{' 2 '}

'

1

W

x W W C

x W W C

x W

C  

_n



ⁿ

gdzie oznacza wyznacznik Wrońskiego (różny od zera!), zaś

są wyznacznikami, które otrzymujemy zastępując kolejne kolumny wyznacznika Wrońskiego kolumną wyrazów wolnych

[ 0 , 0 , ... , f ( x )]

T^.

Po scałkowaniu otrzymanych funkcji dostajemy „uzmiennione współczynniki”

) ( , ...

), ( ),

(

₂

1

x C x C x

C

_n

oraz szukaną CORN

) ( ) ( ...

) ( ) ( )

( )

(

_{1 2 2}

1

x y x C x y x C x y x

C

y    

_{n n} .

W

n

W

W

₁

,

₂

,..., W

Równania różniczkowe liniowe n-tego rzędu

Przykład

Rozwiązać równanie metodą uzmiennienia stałych

x y

y ' ''  '  2

Równanie charakterystyczne ma postać

3  r  0

r

Jego pierwiastkami są liczby

r

₁

= 0, r

₂

= i, r

₃

= - i.

CORJ:

y  C

₁

 C

₂

cos x  C

₃

sin x

CORNszukamy w postaci

x x

C x x

C x

C

y 

₁

( ) 

₂

( ) cos 

₃

( ) sin

Tworzymy układ równań

 

 





















x x

x C x

x C

x x

C x

x C

x x

C x

x C x

C

2 sin

) ( cos

) (

0 cos

) ( sin

) (

0 sin

) ( cos

) ( )

(

' 3 '

2

' 3 '

2

' 3 '

2 '

1

Równania różniczkowe liniowe n-tego rzędu

Przykład (c. d)

Rozwiązujemy układ metodą wyznacznikową.

) 0 ( 1 sin

cos 0

cos sin

0

sin cos

1 )

(  









x x

x x

x x

x

W

(wyznacznik macierzy układu (wrońskian))

Kolejne wyznaczniki

x x

x x

x x

x x

x

W 2

sin cos

2

cos sin

0

sin cos

0 )

1

( 









x x

x x

x x x

W 2 cos

sin 2

0

cos 0

0

sin 0

1 )

2

(  





x x

x x x

W 0 sin 0 2 sin

0 cos

1 )

3

(    

Równania różniczkowe liniowe n-tego rzędu

Przykład (c. d)

Otrzymujemy

, sin 2

) ( ,

cos 2

) ( ,

2 )

( ₂ ^' ₃ ^'

'

1 x x C x x x C x x x

C     

Całkując otrzymane funkcje dostajemy

, )

( ² ₁

1 x x C

C  

, cos

2 sin

2 )

( ₂

2 x x x x C

C    

, sin

2 cos

2 )

(

₃

3

x x x x C

C   

CORN

x C

x x

x

x C

x x

x C

x y

sin ) sin

2 cos

2 (

cos )

cos 2

sin 2

(

3

2 1

2



















Równania różniczkowe liniowe n-tego rzędu

Metoda przewidywań dla równania liniowego niejednorodnego rzędu n-tego o stałych współczynnikach

Metodę przewidywań możemy stosować w przypadku równań o stałych współczynnikach, gdy wyraz wolny ma jedną z postaci przedstawionych w kolumnie 2 tabeli zamieszczonej w poprzednim

wykładzie.

Wyznaczamy CSRN i wykorzystujemy zależność

CORN = CORJ + CSRN

Podobnie jak w przypadku równań niższego rzędu możemy też wykorzystać poniższe twierdzenie

Twierdzenie

Suma całki szczególnej równania

i całki szczególnej równania

jest całką szczególną równania

), ( )

( )

( ...

)

(

^{( 1)} ₁ ^' _{0 1}

1 )

(

a x y a x y a x y f x

y

ⁿ



_n ^n

   

), ( )

( )

( ...

)

(

^{( 1)} ₁ ^' _{0 2}

1 )

(

a x y a x y a x y f x

y

ⁿ



_n ^n

   

Równania różniczkowe liniowe n-tego rzędu

Przykład

Znaleźć całkę ogólną równania

  y y y y x

y

⁴

 3

^'''

 5 "  5

^'

 2  3

Wyznaczamy CORJ

y  

⁴

 3 y

^'''

 5 y

^''

 5 y

^'

 2 y  0

Równanie charakterystyczne

r

⁴

 3 r

³

 5 r

²

   5 r 2 0 0

) 2 (

) 1

( r 

²

r

²

 r  

      1 8 7 7 i

²

2 7

1 i

r   

Równania różniczkowe liniowe n-tego rzędu

Przykład (c. d.)

Otrzymujemy jeden pierwiastek rzeczywisty o krotności 2 oraz dwa pierwiastki zespolone sprzężone

) 2 (

,

1

  1 k 

r

_,

,

2 7 2

1

2

i

r    ,

2 7 2

1

3

i

r   

.

Układ fundamentalny rozwiązań

x e

y x

e y

xe y

e

y

^{x x x x}

2 cos 7 2 ,

sin 7 ,

,

²

1 2

2 1 3

2 1



 



  



CORJ

  )

2 cos 7 2

sin 7

(

_{3 4}

2 1 2

1

e C xe e C x C x

C x

y 

^x



^x



^{ x}



Równania różniczkowe liniowe n-tego rzędu

Przykład (c. d.)

CSRN wyznaczamy metodą przewidywań.

Przewidywana postać CSRN

y

₁

 Ax B  y

₁^'

 A

y

₁^''

 y

₁^'''

 y

₁ ⁴

 0

Po wstawieniu do równania otrzymujemy

CSRN

4 15 2

3

1

 x 

y

CORN

4 15 2

) 3 2

cos 7 2

sin 7 (

)

(

² _{3 4}

1 2

1

    

 C e

^

C xe

^

e

^

C x C x x x

y

^{x x x}

4 15

2 ,

3  

 B

A

Równania różniczkowe liniowe n-tego rzędu

Przykład

Rozwiązać równanie

x y

y ' ''  ' 

Wyznaczamy CORJ

Równanie charakterystyczne 3

 r  0

r

Pierwiastki równania

i r

i r

r

₁

 0 ,

₂

 ,

₃

 

Układ fundamentalny rozwiązań

, sin ,

cos ,

1 _{2 3}

1 y x y x

y   

CORJ:

x C

x C

C

y  ₁  ₂ cos  ₃ sin

Równania różniczkowe liniowe n-tego rzędu

Przykład (c. d)

CSRN równania wyznaczamy metodą przewidywań.

Przewidywana postać rozwiązania szczególnego

)

1

x ( Ax B

y  

Obliczamy pochodne

0 '' '

2

"

2 '







 y

A y

B Ax

y

Wstawiamy do równania

0 2 ,

, 1

2 Ax  B  x A  B 

CSRN:

2 3

2 1

sin 1

cos x C x x

C C

y    

2

1

2

1 x y 

Równania różniczkowe liniowe n-tego rzędu

Przykład

Rozwiązać równanie

e x

y y

y

y ' ''  3 "  3 '   2

Wyznaczamy CORJ

Równanie charakterystyczne

0 )

1 ( r 

³



Pierwiastki równania 3

1

2

1

 r  r  r

Układ fundamentalny rozwiązań

, ,

, _{2 3} ²

1

x x

x y xe y x e

e

y   

CORJ:

2 x ,

x

x C xe C x e

e C

y   

Równania różniczkowe liniowe n-tego rzędu

Przykład (c. d)

CSRN równania wyznaczamy metodą przewidywań.

Przewidywana postać rozwiązania szczególnego

e

x

Ax y  ³

Obliczamy pochodne

x x

x x

x x

x

x x

e Ax e

Ax Axe

Ae y

e Ax e

Ax Axe

y

e Ax e

Ax y

3 2

3 2

3 2

9 18

6 '' '

6 6

"

3 '



















Po wstawieniu do równania otrzymujemy

Stąd CSRN:

1 ₃ .

2 3 2

1

x x

x

x C xe C x e x e

e C

y    

3

 1 A

e

x

x

y

³

3

 1

Równania różniczkowe liniowe n-tego rzędu

Przykład

Rozwiązać równanie

x x

y

y "   sin  cos 2

Wyznaczamy CORJ

Równanie charakterystyczne

0

2

 1  r

Pierwiastki równania

i r

i

r ₁  , ₂  

Układ fundamentalny rozwiązań

, sin ,

cos ,

1 _{2 3}

1 y x y x

y   

CORJ:

x C

x C

y  ₁ cos  ₂ sin

Równania różniczkowe liniowe n-tego rzędu

x y

x

y ₁  cos , ₂  sin

Przykład (c. d)

Metodą przewidywań wyznaczamy CSRN równania

x y

y "   sin

Przewidywana postać rozwiązania szczególnego

) sin cos

1

x ( A x B x

y  

Obliczamy pochodne

) cos sin

( sin

'

cos

1

A x B x x A x B x

y     

) sin cos

( cos

2 sin

"

2

1

A x B x x A x B x

y      

Wstawiamy do równania

x x

B x

A sin 2 cos sin

2  



Otrzymujemy

CSRN:

0 2 ,

1 



 B

A

x x

y cos

2 1

1

 

Równania różniczkowe liniowe n-tego rzędu

Przykład (c. d)

Metodą przewidywań wyznaczamy CSRN równania

x y

y "   cos 2

Przewidywana postać rozwiązania szczególnego

x B

x A

y

₂

 cos 2  sin 2

Po wyznaczeniu pochodnych i wstawieniu do równania otrzymujemy

0 3 ,

1 



 B

A

CSRN:

CORN

1

1 







x y cos 2

3 1

2

 

Równania różniczkowe liniowe n-tego rzędu

DZIĘKUJĘ ZA UWAGĘ