13. Równania różniczkowe - rozwiązywanie

13. Równania różniczkowe - rozwiązywanie

Grzegorz Kosiorowski

Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie

1 Podstawowe oznaczenia i definicje

2 Równania różniczkowe: przykłady ekonomiczne

3 Podstawowe typy równań różniczkowych i sposoby ich rozwiązywania

Równania o zmiennych rozdzielonych Równania różniczkowe liniowe

Podstawienia w równaniach różniczkowych

Wstęp

Często zdarza się, że poszukując zależności pomiędzy wielkościami ekonomicznymi (np. A i B) napotykamy na informacje dotyczące prędkości wzrostu wielkości A w stosunku do wielkości B. Jeśli potrafimy opisać tę prędkość jako funkcję A⁰(B) to wystarczy ją scałkować, by uzyskać zależność funkcyjną A(B). Jednak zdarza się, że mamy tylko pewne informacje o A⁰(B) przedstawione w formie równania, a nie sam wzór. Takie równanie, którego niewiadomą jest funkcja i w którym występują pochodne tej funkcji nazywamy równaniem różniczkowym. Czasem takie równania się da rozwiązać i o tego typu równaniach jest ten rozdział.

Dodam jeszcze, że równania różniczkowe mają poważne zastosowania w jakichkolwiek badaniach naukowych, w których występuje ruch lub zmiana warunków (tzw. układ dynamiczny). Na nich opiera się cała klasyczna fizyka, a coraz częściej są konieczne do modelowania zjawisk z dziedzin innych nauk przyrodniczych i społecznych.

Wstęp

Często zdarza się, że poszukując zależności pomiędzy wielkościami ekonomicznymi (np. A i B) napotykamy na informacje dotyczące prędkości wzrostu wielkości A w stosunku do wielkości B. Jeśli potrafimy opisać tę prędkość jako funkcję A⁰(B) to wystarczy ją scałkować, by uzyskać zależność funkcyjną A(B). Jednak zdarza się, że mamy tylko pewne informacje o A⁰(B) przedstawione w formie równania, a nie sam wzór. Takie równanie, którego niewiadomą jest funkcja i w którym występują pochodne tej funkcji nazywamy równaniem różniczkowym. Czasem takie równania się da rozwiązać i o tego typu równaniach jest ten rozdział.

Dodam jeszcze, że równania różniczkowe mają poważne zastosowania w jakichkolwiek badaniach naukowych, w których występuje ruch lub

Oznaczenia - komentarz

W tym rozdziale rozważamy funkcje różniczkowalne jednej zmiennej y (x ), gdzie y : R ⊃ Dy → R. Pochodną takiej funkcji oznaczaliśmy przez y⁰, jednak w tym rozdziale wyjątkowo będziemy zazwyczaj używać bardziej fizycznej notacji ^dy_dx (ze względów

„mnemotechnicznych” - jak zobaczymy, taki zapis ułatwi nam rozwiązywanie pewnych typów równań).

Definicja

Równanie różniczkowe zwyczajne

Niech f : Rⁿ⁺² ⊃ D_f → R. Wtedy równaniem różniczkowym zwyczajnym rzędu n nazywamy równanie

f (x , y (x ), y⁰(x ), y⁰⁰(x ), . . . , y⁽ⁿ⁾(x )) = 0, w którym niewiadomą jest funkcja jednej zmiennej y i w którym występuje pochodna rzędu n tej funkcji (y⁽ⁿ⁾(x )) i mogą występować pochodne niższych rzędów, sama funkcja y i zmienna niezależna x . Rozwiązaniem (lub całką) takiego równania jest n-krotnie różniczkowalna funkcja y , która je spełnia dla każdego x w swojej dziedzinie.

Słowo „zwyczajny” w definicji odróżna te równania od równań różniczkowych cząstkowych, które odpowiadają za poszukiwanie funkcji wielu zmiennych na podstawie informacji o ich pochodnych cząstkowych. Takie równania są o wiele bardziej skomplikowane i nie będziemy się nimi zajmować.

Definicja

Równanie różniczkowe zwyczajne

Niech f : Rⁿ⁺² ⊃ D_f → R. Wtedy równaniem różniczkowym zwyczajnym rzędu n nazywamy równanie

f (x , y (x ), y⁰(x ), y⁰⁰(x ), . . . , y⁽ⁿ⁾(x )) = 0, w którym niewiadomą jest funkcja jednej zmiennej y i w którym występuje pochodna rzędu n tej funkcji (y⁽ⁿ⁾(x )) i mogą występować pochodne niższych rzędów, sama funkcja y i zmienna niezależna x . Rozwiązaniem (lub całką) takiego równania jest n-krotnie różniczkowalna funkcja y , która je spełnia dla każdego x w swojej dziedzinie.

Słowo „zwyczajny” w definicji odróżna te równania od równań różniczkowych cząstkowych, które odpowiadają za poszukiwanie funkcji wielu zmiennych na podstawie informacji o ich pochodnych cząstkowych. Takie równania są o wiele bardziej skomplikowane i nie

Przykład - II zasada dynamiki Newtona

Zasadę dynamiki Newtona znają Państwo na pewno w postaci F = am, gdzie F jest siłą działającą na ciało, a - przyspieszeniem, jakiego ciało nabiera pod wpływem tej siły, a m - masą ciała.

Zauważmy, że jeśli przez x (t) oznaczymy położenie ciała w czasie t to F może być dowolną funkcją zależną od x i t, a(t) jest drugą pochodną funkcji x , a m jest stałą. Dlatego jeśli zdefiniujemy f (t, x (t), x⁰(t), x⁰⁰(t)) = F (x (t), t) − m · x⁰⁰(t), to

f (t, x (t), x⁰(t), x⁰⁰(t)) = 0 jest równaniem różniczkowym drugiego stopnia, opisującym II zasadę dynamiki Newtona. Jeśli założymy, że F jest stałe i _m^F = a ∈ R to równanie różniczkowe F − mx⁰⁰(t) = 0 jest równoważne równaniu x⁰⁰(t) = a i jego rozwiązanie opisuje ruch ciała pod wpływem stałej, działającej na nie siły.

Przykład - II zasada dynamiki Newtona

Zasadę dynamiki Newtona znają Państwo na pewno w postaci F = am, gdzie F jest siłą działającą na ciało, a - przyspieszeniem, jakiego ciało nabiera pod wpływem tej siły, a m - masą ciała.

Zauważmy, że jeśli przez x (t) oznaczymy położenie ciała w czasie t to F może być dowolną funkcją zależną od x i t, a(t) jest drugą pochodną funkcji x , a m jest stałą.

Dlatego jeśli zdefiniujemy f (t, x (t), x⁰(t), x⁰⁰(t)) = F (x (t), t) − m · x⁰⁰(t), to

f (t, x (t), x⁰(t), x⁰⁰(t)) = 0 jest równaniem różniczkowym drugiego stopnia, opisującym II zasadę dynamiki Newtona. Jeśli założymy, że F jest stałe i _m^F = a ∈ R to równanie różniczkowe F − mx⁰⁰(t) = 0 jest równoważne równaniu x⁰⁰(t) = a i jego rozwiązanie opisuje ruch ciała pod wpływem stałej, działającej na nie siły.

Przykład - II zasada dynamiki Newtona

Zasadę dynamiki Newtona znają Państwo na pewno w postaci F = am, gdzie F jest siłą działającą na ciało, a - przyspieszeniem, jakiego ciało nabiera pod wpływem tej siły, a m - masą ciała.

Zauważmy, że jeśli przez x (t) oznaczymy położenie ciała w czasie t to F może być dowolną funkcją zależną od x i t, a(t) jest drugą pochodną funkcji x , a m jest stałą. Dlatego jeśli zdefiniujemy f (t, x (t), x⁰(t), x⁰⁰(t)) = F (x (t), t) − m · x⁰⁰(t), to

f (t, x (t), x⁰(t), x⁰⁰(t)) = 0 jest równaniem różniczkowym drugiego stopnia, opisującym II zasadę dynamiki Newtona.

Jeśli założymy, że F jest stałe i _m^F = a ∈ R to równanie różniczkowe F − mx⁰⁰(t) = 0 jest równoważne równaniu x⁰⁰(t) = a i jego rozwiązanie opisuje ruch ciała pod wpływem stałej, działającej na nie siły.

Przykład - II zasada dynamiki Newtona

Zasadę dynamiki Newtona znają Państwo na pewno w postaci F = am, gdzie F jest siłą działającą na ciało, a - przyspieszeniem, jakiego ciało nabiera pod wpływem tej siły, a m - masą ciała.

Zauważmy, że jeśli przez x (t) oznaczymy położenie ciała w czasie t to F może być dowolną funkcją zależną od x i t, a(t) jest drugą pochodną funkcji x , a m jest stałą. Dlatego jeśli zdefiniujemy f (t, x (t), x⁰(t), x⁰⁰(t)) = F (x (t), t) − m · x⁰⁰(t), to

f (t, x (t), x⁰(t), x⁰⁰(t)) = 0 jest równaniem różniczkowym drugiego stopnia, opisującym II zasadę dynamiki Newtona. Jeśli założymy, że F jest stałe i _m^F = a ∈ R to równanie różniczkowe F − mx⁰⁰(t) = 0 jest równoważne równaniu x⁰⁰(t) = a i jego rozwiązanie opisuje ruch ciała pod wpływem stałej, działającej na nie siły.

Przykład - II zasada dynamiki Newtona

Spróbujmy rozwiązać równanie x⁰⁰(t) = a, gdzie a ∈ R jest stałą.

W tym celu, wprowadźmy funkcję pomocniczą y (t) = x⁰(t). Naturalnie y⁰(t) = x⁰⁰(t) = a. Poszukujemy zatem funkcji, której pochodna jest stała. Jedyne funkcje spełniające tę zależność to wielomiany

pierwszego stopnia, o współczynniku a przy wyrazie w pierwszej potędze. Możemy więc zapisać, że y (t) = at + C₁. Stąd

x⁰(t) = at + C₁. Innymi słowy, x jest funkcją pierwotną do at + C₁ (względem zmiennej t). Całkując at + C₁ otrzymamy, że x musi być postaci ^a₂t²+ C₁t + C₂, C₁, C₂ ∈ R.

Przykład - II zasada dynamiki Newtona

Spróbujmy rozwiązać równanie x⁰⁰(t) = a, gdzie a ∈ R jest stałą. W tym celu, wprowadźmy funkcję pomocniczą y (t) = x⁰(t).

Naturalnie y⁰(t) = x⁰⁰(t) = a. Poszukujemy zatem funkcji, której pochodna jest stała. Jedyne funkcje spełniające tę zależność to wielomiany

pierwszego stopnia, o współczynniku a przy wyrazie w pierwszej potędze. Możemy więc zapisać, że y (t) = at + C₁. Stąd

x⁰(t) = at + C₁. Innymi słowy, x jest funkcją pierwotną do at + C₁ (względem zmiennej t). Całkując at + C₁ otrzymamy, że x musi być postaci ^a₂t²+ C₁t + C₂, C₁, C₂ ∈ R.

Przykład - II zasada dynamiki Newtona

Spróbujmy rozwiązać równanie x⁰⁰(t) = a, gdzie a ∈ R jest stałą. W tym celu, wprowadźmy funkcję pomocniczą y (t) = x⁰(t). Naturalnie y⁰(t) = x⁰⁰(t) = a. Poszukujemy zatem funkcji, której pochodna jest stała.

Jedyne funkcje spełniające tę zależność to wielomiany pierwszego stopnia, o współczynniku a przy wyrazie w pierwszej potędze. Możemy więc zapisać, że y (t) = at + C₁. Stąd

x⁰(t) = at + C₁. Innymi słowy, x jest funkcją pierwotną do at + C₁ (względem zmiennej t). Całkując at + C₁ otrzymamy, że x musi być postaci ^a₂t²+ C₁t + C₂, C₁, C₂ ∈ R.

Przykład - II zasada dynamiki Newtona

Spróbujmy rozwiązać równanie x⁰⁰(t) = a, gdzie a ∈ R jest stałą. W tym celu, wprowadźmy funkcję pomocniczą y (t) = x⁰(t). Naturalnie y⁰(t) = x⁰⁰(t) = a. Poszukujemy zatem funkcji, której pochodna jest stała. Jedyne funkcje spełniające tę zależność to wielomiany

pierwszego stopnia, o współczynniku a przy wyrazie w pierwszej potędze. Możemy więc zapisać, że y (t) = at + C₁.

Stąd

x⁰(t) = at + C₁. Innymi słowy, x jest funkcją pierwotną do at + C₁ (względem zmiennej t). Całkując at + C₁ otrzymamy, że x musi być postaci ^a₂t²+ C₁t + C₂, C₁, C₂ ∈ R.

Przykład - II zasada dynamiki Newtona

Spróbujmy rozwiązać równanie x⁰⁰(t) = a, gdzie a ∈ R jest stałą. W tym celu, wprowadźmy funkcję pomocniczą y (t) = x⁰(t). Naturalnie y⁰(t) = x⁰⁰(t) = a. Poszukujemy zatem funkcji, której pochodna jest stała. Jedyne funkcje spełniające tę zależność to wielomiany

pierwszego stopnia, o współczynniku a przy wyrazie w pierwszej potędze. Możemy więc zapisać, że y (t) = at + C₁. Stąd

x⁰(t) = at + C₁. Innymi słowy, x jest funkcją pierwotną do at + C₁ (względem zmiennej t).

Całkując at + C₁ otrzymamy, że x musi być postaci ^a₂t²+ C₁t + C₂, C₁, C₂ ∈ R.

Przykład - II zasada dynamiki Newtona

Spróbujmy rozwiązać równanie x⁰⁰(t) = a, gdzie a ∈ R jest stałą. W tym celu, wprowadźmy funkcję pomocniczą y (t) = x⁰(t). Naturalnie y⁰(t) = x⁰⁰(t) = a. Poszukujemy zatem funkcji, której pochodna jest stała. Jedyne funkcje spełniające tę zależność to wielomiany

pierwszego stopnia, o współczynniku a przy wyrazie w pierwszej potędze. Możemy więc zapisać, że y (t) = at + C₁. Stąd

x⁰(t) = at + C₁. Innymi słowy, x jest funkcją pierwotną do at + C₁ (względem zmiennej t). Całkując at + C₁ otrzymamy, że x musi być postaci ^a₂t²+ C₁t + C₂, C₁, C₂ ∈ R.

Przykład - II zasada dynamiki Newtona

x (t) = ^a₂t²+ C₁t + C₂, C₁, C₂ ∈ R.

Jeśli założymy, że ciało, którego ruch badamy, zaczynało w chwili t = 0 z położenia x (0) = 0 i było nieruchome tj. miało zerową prędkość początkową

(y (0) = x⁰(0) = 0), to możemy obliczyć:

0 = y (0) = a·0+C₁ ⇒ C₁ = 0; 0 = x (0) = a

2·0+C₁·0+C₂ ⇒ C₂ = 0. Zatem ostateczny wzór na ruch pod wpływem stale działającej siły to x (t) = ^a₂t² - znany ze szkolnej fizyki wzór na pokonaną drogę w ruchu jednostajnie przyspieszonym.

Przykład - II zasada dynamiki Newtona

x (t) = ^a₂t²+ C₁t + C₂, C₁, C₂ ∈ R. Jeśli założymy, że ciało, którego ruch badamy, zaczynało w chwili t = 0 z położenia x (0) = 0 i było nieruchome tj. miało zerową prędkość początkową

(y (0) = x⁰(0) = 0), to możemy obliczyć:

0 = y (0) = a·0+C₁ ⇒ C₁ = 0; 0 = x (0) = a

2·0+C₁·0+C₂ ⇒ C₂ = 0. Zatem ostateczny wzór na ruch pod wpływem stale działającej siły to x (t) = ^a₂t² - znany ze szkolnej fizyki wzór na pokonaną drogę w ruchu jednostajnie przyspieszonym.

Przykład - II zasada dynamiki Newtona

x (t) = ^a₂t²+ C₁t + C₂, C₁, C₂ ∈ R. Jeśli założymy, że ciało, którego ruch badamy, zaczynało w chwili t = 0 z położenia x (0) = 0 i było nieruchome tj. miało zerową prędkość początkową

(y (0) = x⁰(0) = 0), to możemy obliczyć:

0 = y (0) = a·0+C₁ ⇒ C₁ = 0;

0 = x (0) = a

2·0+C₁·0+C₂ ⇒ C₂ = 0. Zatem ostateczny wzór na ruch pod wpływem stale działającej siły to x (t) = ^a₂t² - znany ze szkolnej fizyki wzór na pokonaną drogę w ruchu jednostajnie przyspieszonym.

Przykład - II zasada dynamiki Newtona

x (t) = ^a₂t²+ C₁t + C₂, C₁, C₂ ∈ R. Jeśli założymy, że ciało, którego ruch badamy, zaczynało w chwili t = 0 z położenia x (0) = 0 i było nieruchome tj. miało zerową prędkość początkową

(y (0) = x⁰(0) = 0), to możemy obliczyć:

0 = y (0) = a·0+C₁ ⇒ C₁ = 0; 0 = x (0) = a

2·0+C₁·0+C₂ ⇒ C₂ = 0.

Zatem ostateczny wzór na ruch pod wpływem stale działającej siły to x (t) = ^a₂t² - znany ze szkolnej fizyki wzór na pokonaną drogę w ruchu jednostajnie przyspieszonym.

Przykład - II zasada dynamiki Newtona

x (t) = ^a₂t²+ C₁t + C₂, C₁, C₂ ∈ R. Jeśli założymy, że ciało, którego ruch badamy, zaczynało w chwili t = 0 z położenia x (0) = 0 i było nieruchome tj. miało zerową prędkość początkową

(y (0) = x⁰(0) = 0), to możemy obliczyć:

0 = y (0) = a·0+C₁ ⇒ C₁ = 0; 0 = x (0) = a

2·0+C₁·0+C₂ ⇒ C₂ = 0.

Zatem ostateczny wzór na ruch pod wpływem stale działającej siły to x (t) = ^at² - znany ze szkolnej fizyki wzór na pokonaną drogę w

Postać normalna

Teraz, do końca tego rozdziału, skupimy się na równaniach różniczkowych zwyczajnych pierwszego rzędu, czyli zawierających tylko zmienną niezależną, funkcję oraz jej pierwszą pochodną.

Warto zauważyć, że równanie różniczkowe z definicji dane jest w postaci uwikłanej ze względu na wszystkie zmienne. Najczęściej równania te jednak będą w postaci rozwikłanej ze względu na pierwszą pochodną, czyli tzw. normalnej.

Równanie różniczkowe zwyczajne

Postać normalna równania różniczkowego pierwszego rzędu to równanie postaci ^dy_dx = g (x , y (x )), gdzie D_g ⊂ R².

Postać normalna

Teraz, do końca tego rozdziału, skupimy się na równaniach różniczkowych zwyczajnych pierwszego rzędu, czyli zawierających tylko zmienną niezależną, funkcję oraz jej pierwszą pochodną. Warto zauważyć, że równanie różniczkowe z definicji dane jest w postaci uwikłanej ze względu na wszystkie zmienne.

Najczęściej równania te jednak będą w postaci rozwikłanej ze względu na pierwszą pochodną, czyli tzw. normalnej.

Równanie różniczkowe zwyczajne

Postać normalna równania różniczkowego pierwszego rzędu to równanie postaci ^dy_dx = g (x , y (x )), gdzie D_g ⊂ R².

Postać normalna

Teraz, do końca tego rozdziału, skupimy się na równaniach różniczkowych zwyczajnych pierwszego rzędu, czyli zawierających tylko zmienną niezależną, funkcję oraz jej pierwszą pochodną. Warto zauważyć, że równanie różniczkowe z definicji dane jest w postaci uwikłanej ze względu na wszystkie zmienne. Najczęściej równania te jednak będą w postaci rozwikłanej ze względu na pierwszą pochodną, czyli tzw. normalnej.

Równanie różniczkowe zwyczajne

Postać normalna równania różniczkowego pierwszego rzędu to równanie postaci ^dy_dx = g (x , y (x )), gdzie D_g ⊂ R².

Równania różniczkowe - jednoznaczność rozwiązań

Rozwiązywanie równania różniczkowego jest w pewnym sensie

uogólnionym całkowaniem - wiedząc coś o pochodnej, szukamy wzoru funkcji. Dlatego równanie różniczkowe najczęściej ma nieskończenie rozwiązań (tak jak całka).

Aby otrzymać pojedyncze rozwiązanie, narzuca się dodatkowe warunki np. wartość w pewnym „punkcie początkowym”. Tak właśnie było w rozwiązanym przed chwilą problemie: na początku dostaliśmy wzór ogólny na x (t), zależny od stałych C₁, C₂, a dopiero potem, po uzyskaniu informacji o

początkowym położeniu i prędkości badanego obiektu, otrzymaliśmy jednoznaczny wzór funkcji x . Jak uogólnić ten wynik?

Równania różniczkowe - jednoznaczność rozwiązań

Rozwiązywanie równania różniczkowego jest w pewnym sensie

uogólnionym całkowaniem - wiedząc coś o pochodnej, szukamy wzoru funkcji. Dlatego równanie różniczkowe najczęściej ma nieskończenie rozwiązań (tak jak całka). Aby otrzymać pojedyncze rozwiązanie, narzuca się dodatkowe warunki np. wartość w pewnym „punkcie początkowym”.

Tak właśnie było w rozwiązanym przed chwilą problemie: na początku dostaliśmy wzór ogólny na x (t), zależny od stałych C₁, C₂, a dopiero potem, po uzyskaniu informacji o

początkowym położeniu i prędkości badanego obiektu, otrzymaliśmy jednoznaczny wzór funkcji x . Jak uogólnić ten wynik?

Równania różniczkowe - jednoznaczność rozwiązań

Rozwiązywanie równania różniczkowego jest w pewnym sensie

uogólnionym całkowaniem - wiedząc coś o pochodnej, szukamy wzoru funkcji. Dlatego równanie różniczkowe najczęściej ma nieskończenie rozwiązań (tak jak całka). Aby otrzymać pojedyncze rozwiązanie, narzuca się dodatkowe warunki np. wartość w pewnym „punkcie początkowym”. Tak właśnie było w rozwiązanym przed chwilą problemie: na początku dostaliśmy wzór ogólny na x (t), zależny od stałych C₁, C₂, a dopiero potem, po uzyskaniu informacji o

początkowym położeniu i prędkości badanego obiektu, otrzymaliśmy jednoznaczny wzór funkcji x .

Jak uogólnić ten wynik?

Równania różniczkowe - jednoznaczność rozwiązań

Rozwiązywanie równania różniczkowego jest w pewnym sensie

uogólnionym całkowaniem - wiedząc coś o pochodnej, szukamy wzoru funkcji. Dlatego równanie różniczkowe najczęściej ma nieskończenie rozwiązań (tak jak całka). Aby otrzymać pojedyncze rozwiązanie, narzuca się dodatkowe warunki np. wartość w pewnym „punkcie początkowym”. Tak właśnie było w rozwiązanym przed chwilą problemie: na początku dostaliśmy wzór ogólny na x (t), zależny od stałych C₁, C₂, a dopiero potem, po uzyskaniu informacji o

początkowym położeniu i prędkości badanego obiektu, otrzymaliśmy jednoznaczny wzór funkcji x . Jak uogólnić ten wynik?

Równania różniczkowe - jednoznaczność rozwiązań

Zagadnienie Cauchy’ego

Zagadnienie Cauchy’ego (lub zagadnienie początkowe) to zadanie polegające na wyznaczeniu rozwiązania równania różniczkowego spełniającego warunek:







y⁰(x ) = g (x , y (x )) y (x₀) = y₀ .

Twierdzenie Peano-Piccarda

Jeśli g : R² → R jest funkcją różniczkowalną w pewnym otoczeniu (x₀, y₀) to zagadnienie Cauchy’ego zadane tak jak w powyższej definicji posiada dokładnie jedno rozwiązanie y w pewnym otoczeniu x0.

Równania różniczkowe - jednoznaczność rozwiązań

Zagadnienie Cauchy’ego

Zagadnienie Cauchy’ego (lub zagadnienie początkowe) to zadanie polegające na wyznaczeniu rozwiązania równania różniczkowego spełniającego warunek:







y⁰(x ) = g (x , y (x )) y (x₀) = y₀ .

Twierdzenie Peano-Piccarda

Jeśli g : R² → R jest funkcją różniczkowalną w pewnym otoczeniu (x₀, y₀) to zagadnienie Cauchy’ego zadane tak jak w powyższej definicji posiada dokładnie jedno rozwiązanie y w pewnym otoczeniu x0.

Równania różniczkowe - jednoznaczność rozwiązań

Naturalnym pytaniem jest, czy istnieją zagadnienia Cauchy’ego, które nie mają rozwiązań lub mają więcej niż jedno. Oczywiście, w takiej sytuacji funkcja g z definicji zagadnienia nie może być

różniczkowalna.

Jeśli funkcja g nie jest ciągła w (x₀, y₀), to zagadnienie może w ogóle nie mieć rozwiązań. Przykładowo:











y⁰(x ) =







0, gdy x < 0; 1, gdy x ­ 0 y (0) = 0

,

nie ma w ogóle rozwiązań.

Równania różniczkowe - jednoznaczność rozwiązań

Naturalnym pytaniem jest, czy istnieją zagadnienia Cauchy’ego, które nie mają rozwiązań lub mają więcej niż jedno. Oczywiście, w takiej sytuacji funkcja g z definicji zagadnienia nie może być

różniczkowalna.

Jeśli funkcja g nie jest ciągła w (x₀, y₀), to zagadnienie może w ogóle nie mieć rozwiązań. Przykładowo:











y⁰(x ) =







0, gdy x < 0;

1, gdy x ­ 0 y (0) = 0

,

nie ma w ogóle rozwiązań.

Równania różniczkowe - jednoznaczność rozwiązań

Z kolei, jeśli funkcja g jest ciągła, ale nieróżniczkowalna w (x₀, y₀), to zagadnienie może mieć dla tego warunku początkowego więcej niż jedno rozwiązanie.

Przykładowo rozważmy:







y⁰(x ) = 3√³ y² y (0) = 0 .

Oczywiście rozwiązaniem jest funkcja stała y (x ) = 0 (bo obie strony równania różniczkowego się zerują), ale też funkcja y (x ) = x³, bo lewa strona równania różniczkowego wynosi 3x², a prawa również 3x² dla dowolnego x ∈ R. Nie jest to sprzeczne z twierdzeniem

Peano-Piccarda, gdyż funkcja g (x , y ) = 3√³

y² nie ma pochodnej cząstkowej g_y⁰ w punkcie (0, 0).

Równania różniczkowe - jednoznaczność rozwiązań

Z kolei, jeśli funkcja g jest ciągła, ale nieróżniczkowalna w (x₀, y₀), to zagadnienie może mieć dla tego warunku początkowego więcej niż jedno rozwiązanie. Przykładowo rozważmy:







y⁰(x ) = 3√³ y² y (0) = 0 .

Oczywiście rozwiązaniem jest funkcja stała y (x ) = 0 (bo obie strony równania różniczkowego się zerują), ale też funkcja y (x ) = x³, bo lewa strona równania różniczkowego wynosi 3x², a prawa również 3x² dla dowolnego x ∈ R. Nie jest to sprzeczne z twierdzeniem

Peano-Piccarda, gdyż funkcja g (x , y ) = 3√³

y² nie ma pochodnej cząstkowej g_y⁰ w punkcie (0, 0).

Równania różniczkowe - jednoznaczność rozwiązań

Z kolei, jeśli funkcja g jest ciągła, ale nieróżniczkowalna w (x₀, y₀), to zagadnienie może mieć dla tego warunku początkowego więcej niż jedno rozwiązanie. Przykładowo rozważmy:







y⁰(x ) = 3√³ y² y (0) = 0 .

Oczywiście rozwiązaniem jest funkcja stała y (x ) = 0

(bo obie strony równania różniczkowego się zerują), ale też funkcja y (x ) = x³, bo lewa strona równania różniczkowego wynosi 3x², a prawa również 3x² dla dowolnego x ∈ R. Nie jest to sprzeczne z twierdzeniem

Peano-Piccarda, gdyż funkcja g (x , y ) = 3√³

y² nie ma pochodnej cząstkowej g_y⁰ w punkcie (0, 0).

Równania różniczkowe - jednoznaczność rozwiązań

Z kolei, jeśli funkcja g jest ciągła, ale nieróżniczkowalna w (x₀, y₀), to zagadnienie może mieć dla tego warunku początkowego więcej niż jedno rozwiązanie. Przykładowo rozważmy:







y⁰(x ) = 3√³ y² y (0) = 0 .

Oczywiście rozwiązaniem jest funkcja stała y (x ) = 0 (bo obie strony równania różniczkowego się zerują), ale też funkcja y (x ) = x³, bo lewa strona równania różniczkowego wynosi

3x², a prawa również 3x² dla dowolnego x ∈ R. Nie jest to sprzeczne z twierdzeniem

Peano-Piccarda, gdyż funkcja g (x , y ) = 3√³

y² nie ma pochodnej cząstkowej g_y⁰ w punkcie (0, 0).

Równania różniczkowe - jednoznaczność rozwiązań

Z kolei, jeśli funkcja g jest ciągła, ale nieróżniczkowalna w (x₀, y₀), to zagadnienie może mieć dla tego warunku początkowego więcej niż jedno rozwiązanie. Przykładowo rozważmy:







y⁰(x ) = 3√³ y² y (0) = 0 .

Oczywiście rozwiązaniem jest funkcja stała y (x ) = 0 (bo obie strony równania różniczkowego się zerują), ale też funkcja y (x ) = x³, bo lewa strona równania różniczkowego wynosi 3x², a prawa

również 3x² dla dowolnego x ∈ R. Nie jest to sprzeczne z twierdzeniem

Peano-Piccarda, gdyż funkcja g (x , y ) = 3√³

y² nie ma pochodnej cząstkowej g_y⁰ w punkcie (0, 0).

Równania różniczkowe - jednoznaczność rozwiązań

Z kolei, jeśli funkcja g jest ciągła, ale nieróżniczkowalna w (x₀, y₀), to zagadnienie może mieć dla tego warunku początkowego więcej niż jedno rozwiązanie. Przykładowo rozważmy:







y⁰(x ) = 3√³ y² y (0) = 0 .

Oczywiście rozwiązaniem jest funkcja stała y (x ) = 0 (bo obie strony równania różniczkowego się zerują), ale też funkcja y (x ) = x³, bo lewa strona równania różniczkowego wynosi 3x², a prawa również 3x² dla dowolnego x ∈ R.

Nie jest to sprzeczne z twierdzeniem Peano-Piccarda, gdyż funkcja g (x , y ) = 3√³

y² nie ma pochodnej cząstkowej g_y⁰ w punkcie (0, 0).

Równania różniczkowe - jednoznaczność rozwiązań

Z kolei, jeśli funkcja g jest ciągła, ale nieróżniczkowalna w (x₀, y₀), to zagadnienie może mieć dla tego warunku początkowego więcej niż jedno rozwiązanie. Przykładowo rozważmy:







y⁰(x ) = 3√³ y² y (0) = 0 .

Oczywiście rozwiązaniem jest funkcja stała y (x ) = 0 (bo obie strony równania różniczkowego się zerują), ale też funkcja y (x ) = x³, bo lewa strona równania różniczkowego wynosi 3x², a prawa również 3x² dla dowolnego x ∈ R. Nie jest to sprzeczne z twierdzeniem√

Model Friedmana oczekiwań inflacyjnych

W warunkach długotrwałej inflacji ludzie przyjmują pewne

oczekiwania inflacyjne (czyli przewidują przyszłą inflację na pewnym poziomie), co wpływa na ich zachowania rynkowe.

Milton Friedman modelował te oczekiwania za pomocą prostego równania

różniczkowego:

d π

dt = a(p − π),

gdzie a ∈ (0, 1], π(t) oznacza oczekiwaną, a p(t) rzeczywistą stopę inflacji w momencie t. Model powstał na bazie następującej

obserwacji: jeśli w danej chwili p > π to stopa oczekiwana będzie rosnąć (czyli ^{d π}_dt > 0), zaś jeśli p < π to stopa oczekiwana będzie maleć (czyli ^{d π}_dt < 0).

Model Friedmana oczekiwań inflacyjnych

W warunkach długotrwałej inflacji ludzie przyjmują pewne

oczekiwania inflacyjne (czyli przewidują przyszłą inflację na pewnym poziomie), co wpływa na ich zachowania rynkowe. Milton Friedman modelował te oczekiwania za pomocą prostego równania

różniczkowego:

d π

dt = a(p − π),

gdzie a ∈ (0, 1], π(t) oznacza oczekiwaną, a p(t) rzeczywistą stopę inflacji w momencie t.

Model powstał na bazie następującej obserwacji: jeśli w danej chwili p > π to stopa oczekiwana będzie rosnąć (czyli ^{d π}_dt > 0), zaś jeśli p < π to stopa oczekiwana będzie maleć (czyli ^{d π}_dt < 0).

Model Friedmana oczekiwań inflacyjnych

W warunkach długotrwałej inflacji ludzie przyjmują pewne

oczekiwania inflacyjne (czyli przewidują przyszłą inflację na pewnym poziomie), co wpływa na ich zachowania rynkowe. Milton Friedman modelował te oczekiwania za pomocą prostego równania

różniczkowego:

d π

dt = a(p − π),

gdzie a ∈ (0, 1], π(t) oznacza oczekiwaną, a p(t) rzeczywistą stopę inflacji w momencie t. Model powstał na bazie następującej

obserwacji: jeśli w danej chwili p > π to stopa oczekiwana będzie rosnąć (czyli ^{d π}_dt > 0), zaś jeśli p < π to stopa oczekiwana będzie maleć (czyli ^{d π}_dt < 0).

Model wzrostu gospodarczego Domara

Zbudujemy najprostszy model wzrostu gospodarczego, w celu oszacowania wpływu wielkości inwestycji (I ) na dochód narodowy (Y ).

W modelu zakładamy, że inwestycje wpływają na dochód w przyszłości, ale zależą od dochodu obecnego.

Inwestycje (I ) można zdefiniować jako stopę przyrostu kapitału (K ): I = ^dK_dt. Zakładamy, że potencjał produkcyjny (Υ), czyli największy produkt narodowy możliwy do wytworzenia w chwili t jest

proporcjonalny do posiadanego kapitału: Υ(t) = ρK (t), gdzie ρ jest współczynnikiem proporcjonalności. Jeśli potencjał produkcyjny jest w pełni wykorzystany (wtedy mówi się, że gospodarka jest w stanie równowagi), to możemy założyć, że Y (t) = Υ(t). Z kolei, jeśli s jest krańcową skłonnością do oszczędzania dochodu narodowego (czyli częścią tego dochodu, która zostaje zaoszczędzona i może być zainwestowana: zakładamy, że jest stała) to możemy zapisać s^dY_dt = ^dI_dt.

Model wzrostu gospodarczego Domara

Zbudujemy najprostszy model wzrostu gospodarczego, w celu oszacowania wpływu wielkości inwestycji (I ) na dochód narodowy (Y ). W modelu zakładamy, że inwestycje wpływają na dochód w przyszłości, ale zależą od dochodu obecnego.

Inwestycje (I ) można zdefiniować jako stopę przyrostu kapitału (K ): I = ^dK_dt. Zakładamy, że potencjał produkcyjny (Υ), czyli największy produkt narodowy możliwy do wytworzenia w chwili t jest

proporcjonalny do posiadanego kapitału: Υ(t) = ρK (t), gdzie ρ jest współczynnikiem proporcjonalności. Jeśli potencjał produkcyjny jest w pełni wykorzystany (wtedy mówi się, że gospodarka jest w stanie równowagi), to możemy założyć, że Y (t) = Υ(t). Z kolei, jeśli s jest krańcową skłonnością do oszczędzania dochodu narodowego (czyli częścią tego dochodu, która zostaje zaoszczędzona i może być zainwestowana: zakładamy, że jest stała) to możemy zapisać s^dY_dt = ^dI_dt.

Model wzrostu gospodarczego Domara

Zbudujemy najprostszy model wzrostu gospodarczego, w celu oszacowania wpływu wielkości inwestycji (I ) na dochód narodowy (Y ). W modelu zakładamy, że inwestycje wpływają na dochód w przyszłości, ale zależą od dochodu obecnego.

Inwestycje (I ) można zdefiniować jako stopę przyrostu kapitału (K ):

I = ^dK_dt.

Zakładamy, że potencjał produkcyjny (Υ), czyli największy produkt narodowy możliwy do wytworzenia w chwili t jest

proporcjonalny do posiadanego kapitału: Υ(t) = ρK (t), gdzie ρ jest współczynnikiem proporcjonalności. Jeśli potencjał produkcyjny jest w pełni wykorzystany (wtedy mówi się, że gospodarka jest w stanie równowagi), to możemy założyć, że Y (t) = Υ(t). Z kolei, jeśli s jest krańcową skłonnością do oszczędzania dochodu narodowego (czyli częścią tego dochodu, która zostaje zaoszczędzona i może być zainwestowana: zakładamy, że jest stała) to możemy zapisać s^dY_dt = ^dI_dt.

Model wzrostu gospodarczego Domara

Zbudujemy najprostszy model wzrostu gospodarczego, w celu oszacowania wpływu wielkości inwestycji (I ) na dochód narodowy (Y ). W modelu zakładamy, że inwestycje wpływają na dochód w przyszłości, ale zależą od dochodu obecnego.

Inwestycje (I ) można zdefiniować jako stopę przyrostu kapitału (K ):

I = ^dK_dt. Zakładamy, że potencjał produkcyjny (Υ), czyli największy produkt narodowy możliwy do wytworzenia w chwili t jest

proporcjonalny do posiadanego kapitału: Υ(t) = ρK (t), gdzie ρ jest współczynnikiem proporcjonalności.

Jeśli potencjał produkcyjny jest w pełni wykorzystany (wtedy mówi się, że gospodarka jest w stanie równowagi), to możemy założyć, że Y (t) = Υ(t). Z kolei, jeśli s jest krańcową skłonnością do oszczędzania dochodu narodowego (czyli częścią tego dochodu, która zostaje zaoszczędzona i może być zainwestowana: zakładamy, że jest stała) to możemy zapisać s^dY_dt = ^dI_dt.

Model wzrostu gospodarczego Domara

Zbudujemy najprostszy model wzrostu gospodarczego, w celu oszacowania wpływu wielkości inwestycji (I ) na dochód narodowy (Y ). W modelu zakładamy, że inwestycje wpływają na dochód w przyszłości, ale zależą od dochodu obecnego.

Inwestycje (I ) można zdefiniować jako stopę przyrostu kapitału (K ):

I = ^dK_dt. Zakładamy, że potencjał produkcyjny (Υ), czyli największy produkt narodowy możliwy do wytworzenia w chwili t jest

proporcjonalny do posiadanego kapitału: Υ(t) = ρK (t), gdzie ρ jest współczynnikiem proporcjonalności. Jeśli potencjał produkcyjny jest w pełni wykorzystany (wtedy mówi się, że gospodarka jest w stanie równowagi), to możemy założyć, że Y (t) = Υ(t).

Z kolei, jeśli s jest krańcową skłonnością do oszczędzania dochodu narodowego (czyli częścią tego dochodu, która zostaje zaoszczędzona i może być zainwestowana: zakładamy, że jest stała) to możemy zapisać s^dY_dt = ^dI_dt.

Model wzrostu gospodarczego Domara

Zbudujemy najprostszy model wzrostu gospodarczego, w celu oszacowania wpływu wielkości inwestycji (I ) na dochód narodowy (Y ). W modelu zakładamy, że inwestycje wpływają na dochód w przyszłości, ale zależą od dochodu obecnego.

Inwestycje (I ) można zdefiniować jako stopę przyrostu kapitału (K ):

I = ^dK_dt. Zakładamy, że potencjał produkcyjny (Υ), czyli największy produkt narodowy możliwy do wytworzenia w chwili t jest

proporcjonalny do posiadanego kapitału: Υ(t) = ρK (t), gdzie ρ jest współczynnikiem proporcjonalności. Jeśli potencjał produkcyjny jest w pełni wykorzystany (wtedy mówi się, że gospodarka jest w stanie równowagi), to możemy założyć, że Y (t) = Υ(t). Z kolei, jeśli s jest krańcową skłonnością do oszczędzania dochodu narodowego (czyli częścią tego dochodu, która zostaje zaoszczędzona i może być zainwestowana: zakładamy, że jest stała) to możemy zapisać

Model wzrostu gospodarczego Domara

Inwestycje (I ) można zdefiniować jako stopę przyrostu kapitału (K ):

I = ^dK_dt. Zakładamy, że potencjał produkcyjny (Υ), czyli największy produkt narodowy możliwy do wytworzenia w chwili t jest

proporcjonalny do posiadanego kapitału: Υ(t) = ρK (t), gdzie ρ jest współczynnikiem proporcjonalności. Jeśli potencjał produkcyjny jest w pełni wykorzystany (wtedy mówi się, że gospodarka jest w stanie równowagi), to możemy założyć, że Y (t) = Υ(t). Z kolei, jeśli s jest krańcową skłonnością do oszczędzania dochodu narodowego (czyli częścią tego dochodu, która zostaje zaoszczędzona i może być zainwestowana: zakładamy, że jest stała) to możemy zapisać s^dY_dt = ^dI_dt.

Łącząc te równości otrzymujemy:

= sd Υ

dt = sρdK

dt = ρsI .

Model wzrostu gospodarczego Domara

Inwestycje (I ) można zdefiniować jako stopę przyrostu kapitału (K ):

I = ^dK_dt. Zakładamy, że potencjał produkcyjny (Υ), czyli największy produkt narodowy możliwy do wytworzenia w chwili t jest

proporcjonalny do posiadanego kapitału: Υ(t) = ρK (t), gdzie ρ jest współczynnikiem proporcjonalności. Jeśli potencjał produkcyjny jest w pełni wykorzystany (wtedy mówi się, że gospodarka jest w stanie równowagi), to możemy założyć, że Y (t) = Υ(t). Z kolei, jeśli s jest krańcową skłonnością do oszczędzania dochodu narodowego (czyli częścią tego dochodu, która zostaje zaoszczędzona i może być zainwestowana: zakładamy, że jest stała) to możemy zapisać s^dY_dt = ^dI_dt.

Łącząc te równości otrzymujemy:

dI

dt = sdY

dt = sd Υ dt =

sρdK

dt = ρsI .

Model wzrostu gospodarczego Domara

Inwestycje (I ) można zdefiniować jako stopę przyrostu kapitału (K ):

I = ^dK_dt. Zakładamy, że potencjał produkcyjny (Υ), czyli największy produkt narodowy możliwy do wytworzenia w chwili t jest

proporcjonalny do posiadanego kapitału: Υ(t) = ρK (t), gdzie ρ jest współczynnikiem proporcjonalności. Jeśli potencjał produkcyjny jest w pełni wykorzystany (wtedy mówi się, że gospodarka jest w stanie równowagi), to możemy założyć, że Y (t) = Υ(t). Z kolei, jeśli s jest krańcową skłonnością do oszczędzania dochodu narodowego (czyli częścią tego dochodu, która zostaje zaoszczędzona i może być zainwestowana: zakładamy, że jest stała) to możemy zapisać s^dY_dt = ^dI_dt.

Łącząc te równości otrzymujemy:

ρsI .

Model wzrostu gospodarczego Domara

Inwestycje (I ) można zdefiniować jako stopę przyrostu kapitału (K ):

I = ^dK_dt. Zakładamy, że potencjał produkcyjny (Υ), czyli największy produkt narodowy możliwy do wytworzenia w chwili t jest

proporcjonalny do posiadanego kapitału: Υ(t) = ρK (t), gdzie ρ jest współczynnikiem proporcjonalności. Jeśli potencjał produkcyjny jest w pełni wykorzystany (wtedy mówi się, że gospodarka jest w stanie równowagi), to możemy założyć, że Y (t) = Υ(t). Z kolei, jeśli s jest krańcową skłonnością do oszczędzania dochodu narodowego (czyli częścią tego dochodu, która zostaje zaoszczędzona i może być zainwestowana: zakładamy, że jest stała) to możemy zapisać s^dY_dt = ^dI_dt.

Łącząc te równości otrzymujemy:

dI

dt = sdY

dt = sd Υ

dt = sρdK

dt = ρsI .

Ogólne uwagi o rozwiązywaniu równań różniczkowych

Zasadniczo, przygniatającej większości równań różniczkowych nie da się rozwiązać analitycznie, a przynajmniej przedstawić algorytmu, który w skończonej liczbie kroków dawałby ich rozwiązanie.

W wielu wypadkach również rozwiązania numeryczne (czyli przybliżone, obliczone za pomocą komputerów) nie zdają egzaminu ze względu na tzw. silną zależność od warunków początkowych (popularniejszymi, acz mniej ścisłymi określeniami tego zjawiska są chaos lub efekt motyla), czyli fakt, że mała niedokładność pomiaru stanu

początkowego układu, który dane równanie różniczkowe modeluje, może powodować po pewnym czasie dowolnie dużą różnicę między przewidywaniami modelu a stanem rzeczywistym.

W ramach tego wykładu zajmiemy się jedynie kilkoma najprostszymi rodzajami równań różniczkowych, które akurat da się rozwiązać.

Ogólne uwagi o rozwiązywaniu równań różniczkowych

Zasadniczo, przygniatającej większości równań różniczkowych nie da się rozwiązać analitycznie, a przynajmniej przedstawić algorytmu, który w skończonej liczbie kroków dawałby ich rozwiązanie. W wielu wypadkach również rozwiązania numeryczne (czyli przybliżone, obliczone za pomocą komputerów) nie zdają egzaminu ze względu na tzw. silną zależność od warunków początkowych (popularniejszymi, acz mniej ścisłymi określeniami tego zjawiska są chaos lub efekt motyla), czyli fakt, że mała niedokładność pomiaru stanu

początkowego układu, który dane równanie różniczkowe modeluje, może powodować po pewnym czasie dowolnie dużą różnicę między przewidywaniami modelu a stanem rzeczywistym.

W ramach tego wykładu zajmiemy się jedynie kilkoma najprostszymi rodzajami równań różniczkowych, które akurat da się rozwiązać.

Ogólne uwagi o rozwiązywaniu równań różniczkowych

Zasadniczo, przygniatającej większości równań różniczkowych nie da się rozwiązać analitycznie, a przynajmniej przedstawić algorytmu, który w skończonej liczbie kroków dawałby ich rozwiązanie. W wielu wypadkach również rozwiązania numeryczne (czyli przybliżone, obliczone za pomocą komputerów) nie zdają egzaminu ze względu na tzw. silną zależność od warunków początkowych (popularniejszymi, acz mniej ścisłymi określeniami tego zjawiska są chaos lub efekt motyla), czyli fakt, że mała niedokładność pomiaru stanu

początkowego układu, który dane równanie różniczkowe modeluje, może powodować po pewnym czasie dowolnie dużą różnicę między

Najprostsze równania różniczkowe

Najprostsze równania różniczkowe to równania postaci:

dy

dx = f (x ), gdzie f jest pewną funkcją zależną tylko od zmiennej x .

Ich rozwiązania można uzyskać całkując obie strony względem x i są oczywiście wyrażone wzorem:

y (x ) =

Z

f (x )dx + C .

Najprostsze równania różniczkowe

Najprostsze równania różniczkowe to równania postaci:

dy

dx = f (x ), gdzie f jest pewną funkcją zależną tylko od zmiennej x . Ich rozwiązania można uzyskać całkując obie strony względem x i są oczywiście wyrażone wzorem:

y (x ) =

Z

f (x )dx + C .

Najprostsze równania różniczkowe - przykład

Ten sposób rozwiązywania stosowaliśmy, zmagając się z II zasadą dynamiki Newtona. Równanie:

dx

dt = at + C₁,

przy danych a, C₁ ∈ R jest właśnie równaniem tego typu (prawa strona jest funkcją tylko zmiennej niezależnej t), więc rozwiązaliśmy je całkując obustronnie po t i otrzymując:

x (t) =

a

2t²+ C₁t + C₂.

Najprostsze równania różniczkowe - przykład

Ten sposób rozwiązywania stosowaliśmy, zmagając się z II zasadą dynamiki Newtona. Równanie:

dx

dt = at + C₁,

przy danych a, C₁ ∈ R jest właśnie równaniem tego typu (prawa strona jest funkcją tylko zmiennej niezależnej t), więc rozwiązaliśmy je całkując obustronnie po t i otrzymując:

x (t) = a

2t²+ C₁t + C₂.

Równania o zmiennych rozdzielonych

Niemal równie proste są równania o rozdzielonych zmiennych, postaci:

f (y )dy

dx = g (x )

Rozwiązujemy je „mnożąc” obie strony przez dx i następnie całkując: f (y )dy

dx = g (x ) =⇒ [f (y )dy = g (x )dx ] =⇒

Z

f (y )dy =

Z

g (x )dx .

Oczywiście, zapis w nawiasie kwadratowym powyżej jest zupełnie niepoprawny (przynajmniej według naszej wiedzy), bo samo dx bądź dy nie ma zdefiniowanego znaczenia.

Równania o zmiennych rozdzielonych

Niemal równie proste są równania o rozdzielonych zmiennych, postaci:

f (y )dy

dx = g (x )

Rozwiązujemy je „mnożąc” obie strony przez dx i następnie całkując:

f (y )dy

dx = g (x ) =⇒ [f (y )dy = g (x )dx ] =⇒

Z

f (y )dy =

Z

g (x )dx .

Oczywiście, zapis w nawiasie kwadratowym powyżej jest zupełnie niepoprawny (przynajmniej według naszej wiedzy), bo samo dx bądź dy nie ma zdefiniowanego znaczenia.

Równania o zmiennych rozdzielonych

Niemal równie proste są równania o rozdzielonych zmiennych, postaci:

f (y )dy

dx = g (x )

Rozwiązujemy je „mnożąc” obie strony przez dx i następnie całkując:

f (y )dy

dx = g (x ) =⇒ [f (y )dy = g (x )dx ] =⇒

Z

f (y )dy =

Z

g (x )dx .

Oczywiście, zapis w nawiasie kwadratowym powyżej jest zupełnie niepoprawny (przynajmniej według naszej wiedzy), bo samo dx bądź dy nie ma zdefiniowanego znaczenia.

Równania o zmiennych rozdzielonych

f (y )dy

dx = g (x ) =⇒ [f (y )dy = g (x )dx ] =⇒

Z

f (y )dy =

Z

g (x )dx . Oczywiście, zapis w nawiasie kwadratowym powyżej jest zupełnie

niepoprawny (przynajmniej według naszej wiedzy), bo samo dx bądź dy nie ma zdefiniowanego znaczenia. To „mnożenie” jest tylko mnemotechniczną sztuczką, dzięki której możemy łatwo zapamiętać sposób rozwiązywania równania o zmiennych rozdzielonych, a nie jakimś znanym nam działaniem. Dlatego, zanim

ćwiczeniowiec/wykładowca się zorientuje, że robimy z tym równaniem

Równania o zmiennych rozdzielonych - przykład (model Friedmana)

Dla stałego poziomu inflacji p, model Friedmana oczekiwań inflacyjnych jest zadany równaniem różniczkowym o zmiennych rozdzielonych:

d π

dt = a(p − π),

gdzie a, p > 0. By to zauważyć, wystarczy przenieść na lewą stronę wszystko, co jest zależne od π np.:

1 p − π

d π dt = a.

Równania o zmiennych rozdzielonych - przykład (model Friedmana)

Dla stałego poziomu inflacji p, model Friedmana oczekiwań inflacyjnych jest zadany równaniem różniczkowym o zmiennych rozdzielonych:

d π

dt = a(p − π),

gdzie a, p > 0. By to zauważyć, wystarczy przenieść na lewą stronę wszystko, co jest zależne od π np.:

Równania o zmiennych rozdzielonych - przykład (model Friedmana)

1 p − π

d π dt = a.

Zgodnie z zasadą rozwiązywania równań o zmiennych rozdzielonych możemy nieformalnie zapisać postać równoważną jako:

[_p−π¹ d π = adt], a formalnie jako:

Z 1

p − πd π =

Z

adt ⇒ − ln |p − π| + C₁ = at + C₂ ⇒

⇒ ln |p − π| = −at + C₃

Równania o zmiennych rozdzielonych - przykład (model Friedmana)

1 p − π

d π dt = a.

Zgodnie z zasadą rozwiązywania równań o zmiennych rozdzielonych możemy nieformalnie zapisać postać równoważną jako:

[_p−π¹ d π = adt], a formalnie jako:

Z 1

p − πd π =

Z

adt ⇒

− ln |p − π| + C₁ = at + C₂ ⇒

⇒ ln |p − π| = −at + C₃

Równania o zmiennych rozdzielonych - przykład (model Friedmana)

1 p − π

d π dt = a.

Zgodnie z zasadą rozwiązywania równań o zmiennych rozdzielonych możemy nieformalnie zapisać postać równoważną jako:

[_p−π¹ d π = adt], a formalnie jako:

Z 1

p − πd π =

Z

adt ⇒ − ln |p − π| + C₁ = at + C₂ ⇒

⇒ ln |p − π| = −at + C₃

Równania o zmiennych rozdzielonych - przykład (model Friedmana)

ln |p − π| = −at + C₃

⇒ |p − π| = e^−at+C3 = e^C3· e^−at = Ce^−at.

I ostatecznie:

π(t) = p −Ce^−at(moduł mogliśmy opuścić, bo C może być ujemne) .

Warto zauważyć, że lim

t→∞π(t) = p, skąd można wyciągnąć wniosek, że jeśli stopa inflacji jest stała przez dłuższy czas, to oczekiwania inflacyjne społeczeństwa zaczną się pokrywać z faktyczną stopą inflacji (o ile model Friedmana jest prawdziwy).

Równania o zmiennych rozdzielonych - przykład (model Friedmana)

ln |p − π| = −at + C₃ ⇒ |p − π| = e^−at+C3 = e^C3· e^−at = Ce^−at.

I ostatecznie:

π(t) = p −Ce^−at(moduł mogliśmy opuścić, bo C może być ujemne) .

Warto zauważyć, że lim

t→∞π(t) = p, skąd można wyciągnąć wniosek, że jeśli stopa inflacji jest stała przez dłuższy czas, to oczekiwania inflacyjne społeczeństwa zaczną się pokrywać z faktyczną stopą inflacji (o ile model Friedmana jest prawdziwy).

Równania o zmiennych rozdzielonych - przykład (model Friedmana)

ln |p − π| = −at + C₃ ⇒ |p − π| = e^−at+C3 = e^C3· e^−at = Ce^−at.

I ostatecznie:

π(t) = p −Ce^−at(moduł mogliśmy opuścić, bo C może być ujemne) .

Warto zauważyć, że lim

t→∞π(t) = p, skąd można wyciągnąć wniosek, że jeśli stopa inflacji jest stała przez dłuższy czas, to oczekiwania inflacyjne społeczeństwa zaczną się pokrywać z faktyczną stopą inflacji (o ile model Friedmana jest prawdziwy).

Równania o zmiennych rozdzielonych - przykład (model Friedmana)

ln |p − π| = −at + C₃ ⇒ |p − π| = e^−at+C3 = e^C3· e^−at = Ce^−at.

I ostatecznie:

π(t) = p −Ce^−at(moduł mogliśmy opuścić, bo C może być ujemne) .

Warto zauważyć, że lim

t→∞π(t) =

p, skąd można wyciągnąć wniosek, że jeśli stopa inflacji jest stała przez dłuższy czas, to oczekiwania inflacyjne społeczeństwa zaczną się pokrywać z faktyczną stopą inflacji (o ile model Friedmana jest prawdziwy).

Równania o zmiennych rozdzielonych - przykład (model Friedmana)

ln |p − π| = −at + C₃ ⇒ |p − π| = e^−at+C3 = e^C3· e^−at = Ce^−at.

I ostatecznie:

π(t) = p −Ce^−at(moduł mogliśmy opuścić, bo C może być ujemne) .

Warto zauważyć, że lim π(t) = p, skąd można wyciągnąć wniosek,

Równania o zmiennych rozdzielonych - przykład (model Friedmana)

ln |p − π| = −at + C₃ ⇒ |p − π| = e^−at+C3 = e^C3· e^−at = Ce^−at.

I ostatecznie:

π(t) = p −Ce^−at(moduł mogliśmy opuścić, bo C może być ujemne) .

Warto zauważyć, że lim

t→∞π(t) = p, skąd można wyciągnąć wniosek, że jeśli stopa inflacji jest stała przez dłuższy czas, to oczekiwania inflacyjne społeczeństwa zaczną się pokrywać z faktyczną stopą

Stałe w rozwiązaniach równań różniczkowych - uwaga techniczna

Zauważmy, że w rozwiązanym przykładzie pojawiło się wiele stałych:

C₁, C₂, C₃ itd., a na końcu miała znaczenie tylko stała C , z tych stałych powstająca.

Jakkolwiek ten zapis formalnie jest jedynym poprawnym, to w praktyce równań różniczkowych przyjęło się oznaczać wszystkie stałe jako C np. w zapisie wyniku e^C możemy zastąpić przez C bez utraty ogólności rozwiązania. Podobnie, gdy obliczamy całki po obydwu stronach równości (jak w procedurze rozwiązywania równań o zmiennych rozdzielonych), wystarczy by stałą zapisać po jednej stronie (bo i tak można jedną z nich odjąć stronami). Do tej konwencji odtąd będę się stosować.

Stałe w rozwiązaniach równań różniczkowych - uwaga techniczna

Zauważmy, że w rozwiązanym przykładzie pojawiło się wiele stałych:

C₁, C₂, C₃ itd., a na końcu miała znaczenie tylko stała C , z tych stałych powstająca. Jakkolwiek ten zapis formalnie jest jedynym poprawnym, to w praktyce równań różniczkowych przyjęło się oznaczać wszystkie stałe jako C np. w zapisie wyniku e^C możemy zastąpić przez C bez utraty ogólności rozwiązania.

Podobnie, gdy obliczamy całki po obydwu stronach równości (jak w procedurze rozwiązywania równań o zmiennych rozdzielonych), wystarczy by stałą zapisać po jednej stronie (bo i tak można jedną z nich odjąć stronami). Do tej konwencji odtąd będę się stosować.

Stałe w rozwiązaniach równań różniczkowych - uwaga techniczna

Zauważmy, że w rozwiązanym przykładzie pojawiło się wiele stałych:

C₁, C₂, C₃ itd., a na końcu miała znaczenie tylko stała C , z tych stałych powstająca. Jakkolwiek ten zapis formalnie jest jedynym poprawnym, to w praktyce równań różniczkowych przyjęło się oznaczać wszystkie stałe jako C np. w zapisie wyniku e^C możemy zastąpić przez C bez utraty ogólności rozwiązania. Podobnie, gdy obliczamy całki po obydwu stronach równości (jak w procedurze rozwiązywania równań o zmiennych rozdzielonych), wystarczy by stałą zapisać po jednej stronie (bo i tak można jedną z nich odjąć

Do tej konwencji odtąd będę się stosować.