PRAWDOPODOBIE ´ NSTWO BLOKADY W 3-SEKCYJNYCH POLACH KOMUTACYJNYCH Z POŁ ˛ ACZENIAMI ROZGAŁ ˛ E ´ ZNYMI ∗

2004

Poznańskie Warsztaty Telekomunikacyjne Poznań 9 - 10 grudnia 2004 Sławomir Hanczewski, Maciej Stasiak

Politechnika Pozna´nska

Instytut Elektroniki i Telekomunikacji ul. Piotrowo 3A, 60-965 Pozna´n, Polska e-mail:(stasiak,shancz)@et.put.poznan.pl

PRAWDOPODOBIE ´ NSTWO BLOKADY W 3-SEKCYJNYCH POLACH KOMUTACYJNYCH Z POŁ ˛ ACZENIAMI ROZGAŁ ˛ E ´ ZNYMI ^∗

Streszczenie: W artykule została przedstawiona przybli˙zo- na metoda oblicze ´n prawdopodobie ´nstwa blokady punkt- grupa w 3-sekcyjnych polach komutacyjnych obsługuj ˛ acych ruch rozgał˛e´zny. Porównanie rezultatów oblicze ´n analitycz- nych z danymi symulacji potwierdziło prawidłowo´s´c przy- j˛etych zało˙ze ´n teoretycznych i zadawalaj ˛ ac ˛ a dokładno´s´c proponowanej metody. Zatem mo˙ze ona zosta´c wykorzy- stana do analizy i projektowania pól komutacyjnych z poł ˛ aczeniami typu multicast.

1. W ST ˛ EP

Stosowane obecnie w w˛ezłach sieci telekomuni- kacyjnych pola komutacyjne musz ˛ a spełnia´c okre´slone wymagania, m.in. powinny posiada´c zarówno mo˙zliwo´s´c zestawiania poł ˛ acze´n typu unicast (punkt – punkt), jak i multicast (punkt – wielopunkt). Poł ˛ aczenia typu multicast umo˙zliwiaj ˛ a realizacj˛e wielu nowych usług telekomu- nikacyjnych, np. telekonferencji, dystrybucji sygnałów wideo, rozproszonego przetwarzania danych itp.

Prace nad okre´sleniem blokady w polach komuta- cyjnych realizuj ˛ acych poł ˛ aczenia typu multicast podj˛eto dopiero w latach 90-tych. W [1] opracowano metod˛e, w której obliczenia prawdopodobie´nstwa blokady punkt- wielopunkt sprowadzono do oblicze´n prawdopodobie´n- stwa blokady punkt-punkt poprzez dodanie w polu ko- mutacyjnym dodatkowej sekcji. W modelu zaproponowa- nym w [2] do oblicze´n prawdopodobie´nstwa blokady w polach z poł ˛ aczeniami typu multicast wykorzystano zmo- dyfikowan ˛ a metod˛e Jacobaeusa [3]. Natomiast w pracy [4] zaproponowano metod˛e, w której do modelowania pól z ruchem typu multicast wykorzystano modyfikacj˛e metody grafów kanałowych (prawdopodobie´nstwowych) opracowan ˛ a przez Lee [5] i Le Galla [6]. Ponadto w pracach [7], [8] rozwa˙zano kombinatoryczne wła´sciwo´sci i warunki nieblokowalno´sci dla pól komutacyjnych z poł ˛ aczeniami typu multicast.

Za najbardziej dokładne metody oceny prawdopo- dobie´nstwa blokady w wielosekcyjnych polach komu- tacyjnych – potwierdzone licznymi badaniami symula- cyjnymi – uwa˙za si˛e metody efektywnej dost˛epno´sci, zapocz ˛ atkowane pracami [9], [10] i kontynuowane m.in.

w [11], [12]. W modelach [13] oraz [14] metod˛e efek- tywnej dost˛epno´sci zaproponowano do oblicze´n prawdo-

∗

Praca wykonana w ramach Grantu KBN 4 T11D 020 22, umowa nr 1551/T11/2002/22.

podobie´nstwa blokady w wielousługowych polach ko- mutacyjnych z poł ˛ aczeniami typu unicast i multicast.

Zastosowanie tej metody do oblicze´n pól realizuj ˛ acych jednokanałowe poł ˛ aczenia o jednakowej przepływno´sci jest jednak nieefektywne z powodu du˙zej zło˙zono´sci obli- czeniowej wykorzystywanych w metodzie modeli wi ˛ azek wyj´sciowych pola komutacyjnego.

W artykule została przedstawiona przybli˙zona me- toda oblicze´n prawdopodobie´nstwa blokady punkt-grupa w 3-sekcyjnych polach komutacyjnych obsługuj ˛ acych jednokanałowy ruch rozgał˛e´zny. Działanie metody zi- lustrowano na przykładzie pola Closa zbudowanego z komutatorów 16×16. W rozwa˙zanym polu rozgał˛ezienie poł ˛ aczenia było realizowane przez komutatory drugiej sekcji.

Pola komutacyjne Closa s ˛ a wykorzystywane w ró˙z- nego rodzaju systemach komutacyjnych. W szeregu praca (na przykład w [15] lub [16]) autorzy proponuj ˛ a wy- korzystanie takiej struktury pola w systemach komuta- cji optycznej czy OBS (ang. Opitical Burst Switching [17]). Komutacja OBS ł ˛ aczy zalety optycznej komutacji kanałów i optycznej komutacji pakietów. OBS jest tech- nik ˛ a przesyłania ró˙znej długo´sci grup (paczek, zbitek) pakietów (ang. burst) przez optyczn ˛ a sie´c szkieletow ˛ a.

Na czas przesłania grupy pakietów zestawiane jest w sieci poł ˛ aczenie (rezerwowane s ˛ a zasoby sieci na czas trwania jednej grupy pakietów). Niezwykle wa˙zn ˛ a cech ˛ a komutacji OBS jest brak optycznych buforów. Tak wi˛ec, proponowana w artykule metoda mo˙ze zosta´c wykorzy- stana do projektowania i analizy w˛ezłów sieci OBS.

2. M ODEL POLA KOMUTACYJNEGO Z POŁ ˛ ACZENIAMI ROZGAŁ ˛ E ´ ZNYMI

Rozwa˙zmy trzysekcyjne pole komutacyjne Closa.

Ł ˛ acza wyj´sciowe pola tworz ˛ a wi ˛ azki (kierunki) w ten sposób, ˙ze pierwsze ł ˛ acze wyj´sciowe pierwszego komu- tatora trzeciej sekcji i pierwsze ł ˛ acze wyj´sciowe drugiego komutatora trzeciej sekcji, itd., nale˙z ˛ a do tego samego kierunku. Oznacza to, i˙z wszystkie wi ˛ azki maj ˛ a identycz- n ˛ a pojemno´s´c, równ ˛ a liczbie komutatorów trzeciej sekcji.

Na rysunku 1. przedstawiono sposób realizacji wi ˛ azek wyj´sciowych o pojemno´sci V = 4 ł ˛ aczy w trzysekcyj- nym polu komutacyjnym zbudowanym z komutatorów 4 × 4.

Zgłoszenia typu multicast pojawiaj ˛ ace si˛e na wej-

´sciu pola komutacyjnego opisane s ˛ a za pomoc ˛ a dwóch

parametrów: liczby ˙z ˛ adanych kierunków qi (gdzie i jest numerem klasy zgłoszenia) oraz zbioru ˙z ˛ adanych Qi.





      

α

β γ

Rys. 1. Struktura trzysekcyjnego pola Closa zbudowanego z komutatorów 4 × 4

2.1 Algorytm zestawiania poł ˛ acze´n rozgał˛e´znych Model analityczny został opracowany dla nast˛e- puj ˛ acego algorytmu zestawiania poł ˛ acze´n rozgał˛e´znych:

urz ˛ adzenie steruj ˛ ace polem sprawdza, na wej´sciu którego komutatora pierwszej sekcji pojawia si˛e nowe zgłoszenie (komutator α - rysunek 1). Nast˛epnie okre´sla zbiór K

f

składaj ˛ acy si˛e z komutatorów drugiej sekcji, które mo- g ˛ a zosta´c wykorzystane do obsługi nowego zgłoszenia.

Komutator drugiej sekcji b˛edzie nale˙zał do zbioru K

f

, je˙zeli spełnia nast˛epuj ˛ ac ˛ a zale˙zno´s´c:

q

i

≤ m − X

M

j=1

x

j

q

j

, (1)

gdzie:

m jest liczb ˛ a wyj´s´c komutatora drugiej sekcji;

M jest liczb ˛ a klas zgłosze´n obsługiwanych przez pole komutacyjne;

x

j

jest liczb ˛ a zgłosze´n klasy j obsługiwanych przez rozwa˙zany komutator drugiej sekcji;

q

j

jest liczb ˛ a ˙z ˛ adanych kierunków przez zgłoszenia klasy j.

Je˙zeli zbiór K

_f

jest zbiorem pustym to zgłosze- nie zostaje odrzucone z powodu blokady komutatorów drugiej sekcji. W przeciwnym razie urz ˛ adzenie steruj ˛ ace wybiera jeden komutator z tego zbioru (komutator β - rysunek 1) i sprawdza ł ˛ acze pomi˛edzy komutatorem α a wybranym komutatorem β. Je˙zeli ł ˛ acze jest zaj˛ete, zostaje wybrany inny komutator ze zbioru K

f

(nowy komutator β) i urz ˛ adzenie steruj ˛ ace ponownie sprawdza ł ˛ acze pomi˛edzy par ˛ a komutatorów α −β. Je˙zeli, pomimo sprawdzenia wszystkich komutatorów ze zbioru K

f

nie udało si˛e znale´z´c wolnego ł ˛ acza, wówczas zgłoszenie zostaje odrzucone z powodu blokady ł ˛ aczy mi˛edzy sek- cjami pierwsz ˛ a i drug ˛ a. Po zestawieniu ´scie˙zki pomi˛edzy komutatorami α i β, urz ˛ adzenie steruj ˛ ace polem próbuje kolejno zestawi´c q

_i

´scie˙zek składowych nale˙z ˛ acych do zgłoszenia klasy i. Ka˙zda ´scie˙zka składowa jest zesta- wiana pomi˛edzy komutatorem β a jednym z ˙z ˛ adanych przez zgłoszenie kierunkiem. Ka˙zda ´scie˙zka składowa zestawiana jest zgodnie z nast˛epuj ˛ ac ˛ a procedur ˛ a: urz ˛ a- dzenie steruj ˛ ace pole okre´sla zbiór K

_3u

(u - numer kolejnego kierunku) komutatorów trzeciej sekcji pola,

które posiadaj ˛ a wolne ł ˛ acza wyj´sciowe w rozwa˙zanym kierunku a nast˛epnie wybiera jeden komutator z tego zbioru (komutator γ) i próbuje zestawi´c ´scie˙zk˛e składow ˛ a w u-tym kierunku poprzez komutator γ. Je˙zeli próba nie powiedzie si˛e, zostaje wybrany nowy komutator γ z zbioru K

_3u

i nast˛epuje druga próba zestawienia ´scie˙zki składowej. Je˙zeli po sprawdzeniu wszystkich komutato- rów ze zbioru K

_3u

, nie uda si˛e zestawi´c ´scie˙zki w u- tym kierunku, zgłoszenie zostaje odrzucone z powodu blokady ł ˛ aczy pomi˛edzy sekcjami drug ˛ a a trzeci ˛ a. Je˙zeli natomiast zbiór K

_3u

jest pusty, to zgłoszenie jest tracone z powodu blokady u-tej wi ˛ azki wyj´sciowej.

2.2 Blokada komutatorów drugiej sekcji

Zgodnie z przyj˛etym algorytmem, rozgał˛ezienie po- ł ˛ acze´n typu multicast realizowane jest w drugiej sekcji pola komutacyjnego. Je˙zeli w danym stanie pola nie istnieje ani jeden komutator spełniaj ˛ acy nowego ˙z ˛ adania zgłoszenia (1) to jest ono tracone ze wzgl˛edu na blokad˛e komutatorów drugiej sekcji. Wi ˛ azka tworzona przez wyj-

´scia komutatorów drugiej sekcji pola została pokazana na rysunku 2. Wi ˛ azka ta mo˙ze by´c rozwa˙zana jako wi ˛ azka z ograniczon ˛ a dostepno´sci ˛ a i ruchem zintegrowanym, obsługuj ˛ aca mieszanin˛e ró˙znych strumieni zgłosze´n.





 









Rys. 2. Wi ˛ azka ł ˛ aczy wyj´sciowych komutatorów drugiej sekcji

Wi ˛ azka z ograniczon ˛ a dost˛epno´sci ˛ a jest podzielona na k identycznych podgrup a ka˙zda podgrupa ma po- jemno´s´c f kanałów. Całkowita pojemno´s´c takiej wi ˛ azki wynosi V = kf . Wi ˛ azka mo˙ze obsłu˙zy´c zgłoszenie wy- ł ˛ acznie wtedy, gdy mo˙ze by´c ono całkowicie obsłu˙zone przez przez kanały nale˙z ˛ ace do jednej podgrupy.

Wi ˛ azki z ograniczon ˛ a dost˛epno´sci ˛ a były przedmio- tem licznych bada´n. Przybli˙zona metoda wyznaczania rozkładu zaj˛eto´sci w wi ˛ azce z ograniczon ˛ a dost˛epno-

´sci ˛ a została zaproponowana w pracy [18]. Zgodnie z t ˛ a metod ˛ a rozkład zaj˛eto´sci w wi ˛ azce mo˙ze by´c wy- znaczony na podstawie uogólnionego wzoru Kaufmana–

Robertsa [19], [20], [21]:

nP (n) = X

M

i=1

a

i

q

i

σ

i

(n − q

i

) P (n − q

i

) , (2)

gdzie:

P (n) jest prawdopodobie´nstwem zaj˛eto´sci w wi ˛ azce n kanałów;

a

_i

jest ruchem oferowanym przez zgłoszenia klasy i;

σ

i

(n) jest warunkowym prawdopodobie´nstwem przej-

´scia, które mo˙ze by´c aproksymowane nast˛epuj ˛ ac ˛ a zale˙z- no´sci ˛ a:

σ

i

(n) = F (V − n, k, f ) − F (V − n, k, q

i

− 1) F (V − n, k, f ) , (3) gdzie F (x, k, f ) jest liczb ˛ a mo˙zliwych rozmieszcze´n x wolnych kanałów w k podgrupach, z których ka˙zda ma pojemno´s´c f kanałów. Warto´s´c F (x, k, f ) wyznacza si˛e na podstawie nast˛epuj ˛ acego wzoru kombinatorycznego:

F (x, k, f ) = b X

f +1^x

c

i=0

(−1)

ⁱ

µ k

i

¶µ x + k − 1 − i (f + 1) k − 1

¶

(4) Prawdopodobie´nstwo blokady zgłosze´n klasy i w wi ˛ azce z ograniczon ˛ a dost˛epno´sci ˛ a wyznacza si˛e z za- le˙zno´sci:

B

K2

(i) =

V −q

X

i

n=0

P (n)[1 − σ

i

(n)] + X

V

n=V −qi+1

P (n). (5)

2.3 Blokada ł ˛ aczy mi˛edzy sekcjami 1 i 2

Je˙zeli zbiór K

f

zawiera przynajmniej jeden ele- ment, urz ˛ adzenie steruj ˛ ace polem sprawdza czy istniej ˛ a wolne ł ˛ acza pomi˛edzy komutatorem α a komutatorami nale˙z ˛ acymi do tego zbioru. Je´sli wszystkie ł ˛ acza s ˛ a zaj˛e- te, nowe zgłoszenie zostaje odrzucone z powodu blokady ł ˛ aczy pomi˛edzy sekcj ˛ a pierwsz ˛ a i drug ˛ a. Warto´s´c tego prawdopodobie´nstwa mo˙ze zosta´c wyznaczona według nast˛epuj ˛ acego rozumowania:

´Srednia liczba komutatorów, spełniaj ˛acych warunki nowego zgłoszenia (´srednia liczba komutatorów drugiej sekcji nale˙z ˛ acych do zbioru K

_f

) mo˙ze by´c wyra˙zona wzorem:

m(i) = bk − (1 − B

K2

(i))c, (6) gdzie k jest liczb ˛ a komutatorów drugiej sekcji.

Zdarzenie blokady wyst˛epuje wtedy, gdy wszystkie ł ˛ acza wyj´sciowe komutatora α prowadz ˛ ace do komutato- rów ze zbioru K

_f

s ˛ a zaj˛ete. Zatem, prawdopodobie´nstwo blokady B

₁₂

(i) zgłosze´n rozgał˛e´znych klasy i mo˙ze by´c wyznaczone ze wzoru Palma-Jacobaeusa:

B

12

(i) = E

k

(A

1

)

E

k−mi

(A

1

) , (7) Parametr A

₁

jest ´srednim ruchem oferowanym jed- nemu komutatorowi pierwszej sekcji.

2.4 Blokada wewn˛etrzna i zewn˛etrzna

Zgłoszenie typu multicast klasy i zostaje odrzucone z powodu blokady wewn˛etrznej lub zewn˛etrznej, je˙zeli cho´c jedno spo´sród q

_i

poł ˛ acze´n typu unicast (´scie˙zka składowa), wchodz ˛ acych w skład danego poł ˛ aczenia nie mo˙ze zosta´c zestawione. Przy tak sformułowanej definicji prawdopodobie´nstwo blokady wewn˛etrznej i zewn˛etrznej

mo˙zna oszacowa´c na podstawie nast˛epuj ˛ acego rozumo- wania [14]:

Oznaczmy zestawienie u-tej ´scie˙zki składowej po- ł ˛ aczenia rozgał˛e´znego klasy i symbolem Q

_u

. Prawdo- podobie´nstwo blokady poł ˛ aczenia typu multicast mo˙zna wyrazi´c nast˛epuj ˛ ac ˛ a zale˙zno´sci ˛ a:

B

w,z

(i) = P Ã

_q

[

i

u=1

Q

u

!

, (8)

gdzie Q

_u

jest zdarzeniem przeciwnym do Q

_u

.

Tak wi˛ec parametr B

_w,z

(i) jest prawdopodobie´n- stwem zdarzenia, ˙ze próba zestawienia cho´c jednej ´scie˙z- ki składowej (spo´sród q

_i

) nie powiodła si˛e. Zgodnie z podstawowymi stwierdzeniami teorii prawdopodobie´n- stwa dotycz ˛ acymi sumy zdarze´n, wzór (8) mo˙ze zosta´c przekształcony do nast˛epuj ˛ acej postaci:

B

w,z

(i) = 1 −

qi

Y

u=1

[1 − B

u

(i)], (9)

gdzie

B

u

(i) = P (Q

u

¯ ¯

¯ ¯

u−1

\

n=1

Q

n

). (10)

Prawdopodobie´nstwo B

_u

(i) jest prawdopodobie´n- stwem warunkowym. Okre´sla ono zdarzenie, w którym próba zestawienia u-ej ´scie˙zki składowej (1 ≤ u ≤ q

_i

) nie powiodła si˛e pod warunkiem, ˙ze poprzednie u − 1

´scie˙zki składowe zostały zestawione. Parametr B

u

mo˙ze zosta´c okre´slony na podstawie zmodyfikowanego mode- lu [12], który został opracowany dla pól komutacyjnych z poł ˛ aczeniami typu unicast.

W metodach efektywnej dost˛epno´sci obliczenia prawdopodobie´nstwa blokady wewn˛etrznej i zewn˛etrznej w wielosekcyjnym polu komutacyjnym sprowadzaj ˛ a si˛e do oblicze´n tego prawdopodobie´nstwa w układzie jedno- sekcyjnym - wi ˛ azce niedoskonałej. Wi ˛ azk˛e t˛e wygodnie jest aproksymowa´c rozkładem Erlanga dla idealnej wi ˛ az- ki niedoskonałej [22]:

p(i) =

Aⁱ i!

Q

_i−1

k=0



 

1 −





k d









V d







 



P

_V

j=0Aⁱ i!



 

1 −





k d









V d







 



(11)

gdzie d jest dost˛epno´sc ˛ a w idealnej wi ˛ azce niedoskonałej o pojemno´sci V i ´srednim ruchu oferowanym A.

Zdarzenie blokady wewn˛etrznej wyst˛epuje wów-

czas, gdy w danym stanie pola nie ma wolnych ł ˛ aczy

pomi˛edzy komutatorem β a wolnymi ł ˛ aczami w rozwa˙za-

nym kierunkiem. Natomiast zdarzenie blokady zewn˛etrz-

nej wyst˛epuje wówczas, gdy wszystkie ł ˛ acza w u-tym

kierunku s ˛ a zaj˛ete. Zgodnie z metod ˛ a rozdzielonych strat

otrzymujemy:

B

u,w

= EIF

w

(A

u

, V

u

, d

u,e

(i)) = (12)

=

V

X

u−1

j=du,e(i)

µµ j d

u,e

(i)

¶ Á µ V

_u

d

u,e

(i)

¶¶

p(j),

B

u,z

(i) = EIF

ex

(A

u

, V

u

, d

u,e

) = p(V

u

), (13) B

u

(i) = B

u,w

(i) + B

u,z

(i), (14) gdzie:

B

_u,w

(i) - prawdopodobie´nstwo blokady wewn˛etrznej u-tej ´scie˙zki składowej poł ˛ aczenia rozgał˛e˙znego klasy i, B

u,z

(i) - prawdopodobie´nstwo blokady zewn˛etrznej u-tej ´scie˙zki składowej poł ˛ aczenia rozgał˛e˙znego klasy i, A

u

- ruch oferowany u-temu kierunkowi,

V

u

- pojemno´s´c u-tej wi ˛ azki wyj´sciowej, d

u,e

(i) - efektywna dost˛epno´s´c.

2.5 Efektywna dost˛epno´s´c

Rozwa˙zmy sposób wyznaczenia parametru efek- tywnej dost˛epno´sci d

e,u

(i) dla u-tej kolejnej ´scie˙zki składowej zestawianej pomi˛edzy komutatorem β a ko- mutatorami trzeciej sekcji. Komutator β, w którym re- alizowane jest rozgał˛ezienie poł ˛ aczenia klasy i posiada q

i

wolnych wyj´s´c (rysunek 3). Liczba wolnych ł ˛ aczy wyj´sciowych b˛edzie si˛e zmniejsza´c w miar˛e zestawiania kolejnych ´scie˙zek składowych. Je˙zeli oznaczymy ruch obsługiwany przez pozostałe k − q

_i

ł ˛ aczy wyj´sciowych komutatora β jako y

₂₃

, to ´srednia liczba wolnych ł ˛ aczy w tej grupie jest równa (k −q

_i

)(1−y

23

). Poniewa˙z ka˙zda udana próba zestawienia ´scie˙zki składowej prowadzi do zmniejszenia o jeden liczb˛e dost˛epnych ł ˛ aczy, zatem parametr d

_u,e

(i) dla u-tej ´scie˙zki składowej mo˙ze by´c wyra˙zony za pomoc ˛ a nast˛epuj ˛ acego wzoru:

d

u,e

(i) = q

i

− u + 1 + (k − q

i

)(1 − y

23

), (15) gdzie k jest liczba komutatorów trzeciej sekcji.

− 1 u

qi

) )(

(k−q_i 1 y− ₂₃



























Rys. 3. Efektywna dost˛epno´s´c dla poł ˛ acze´n rozgał˛e´znych

2.6 Wyznaczenie blokady całkowitej

Zakładaj ˛ ac niezale˙zno´s´c zdarze´n blokady w po- lu komutacyjnym, warto´s´c prawdopodobie´nstwa blokady całkowitej mo˙zna wyznaczy´c ze wzoru:

B

c

(i) = B

K₂

(i) + B

12

(i)(1 − B

K₂

(i)) + + B

w,z

(i)(1 − B

K2

(i) − B

12

(i)). (16) 3. P ORÓWNANIE MODELU ANALITYCZNEGO Z

REZULTATAMI SYMULACJI

Metoda analityczna oblicze´n prawdopodobie´nstwa blokady punkt-grupa w polach komutacyjnych z poł ˛ a- czeniami typu multicast, która została przedstawiona w rozdziale 2 jest metod ˛ a przybli˙zon ˛ a. Zachodzi wi˛ec ko- nieczno´s´c jej weryfikacji poprzez porównanie rezultatów oblicze´n analitycznych z danymi symulacji. Obliczenia i symulacja dotyczyły przykładowego, trzysekcyjnego pola komutacyjnego o strukturze przedstawionej na ry- sunku 1., zbudowanego z komutatorów 16 × 16 ł ˛ aczy (k = 16).

Na rysunku 4 przedstawiono rezultaty oblicze´n i symulacji dla pola komutacyjnego, któremu oferowany jest jeden strumie´n zgłosze´n typu multicast. Przyj˛eto, ˙ze ka˙zde zgłoszenie ˙z ˛ ada q = 9 dowolnych kierunków.

Na rysunku 5 przedstawiono rezultaty dla pola ko- mutacyjnego, któremu oferowana jest mieszanina dwóch strumieni zgłosze´n, jednego typu unicast (q

1

= 1) i drugiego typu multicast (q

2

= 4). Zało˙zono, ˙ze udział poszczególnych ruchów jest jednakowy, tj. s ˛ a one ofero- wane w proporcji: A(1) : A(2) = 1 : 1.

Rysunek 6 przedstawia rezultaty oblicze´n i symu- lacji w polu komutacyjnym, któremu oferowana jest mieszanina dwóch strumieni zgłosze´n (q

₁

= 1 i q

2

= 15) w proporcji: A(1) : A(2) = 1 : 1.

Na rysunkach 4 - 6 wyniki zostały przedstawione w zale˙zno´sci od ruchu oferowanego na jedno ł ˛ acze wyj-

´sciowe pola:

a = 1 k

²

X

M

i=1

q

i

A(i). (17)

Na rysunkach liniami ci ˛ agłymi zostały zaznaczone rezultaty oblicze´n, natomiast punktami oznaczone zostały wyniki symulacji. Badania symulacyjne uwzgl˛edniały 95% przedział ufno´sci, który nie został przedstawiony na wykresach ze wzgl˛edu ma jego mał ˛ a warto´s´c.

0,1 1

0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 1 1,1 1,2 1,3 1,4 1,5 B

a

a

Rys. 4. Prawdopodobie´nstwo blokady poł ˛ acze´n rozgał˛e´znych

Calculations: —— q

1

= 9; Simulations: ¦¦¦ q

1

= 9.

0,001 0,01 0,1 1

0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 1 1,1 1,2 1,3 1,4 1,5

a B

B

a

Rys. 5. Blocking probability of unicast and multicast calls (q

1

= 1, q

2

= 4). Calculations: —— q

1

= 1; – – – q

2

= 4.

Simulations: ¦ ¦¦ q

1

= 1; × × × q

2

= 4.

1,00E-06 1,00E-05 1,00E-04 1,00E-03 1,00E-02 1,00E-01 1,00E+00

0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 1 1,1 1,2 1,3 1,4 1,5

a

B

B

a

Rys. 6. Blocking probability of unicast and multicast calls (q

1

= 1, q

2

= 15). Calculations: —— q

1

= 1; – – – q

2

= 15.

Simulations: ¦ ¦¦ q

1

= 1; × × × q

2

= 15.

Porównanie danych symulacji z obliczeniami anali- tycznymi prawdopodobie´nstwa blokady dla ruchu rozga- ł˛e´znego w trzysekcyjnym polu komutacyjnym potwierdza dokładno´s´c proponowanego modelu.

4. P ODSUMOWANIE

W artykule przedstawiono metod˛e przybli˙zon ˛ a ob- licze´n, która pozwala na ocen˛e warto´sci prawdopodo- bie´nstwa blokady punkt-grupa w trzysekcyjnych polach komutacyjnych obsługuj ˛ acych mieszanin˛e strumieni jed- nakanałowego ruchu typu unicast oraz multicast. Propo- nowany model opiera si˛e na koncepcji efektywnej dost˛ep- no´sci i charakteryzuje si˛e du˙z ˛ a dokładno´sci ˛ a. Dokładno´s´c metody jest niezale˙zna od wielko´sci pola oraz struktury ruchu oferowanego. Metoda została zaproponowana dla pól trzysekcyjnych, jednak mo˙ze by´c w prosty sposób dostosowana do pól komutacyjnych o wi˛ekszej liczbie sekcji.

Obliczenia przeprowadzane zgodnie z przedstawio- nymi w metodzie ustaleniami nie s ˛ a skomplikowane. Po- legaj ˛ a na przeprowadzeniu du˙zej liczby oblicze´n ujedno- liconego typu. W zwi ˛ azku z tym proces obliczeniowy jest łatwo programowalny. Przedstawion ˛ a w artykule metod˛e

oblicze´n mo˙zna wykorzysta´c do analizy i projektowania pól komutacyjnych z poł ˛ aczeniami typu multicast.

SPIS LITERATURY

[1] Zegura, E.: Evaluating blocking probability in generalized con- nectors. In: IEEE/ACM Trans. Networking, 3, (1995) 387–398.

[2] Listani, M., Veltri, L.: Blocking probability of 3-stage multicast switches. In: Proc. of IEEE International Conference on Com- munications (1998) S18.P.1–S18.P.7

[3] Jacobaeus, C.: A study on congestion in link-systems. Ericsson Technics. No.48 (1950) 1–68

[4] Yang, Y., Wang, J.: A more accurate analytical model on blocking probability of multicast networks. IEEE Transactions on Communications. 48 (2000) 1930–1936

[5] Lee, C.Y. : Analysis of switching networks. Bell Systems Technical Jornal. 34 (1955) 1287–1315

[6] Le Gall,P. : Etude du blocage dans les systemes de commutation telephonique automatique utilisant des commutateurs electroniqu- es de type Crossbar,. Ann. Telecommun., 11 (1956), p. 180.

[7] Yang, Y., Masson, M.: Nonblocking broadcast switching network.

IEEE Transactions on Computers 40 (1991) 1005–1015 [8] Kabaci´nski, W., Danilewicz, G.: Wide sense nonblocking 3-stage

multirate Clos switching networks with multicast connections - new upper bounds. Proceedings of 3rd IEEE International Workshop on Broadband Switching Systems, Kingston, Ontario, Canada (1999) 75–79

[9] Bininda, N., Wendt, W.: Die effektive Erreichbarkeit für Abneh- merbundel hinter Zwischenleitungsanungen. Nachrichtentechni- sche Zeitschricht 11, (1959) 579–585

[10] Charkiewicz, A.D.: An approximate method for calculating the number of junctions in crossbar system exchange. Elektrosvyaz.

2 (1959) 55–63

[11] Lotze, A.: Bericht uber verkehrtheoretische untersuchungen CIRB. Inst. fur nachrichtenvermittlung und datenverarbeitung der technischen hochschule, Univ. of Stuttgart, 2 (1963) 1–42 [12] Ershova, E.B., Ershov, V.A.: Cifrowyje sistiemy raspriedielenia

informacji. Radio i swiaz, Moskwa, (1983)

[13] Stasiak, M., Zwierzykowski, P.: Point-to-Point Blocking Probabi- lity in the Switching Networks with Unicast and Multicast Traffic Streams. Proc. IEEE Int. Conf. Commun. ICC’2001, Helsinki, Finland, 8(2001), 2608–2612.

[14] Stasiak, M., Zwierzykowski, P.: Point-to-group blocking in the switching networks with unicast and multicast switching.

Performance Evaluation. 48 (2002) 249–267

[15] Chao H., Jing Z.,Deng K.: Packet Scheduling for a 3-stage Clos-Network Photonic Switch. Proc. IEEE Int. Conf. Commun.

ICC’2003, Anchorage Alaska, USA. (2003)

[16] Oki E., Yamanaka N., Nakai K., Matsuura N.: Multi-Stage Switching System Using Optical WDM Grouped Links Based on Dynamic Bandwidth Sharing. IEEE Communications Magazine 41 (2003) 65–63

[17] Qiao C., Yoo M.: Optical Burst Switching - A New Paradigm for an Optical Internet. ournal of High Speed Networks, Special Issue on Optical Networks 8 (1999) 69–84

[18] Stasiak, M.: Blocking probability in a limited-availability group carrying mixture of different multichannel traffic streams. Ann.

des Télécomm. 48 (1993) 71–76

[19] Beshai, M., Manfield, D.: Multichannel services performance of switching networks. In: Proc. 12th ITC, Torino, Italy (1988) p.5.1A.7

[20] Stasiak, M.: An approximate model of a switching network carrying mixture of different multichannel traffic streams. IEEE Trans. on Commun. 41 (1993) 836–840

[21] Ross, K.: Multiservice Loss Models for Broadband Telecommu- nication Network. Springer Verlag, London, UK (1995) [22] Brockmeyer, E., Halstrom, H., Jensen, A.: The life and works of

A. K. Erlang. Acta Polytechnica Scandinavica, No. 287, . (1960)