Rachunek Prawdopodobie´nstwa,
Lista zada´n #3: Prawdopodobie´nstwo warunkowe i ca lkowite
Zad.1 Obliczy´c niezawodno´s´c uk ladu z lo˙zonego z dw´och przeka´znik´ow po l¸aczonych r´ownolegle, przy za lo˙zeniu, ˙ze przeka´zniki dzia laj¸a niezale˙znie i niezawodno´s´c ka˙zdego z nich wynosi p.
Zad.2 Trzej strzelcy strzelaj¸a do butelki. Butelka zostaje zbita jedn¸a kul¸a. Jakie jest prawdopodobie´nstwo, ˙ze zbi l j¸a pierwszy ze strzelc´ow, skoro trafiaj¸a oni z prawdopo- dobie´nstwami odpowiednio: 0.3, 0.8, 0.4.
Zad.3 Test na rzadk¸a chorob¸e, kt´or¸a dotkni¸eta jest ´srednio jedna osoba na tysi¸ac, daje fa lszyw¸a pozytywn¸a odpowied´z w 5% przypadk´ow (u osoby chorej daje zawsze odpowied´z pozytywn¸a). Jaka jest szansa, ˙ze osoba,u kt´orej test da l odpowied´z pozy- tywn¸a, jest faktycznie chora? Zak ladamy, ˙ze nic nie wiemy o innych mo˙zliwych ob- jawach u badanej osoby.
Zad.4 Wiadomo, ˙ze prawdopodobie´nstwo, i˙z bli´zni¸eta s¸a jednej p lci wynosi ok. 0, 64, przy czym prawdopodobie´nstwo urodzenia si¸e ch lopca wynosi ok. 0, 51. Znale´z´c praw- dopodobie´nstwo, ˙ze drugie z bli´zni¸at jest ch lopcem, je˙zeli wiadomo, ˙ze pierwsze jest ch lopcem.
Zad.5 Fabryki A, B, C produkuj¸a odpowiednio 50%, 20%, 30% og´olnej produkcji
˙zar´owek. Udzia l brak´ow produkcji wynosi: 5%, 2%, 3% produkcji danej fabryki. Jakie jest prawdopodobie´nstwo, ˙ze:
a) losowo wybrana ˙zar´owka jest sprawna,
b) je˙zeli ˙zar´owka jest sprawna, to pochodzi z fabryki A?
Zad.6 Z urny zawieraj¸acej 5 bia lych i 10 czarnych kul wyci¸agamy kolejno bez zwraca- nia 3 kule. Jakie jest prawdopodobie´nstwo wyci¸agni¸ecia trzech bia lych kul?
Zad.7 Do urny zawieraj¸acej n kul, w tym k bia lych, do lo˙zono dwie kule ustalaj¸ac kolor ka˙zdej z nich przez rzut monet¸a: orze l oznacza l bia l¸a kul¸e, reszka - czarn¸a. Oblicz prawdopodobie´nstwo, ˙ze wylosowana z tej urny jedna kula b¸edzie bia la.
Zad.8 Gra polega na tym, ˙ze spo´sr´od dw´och urn losujemy jedn¸a, nast¸epnie wyci¸agamy z niej kul¸e. Gdy kula jest bia la, wygrywamy. Przed rozpocz¸eciem gry dano nam 2 bia le i 7 czarnych kul, kt´ore mamy w lo˙zy´c do pustych urn, co najmniej jedn¸a kul¸e do ka˙zdej urny. Jak najkorzystniej roz lo˙zy´c kule w urnach przed gr¸a?
Zad.9 W rz¸edzie jedno za drugim le˙zy N pude lek. Ka˙zde z nich zawiera b kul bia lych oraz c kul czarnych. Losujemy kul¸e z pierwszego pude lka i przek ladamy j¸a do drugiego.
Nast¸epnie losujemy kul¸e z drugiego pude lka i przek ladamy j¸a do trzeciego, itd. Jakie jest prawdopodobie´nstwo, ˙ze z ostatniego pude lka wylosujemy kul¸e bia l¸a?
Zad.10* Wszystkie wyroby wchodz¸ace w sk lad jednej z dw´och partii s¸a dobrej jako´sci, w drugiej z tych partii 1/4 wyrob´ow to braki. Wyr´ob wylosowany z wybranej losowo partii okaza l si¸e dobrej jako´sci. Obliczy´c prawdopodobie´nstwo, ˙ze drugi wyr´ob wzi¸ety z tej samej partii b¸edzie wybrakowany, je˙zeli pierwszy wyr´ob zosta l zwr´ocony po sprawdzeniu do swojej partii.
1
