Jednym z najczęściej stosowanych i najdłuŜej znanych elementów optycznych jest soczewka. MoŜe być uŜywana do skupiania bądź kierowania promieniowania, co pozwala na wykorzystanie jej w ogromnej ilości układów i dla wielu długości fali – od fal radiowych po optyczne. JeŜeli uświadomimy sobie jak szeroki jest zakres jej zastosowań, zrozumiemy dlaczego wokół moŜliwości wykorzystania zjawiska ujemnego załamania fali elektromagnetycznej w celu wytworzenia soczewki idealnej rozpętała się tak Ŝarliwa dyskusja pośród naukowców.
Zjawisko załamania stanowi podstawę istnienia soczewek i odwzorowywania obrazów. KaŜdy materiał o współczynniku załamania innym niŜ współczynnik załamania otoczenia zmienia kierunek biegu fali elektromagnetycznej przy jej przejściu przez granicę tych dwóch ośrodków. Kiedy fala pada na powierzchnię styku dwóch materiałów pod przypadkowym kątem, kierunek rozchodzenia się fali po wejściu do drugiego ośrodka zmienia się o wartość zaleŜną od współczynników załamania obu ośrodków. Ilościowej zaleŜności pomiędzy kątem padania θ1 i załamania θ2 mierzonymi od normalnej do powierzchni padania, oraz współczynnikami załamania obu materiałów n1 i n2 dostarcza prawo Snelliusa (otrzymane przy Ŝądaniu równości fazy fali padającej i przechodzącej)
2 2 1
1sinθ n sinθ
n =
Idealna soczewka płaska
Veselago przewidział [2], Ŝe materiał o jednocześnie ujemnych względnych przenikalnościach równych
−
=
−
= 1 1 r r
µ ε
, (3.20)
będzie wykazywał ujemny współczynnik załamania n=−1, a materiał taki będzie
załamania fali potwierdzono eksperymentalnie [54] a w kolejnych latach zaprojektowane zostały materiały, które umoŜliwiają otrzymanie ujemnych przenikalności elektrycznej [5]−[7], [32] i magnetycznej [6], [7], [32], [97], [98], takŜe przy wykorzystaniu struktur fotonicznych [99]. Zaproponowaną przez Veselago teorię rozwinął Pendry [93], który wykazał, Ŝe jeŜeli warunek (3.20) zostanie spełniony bardzo dokładnie, rozwaŜana soczewka będzie skupiała padające promieniowanie idealnie punkt w punkt23. Sposób na realizację takiej soczewki Pendry dostrzegł w metamateriałach wykonanych po raz pierwszy przez grupę Smith’a [32].
Powszechnie wiadomo, iŜ zdolności skupiające soczewki, a więc rozdzielczość obrazu, ograniczona jest przez długość promieniowania padającego na układ. śadna powszechnie stosowana soczewka nie jest w stanie skupić promienia fali EM na obszarze mniejszym niŜ kwadrat długości fali. WiąŜe się to z faktem, iŜ cała informacja o przedmiocie przenoszona przez falę EM podzielona jest na dwa obszary – bliski i daleki.
Tradycyjne soczewki są w stanie zrekonstruować tylko dalekie składowe pola EM, zaś informacja zawarta w bliskim polu w postaci zanikających fal przypowierzchniowych nie moŜe zostać odtworzona i jest bezpowrotnie tracona, co ma decydujący wpływ na jakość uzyskanego obrazu.
a) b)
Rys. 36 (a) Bieg promieni w płytce z materiału o ujemnym współczynniku załamania;
(b) Płytka z materiału o współczynniku załamania n=-1 załamuje światło pod ujemnym kątem względem normalnej. Światło skupiane jest dwukrotnie: wewnątrz płytki i poza nią.
Według Pendry’ego alternatywą dla tradycyjnej soczewki jest płasko–równoległa płytka z materiału o ujemnym współczynniku załamania (Rys. 36). Światło przechodzące przez płytkę o grubości d2 umieszczoną w odległości d1 od źródła promieniowania jest skupiane w odległości z = d2 – d1 po drugiej stronie płytki. Przenikalność elektryczna i magnetyczna materiału równe są –1 i współczynnik załamania jest ujemny zgodnie z równaniem (1.15). Impedancja ośrodka pozostaje w tym przypadku dodatnia
23 W literaturze zjawisko to określane jest mianem „superskupienia” lub „supersoczewkowania”.
0 0
εε
= µµ
Z , (4.7)
i jeŜeli taka soczewka umieszczona jest w próŜni, nie występuje odbicie i promieniowanie jest w całości transmitowane przez układ.
Pendry rozpatrzył punktowe źródło promieniowania elektromagnetycznego o częstości ω, którego pole
propaguje się wzdłuŜ osi z soczewki. Zgodnie z równaniami Maxwella mamy
2 elektromagnetycznego tak, aby w pewnej odległości od soczewki nastąpiło skupienie i powstał obraz źródła promieniowania.
JeŜeli
fale przypowierzchniowe zanikają ekspotencjalnie wzdłuŜ osi z i ich amplituda nie jest odtwarzana. Powstały obraz źródła promieniowania tworzony jest tylko z fal rozchodzących się wzdłuŜ osi z. PoniewaŜ fale te ograniczone są do
2
więc największa moŜliwa do uzyskania rozdzielczość to ω λ [93], Ŝe fale przypowierzchniowe doznają potrzebnego wzmocnienia w procesie transmisji przez płytkę o ujemnym współczynniku załamania, zatem metamateriały mają zdolność zapobiegania zanikaniu fal przypowierzchniowych.
Idealna soczewka sferyczna
Płytka z materiału o ujemnym współczynniku załamania skupia promieniowanie elektromagnetyczne, jeŜeli zaś współczynnik ten równy jest –1 zachowuje się jak idealna soczewka skupiająca produkując idealny obraz odwzorowywanego przedmiotu. Jednak powstały w ten sposób obraz jest w skali 1:1 i powiększenie go nie jest moŜliwe.
Uzyskanie idealnego i powiększonego obrazu przedmiotu wymaga zastosowania soczewki skupiającej o zakrzywionej powierzchni, co pociąga za sobą konieczność zmiany definicji przenikalności elektrycznej ε i magnetycznej µ materiału tak, aby były one funkcjami połoŜenia.
W roku 2003 Pendry przedstawił sposób na uzyskanie powiększenia w perfekcyjnych soczewkach [100]. Aby uzyskać idealną soczewkę powiększającą, powierzchnia materiału musiała być zagięta, przy jednoczesnym zachowaniu wszystkich jego właściwości fizycznych. Pendry zaproponował dwie moŜliwości budowy takiej soczewki (Rys. 37).
Rys. 37 Soczewka o cylindrach współosiowych (a) i stycznych wewnętrznie (b); 2
2 1
2 a
r b r = (na podstawie [100])
Deformacja kształtu powierzchni pociągała za sobą zmianę charakteru parametrów takiego materiału. Zastosowana przez Pendry’ego transformacja między tymi geometrią planarną i cylindryczną szczegółowo opisana została w [100]. Efektem takiej transformacji była cylindryczna soczewka, która odtwarzała i powiększała bez zniekształceń zawartość mniejszego cylindra (o promieniu a) na zewnątrz większego cylindra (o promieniu b) lub wytwarzała pomniejszony idealny obraz obiektu umieszczonego na zwenątrz większego cylindra wewnątrz cylindra mniejszego. Współczynnik powiększenia soczewki to 2 2
a
b . Ponadto jest to soczewka jest krótkoogniskowa i tylko obiekty oddalone od jej osi o mniej niŜ
b a
r= 2 mogą być odwzorowane wewnątrz przestrzeni pomiędzy cylindrami, zaś obiekty umieszczone w tej przestrzeni jak równieŜ te umieszczone bliŜej środka niŜ
a b
r= 2 nie wytworzą obrazu na zewnątrz duŜego cylindra. Przenikalności elektryczna ε i magnetyczna µ opisanej soczewki muszą być proporcjonalne do odwrotności kwadratu promienia 1 2
r [100].