Model linii transmisyjnych

Zachowanie się fali EM przy przejściu przez dowolny ośrodek opisują dobrze znane juŜ równania Maxwella

B E

r r

−jω

=

×

∇ , (2.19)

D J

H

r r r = + ^jω

×

∇ , (2.20)

które w jednorodnymm izotropowym ośrodku uzupełnione są przez równania materiałowe, ściśle zaleŜne od częstości padającego promieniowania

H B

r r

) (ω µ

= , (2.21)

E D

r r

) (ω ε

= . (2.22)

Nowe podejście do tych dobrze znanych podwalin współczesnej fizyki zaprezentowali prawie równocześnie w 1944 roku Gabriel Kron [62], przedstawiając jednocześnie numeryczna procedurę rozwiązywania równań Maxwella w tej nowej postaci [63] oraz J.R.Whinnery i S.Ramo [64]. Udowodnili oni, Ŝe dzięki dyskretyzacji przestrzennej równań Maxwella moŜna zastosować je dla obwodów RLC, gdzie ich pełną analogią są równania prądowo-napięciowe Kirchhoffa, co było pierwszym krokiem w kierunku stworzenia modelu naturalnych ośrodków dielektrycznych opartych na obwodach RLC.

Kluczem do wytworzenia sztucznego dielektryka było zbudowanie takiego modelu, który umoŜliwiałby odnalezienie bezpośrednich analogii do ośrodków spotykanych w naturze. Podstawowym załoŜeniem, które naleŜy w tym celu poczyniono, było podejście do kaŜdego materiału – zarówno sztucznego jak i naturalnego – jak do sieci pewnych podstawowych elementów o bardzo małych wymiarach (w naturalnych materiałach są to atomy i cząstki). Analogie te powinny dać się takŜe zauwaŜyć w zachowaniu fali elektromagnetycznej padającej na wytworzony materiał – fale o długości porównywalnej z wymiarami pojedynczego elementu sieci (atomu, cząstki, komórki elementarnej) powinny doznawać efektów dyfrakcyjnych takich, jak ma to miejsce w ciałach stałych, zaś fale o długości odpowiednio większej od wymiarów jednostkowych komórek powinny załamywać się, a takŜe dawać moŜliwość zdefiniowania odpowiedniego dla tego przypadku współczynnika załamania fali elektromagnetycznej.

Symulacja rzeczywistego dielektryka

Model linii transmisyjnych (Dodatek C) mogący reprezentować naturalny ośrodek przy uŜyciu sieci rozproszonych reaktancji moŜe być złoŜony z komórek przedstawionych na Rys. 16.

{ Vy, Ix}

Oś Z

Oś Y

Oś X { Vy, Iz}

{ Vy+dVy, Ix+ dIx}

{ Vy+dVy, Iz+ dIz} ½ Zz

½ Z^x

Y ½ Zz

½ Z^x

Rys. 16 Elementarna komórka modelu linii transmisyjnej dla płaskiego, jednorodnego ośrodka dielektrycznego.(na podstawie: [65])

Aby podkreślić periodyczność sieci, równania Maxwella (2.19) – (2.22) dla takiego przypadku rozwiązuje się oddzielnie dla kaŜdej z komórek, dzięki czemu występujące tam pola elektryczne i magnetyczne moŜna traktować jako statyczne. Zakładamy, Ŝe istnieje jednostkowa komórka w przestrzeni o wymiarach ∆x, ∆y, ∆z (Rys. 17), której wymiary są pomijalnie małe w porównaniu do długości fali padającego promieniowania, co pozwala traktować pole E i H jako statyczne.

x

Oś X

Rys. 17 Rozkład quasi-statycznych pól w komórce elementarnej (na podstawie: [65])

W przypadku sieci dwuwymiarowej, moŜna przyjąć, Ŝe pole elektromagnetyczne jest stałe w kierunku y czyli →0

∂

∂

y . W takim przypadku wszelkie zjawiska elektromagnetyczne zachodzące w komórce opisać moŜna za pomocą kombinacji modów TE_y i TM_y. JeŜeli rozwaŜymy mod TM_y , dominującymi składowymi pól elektrycznego

Dyskretyzacja przestrzenna równań Maxwella prowadzi do następujących wyraŜeń:

x

RóŜnicę potencjałów w elementarnej komórce definiuje się jako

∫

^⋅

zaś natęŜenie prądu elementarnej, zaś C to odpowiednio wybrany zamknięty przekrój przez powierzchnie dolną i górną. Jako Ŝe pole elektromagnetyczne jest lokalnie niezmienne, otrzymujemy

y

natomiast impedancje i admitancje moŜna zdefiniować jako

z

W związku z tym poprzednie równania (2.26)–(2.28) przechodzą do postaci

x i tylną lub lewą i prawą ścianą sześcianu są wynikiem natęŜenia prądu wywołanego przez efektywną impedancję Zx lub Zz. Równanie (2.39) opisujące róŜnicę potencjałów między górną i dolną ścianą wynika z natęŜenia prądu pochodzącym od admitancji Y.

Wartości impedancji i admitancji dla zadanej częstości promieniowania ω =ω₀ wyraŜają występuje jednorodne pole elektryczne, moŜemy zastosować analogię do kondensatora

okładkowego wypełnionego ośrodkiem o ε(ω₀) ⁱ µ⁽ω0⁾, którego pojemność dana jest zaleŜnością

y z C x

∆

∆

=ε(ω₀)∆ ^. (2.43)

Obecność lokalnie jednorodnego pola magnetycznego związana jest z przeciwnie skierowanymi prądami w równoległych płaszczyznach (Rys. 17), których wkład do przepływu sumuje się w płaszczyźnie ∆y∆z dla prądów płynących wzdłuŜ ∆x oraz w płaszczyźnie ∆x∆y dla prądów płynących wzdłuŜ ∆z. Z tego względu mamy do czynienia z indukcjami

z y L_x x

∆

∆

⋅

=µ(ω₀)∆ ^, (dla kierunku x) (2.44)

x z L_z y

∆

∆

⋅

=µ(ω₀)∆ ^. (dla kierunku z) (2.45)

Na uwagę zasługuje fakt, Ŝe rozproszone pojemność i indukcja są silnie uzaleŜnione od ε(ω₀) ⁱ µ⁽ω0⁾ oraz od wymiarów komórki elementarnej. JeŜeli rozpatrzymy sieć z komórek elementarnych o pomijalnie małych wymiarach w porównaniu do długości fali promieniowania zawierających rozproszone L’ i C’, moŜe ona być traktowana jak ośrodek izotropowy. W związku z tym kaŜdy jednorodny i bezstratny dielektryk moŜe być (przy zadanej częstotliwości promieniowania) traktowany jako dyskretna sieć z komórek zawierających tylko cewki i kondensatory natomiast ośrodek rzeczywisty, obarczony pewnymi stratami transmisyjnymi, modeluje się uwzględniając w obwodzie szeregową rezystancję.

½ L

½ L

Oś Y

Oś X

Rys. 18 Dwuwymiarowy model linii transmisyjnych opisujący ośrodek o parametrach ) 0

(ω µ

µ = i ε(ω)=ε0ε_r przy uŜyciu rozproszonej szeregowej induktancji i rozproszonej równoległej pojemności (na podstawie: [65]).

JeŜeli rozwaŜamy idealnie sześcienne komórki elementarne (Rys. 18), czyli jeŜeli spełnione są warunki

,

,

d x y z

Z Z

Z = _x = _z =∆ =∆ =∆ (2.46)

wspomniane wyŜej impedancje i admitancja będą wyraŜone zaleŜnościami d

j

Z = ωµ(ω) , (2.47)

d j

Y = ωε(ω) , (2.48)

zaś efektywne stałe materiałowe dla omawianego modelu linii transmisyjnych będą miały postacie

d j Z

ωω ω

µ^{( )}= ^{( )}, (2.49)

d j Y ω ω ω

ε^{( )}= ^{( )} . (2.50)

Dla tradycyjnego ośrodka – izotropowego, niemagnetycznego i charakteryzującego się względną przenikalnością elektryczną ε_r otrzymamy

d j

Z = ωµ₀ , (2.51)

d j

Y = ωε_rε₀ , (2.52)

czyli szeregowa impedancja i równoległa pojemność mają wartości d

L=µ₀ , [H] (2.53)

d

C =ε₀ε₀ . [F] (2.54)

Rozproszone wartości L’ i C’ przypadające na jednostkę długości są dodatnie, rzeczywiste i równe

d

L'=µ0 = L^{, (2.55)}

d

C'=ε_rε₀ = C^. (2.56)

Z równania falowego dla obwodów

2 0

2 2

2 2

=

∂ + +∂

∂

∂

y y

y V

z V x

V β ^(2.57)

otrzymać moŜna stałą propagacji β równą

φ

ε ω ε µ ω ω

β =± −ZY = L'C' = _{0 r 0} = v . (2.58)

PowyŜsza relacja dyspersyjna reprezentuje związek stałej propagacji fali z częstością promieniowania (Rys. 19).

Rys. 19 ZaleŜności dyspersyjne dla ośrodka o parametrach µ(ω)=µ₀ i ε(ω)=ε0ε_r (na podstawie: [65])

Wykres ω-β ilustruje zmiany stałej propagacji wzdłuŜ wyróŜnionej osi na płaszczyźnie x-z w funkcji częstotliwości. Dostarcza informacji o wartości fazy i prędkości grupowej w ośrodku. Wykres βx-βz ilustruje zmiany stałej propagacji w zaleŜności od kierunku propagacji dla zadanej częstotliwości i przedstawia diagram EFS (equifrequency surface), czyli powierzchnię równej częstotliwości. Dostarcza informacji o kierunku fazy i prędkości grupowej w ośrodku. Dla kubicznej, elektrycznie obojętnej komórki elementarnej taka rozproszona sieć modeluje ośrodek izotropowy i diagram EFS jest kołowy.

Wartość prędkości fazowej w ośrodku odczytać moŜna z wykresu ω-β jako odcinek łączący punkty (0,0) i (β0, ω0) natomiast kierunek z wykresu βx-βz jako linię łączącą punkty (0,0) i (β0z, β0x). Prędkość fazowa definiowana jest jako

β

φ =ω

v . (2.59)

Analogicznie odczytujemy z wykresów wartość i zwrot prędkości grupowej zdefiniowanej jako

−1



 





∂

= ∂ ωβ

vg . (2.60)

Z analizy wykresu ω-β wynika, Ŝe stała propagacji typowego ośrodka prawoskrętnego zamodelowanego przy uŜyciu rozproszonej sieci szeregowych induktancji i równoległych pojemności jest zaleŜna od częstotliwości padającej fali EM analogicznie jak ma to miejsce w naturalnych dielektrykach przy niskich częstotliwościach. Na wykres βx-βz widać, Ŝe prędkości fazowa i grupowa (dla ośrodka bezdyspersyjnego) są równe oraz równoległe i wyraŜają się następująco

g r

v C

L

v  =



 





∂

= ∂

=

=

=

−1 0

0

1 '

' 1

ω β ε

ε β µ

φ ω . (2.61)

Obie prędkości w tym przypadku są dodatnie, co jest wynikiem wyboru dodatniego pierwiastka w równaniu (2.61) odpowiadającego jednej z gałęzi wykresu ω-β, więc współczynnik załamania, który definiowany jest jako stosunek prędkości światła w próŜni do prędkości fazowej w ośrodku jest dodatni

r

C r

L v

n c ε

ε µ

ε ε µ ε

µ

φ

=

=

=

=

0 0

0 0

0 0

'

' . (2.62)

Co więcej – tak jak było to oczekiwane – impedancja falowa ośrodka η jest dokładnie równa uŜytej impedancji w rozproszonym modelu linii transmisyjnych

0 0

0

'

' Z

C L

r

=

=

= ε ε

η µ ^. (2.63)

Symulacja ujemnego współczynnika załamania

Dalszym etapem stała się próba modelowania za pomocą komórek elementarnych LC sztucznych ośrodków dielektrycznych – metamateriałów. Fakt, iŜ przy uŜyciu modelu linii transmisyjnych o określonej wartości rozproszonych induktancji L’ i pojemności C’ mamy wpływ na parametry wytwarzanego ośrodka, pozwala uzyskać materiały nie występujące w naturze. PoniewaŜ L’ i C’ są związane z wartościami przenikalności elektrycznej i magnetycznej, więc wprowadzenie do komórki elementarnej przedstawionej na Rys. 18 ujemnych wartości L’ i C’ pozwala uzyskać ujemny współczynnik załamania n. Z natury tych elementów wynika jednak, Ŝe gdy szeregowa impedancja − jωL'd i równoległa admitancja − jωC'd mają wartości ujemne, zmienia się ich rola w układzie. W takim wypadku szeregowa impedancja odgrywa rolę szeregowej admitancji, zaś równoległa admitancja – równoległej impedancji. Tak zbudowana elementarna komórka przedstawiona jest na Rys. 20.

Oś Y

Oś X

Rys. 20 Dwuwymiarowy model linii transmisyjnych opisujący ośrodek o jednocześnie ujemnych, dyspersyjnych parametrach µ =−µ(ω) i ε =−ε(ω) przy uŜyciu rozproszonej szeregowej induktancji i rozproszonej równoległej pojemności (na podstawie: [65]).

TakŜe w tym przypadku wymiary komórki elementarnej mają kluczowy wpływ na zaleŜności dyspersyjne parametrów uzyskanego w ten sposób ośrodka [66], [67].

Korzystając z równań (2.49) i (2.50) efektywną przenikalność elektryczną i magnetyczną takiego modelu wyznaczyć moŜna jako

( )

j C d

Cd j

2

1 1

ω ω

ω ω

µ = =− , (2.64)

( )

j L d

Ld j

2

1 1

ω ω ω ω

ε

= =− . (2.65)

W odróŜnieniu od modelu linii transmisyjnych dla materiałów dodatnich, tutaj parametry ośrodka są wyraźnie ujemne, a dodatkowo mają charakter dyspersyjny. Uśredniona po czasie energia elektryczna i magnetyczna zgromadzona w takim materiale jest jednak dodatnia, więc zasada zachowania energii pozostaje spełniona.

Rozproszone wartości indukcji i pojemności wynoszą dla tego przypadku odpowiednio d

C

C'= ⋅ , [F⋅m] (2.66)

d L

L'= ⋅ . [H⋅m] (2.67)

Cechą charakterystyczną stałej propagacji w powyŜszym modelu jest odwrotny związek z częstością

' ' 1

C ZY L

β =− − =−ω (2.68)

zaś odpowiadające temu wykresy ω-β oraz βx-βz przedstawione są na Rys. 21.

Rys. 21 ZaleŜności dyspersyjne dla ośrodka o parametrach µ =−µ(ω) i ε =−ε(ω) (na podstawie: [65])

W tym przypadku prędkości fazowa i grupowa są antyrównoległe

vg

C L

v  =−



 





∂

− ∂

=

−

=

=

−1

2 ' '

ωβ β ω

φ ω . (2.69)

Ze względu na to, Ŝe prędkości grupowe w modelu linii transmisyjnych ośrodka dodatniego i ujemnego są antyrównoległe, moŜna spodziewać się ujemnego załamania fali EM przy przejściu przez granicę tych ośrodków.

Współczynnik załamania takiego ośrodka

( ) ( )

0 0 2

0

0 ' '

1 ε µ ω

ε µ

ω ε ω µ

φ − =− ⋅ ⋅

=

= v L C

n c . (2.70)

Efektywna impedancja fali

( ) ( )

^{CL'' Z0}

r = = =

ω ε ω

η µ ^. (2.71)

Opisany tu model został zweryfikowany doświadczalnie poprzez zastosowanie go do badania zdolności skupiających zbudowanej na jego podstawie płaskiej soczewki o ujemnym współczynniku załamania [67]. Model znalazł teŜ kilka innych zastosowań w układach i urządzeniach optycznych [68]−[70]. Warto zauwaŜyć, Ŝe takŜe ten model jest bezstratny, co oznacza, iŜ model linii transmisyjnych pozwala na osiągnięcie ujemnego współczynnika załamania bez konieczności wprowadzania do układu elementów rezystywnych.

W modelu ośrodka ALMW/SRR (rozdział II.4) efektywna funkcja przenikalności przyjmowała ujemne wartości w zakresie częstotliwości między ω₀ ^a ω_mp^{, który} w modelu linii transmisyjnych (Rys. 15) odpowiada dokładnie zakresowi częstotliwości, w którym czynna jest szeregowa gałąź. Analogicznie dla przenikalności elektrycznej zakres częstotliwości dający ujemną jej wartość odpowiadał zakresowi pracy gałęzi równoległej w modelu linii transmisyjnych (Rys. 15). W ujęciu linii transmisyjnych materiał ALMW/SRR wprowadza dodatkowe składowe rezonansowe, co moŜe zostać wyeliminowane poprzez bezpośrednie zastosowanie indukcji i pojemności. Dzięki temu moŜliwe jest osiągnięcie bardzo szerokich pasm częstotliwości, w których współczynnik załamania utrzymuje swoją ujemną wartość.

W dokumencie Metody otrzymywania i właściwości optyczne materiałów z ujemnym współczynnikiem załamania (Stron 27-37)