O CIEKAWYCH WŁAŚCIWOŚCIACH LICZB TRÓJKĄTNYCH

„Jeśli matematyka jest królową nauk, to królową matematyki jest teoria liczb”

Carl Friedrich Gauss

O CIEKAWYCH

WŁAŚCIWOŚCIACH LICZB TRÓJKĄTNYCH

OPRACOWANIE:

MATEUSZ OLSZAMOWSKI KL 6A, ALEKSANDER SUCHORAB KL 6A

SZKOŁA PODSTAWOWA NR 109 KRAKÓW UL. MACKIEWICZA 15 TEL.415 27 59

OPIEKUN:

MGR ZOFIA SZCZUR

2

Przygotowując się do różnego rodzaju konkursów poznawaliśmy na lekcji matematyki oraz na Kółku matematycznym liczby np. lustrzane, doskonałe, bliźniacze, kwadratowe, pierwsze, trójkątne i inne. Poznaliśmy ich własności i rozwiązywaliśmy zadania.

My w naszym referacie chcieliśmy bliżej zająć się liczbami trójkątnymi.

W swym dziele dotyczącym teorii liczb – jakbyśmy obecnie nazwali zawarte tam

wiadomości – Nikomachos z Gerazy(I-II w. n. e.) przytacza wszystko, co o liczbach wiedzieli pitagorejczycy, a najprawdopodobniej również sam Pitagoras.

Pitagorejczycy przedstawiali liczby jako oddzielne punkty i – przez łączenie ich w odpowiednie grupy – wykrywali twierdzenia, bądź tworzyli nowe pojęcia.

Oto rysunek przedstawiający liczbę trójkątną jako zbiór punktów płaszczyzny.

Liczba przedstawiona na rysunku jest liczbą 21.

Jest to liczba o ciekawych właściwościach. To tzw. liczba trójkątna, ponieważ jej punkty zgrupowane i ustawione odpowiednio dają kształt trójkątna równobocznego.

Kolejne liczby trójkątne będziemy oznaczać przez tn .

Kolejny numer n 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 …

Liczba trójkątna tn 1 3 6 10 15 21 28 36 45 55 66 78 … Łatwo zauważyć, że kolejne liczby trójkątne można obliczyć dodając do nich kolejne liczby naturalne.

Np. 1 + 2 = 3

3 + 3 = 6 6 + 4 = 10 10 + 5 = 15

Jak jednak obliczyć np. setną z kolei liczbę trójkątną?

Nikt przecież nie będzie liczył „na piechotę”.

Poniżej więc przedstawiamy wzór, przy czym t_n to liczba trójkątna, a n to odpowiadający jej numer.

tn = n(n+1)/2

Wzór wyprowadzono na podstawie własności kolejnych liczb naturalnych od 1 do n.

Wzór ten znano w starożytności. (prawdopodobnie ten wzór wymyślił mały C. F. Gauss nudząc się na lekcji matematyki) Podstawiając kolejne liczby naturalne 1, 2, 3, 4…, 12, otrzymamy liczby trójkątne zapisane w tabeli na poprzedniej stronie.

Obliczmy więc, 30-tą, 50-tą i 100-ną liczbę trójkątną.

n=30

½*30*(30+1) = 465

Odp.: Trzydziestą liczbą trójkątna jest liczba 465.

n=50

½*50*(50+1) = 1275

Odp.: Pięćdziesiątą liczbą trójkątną jest liczba 1275.

n=100

½*100*(100+1) = 5050.

Odp.: Setną liczbą trójkątną jest liczba 5050.

Diofantos (druga poł. III w.) nazywany w średniowieczu „ojcem algebry” opisał liczby trójkątne w dziele „Arytmetyka” oraz wskazał na prawdziwość następującego twierdzenia:

„Jeśli dowolną liczbę trójkątną pomnożymy przez 8 i powiększymy o 1 (oznaczone jako

""), to otrzymamy liczbę będącą kwadratem liczby naturalnej tj. liczbę kwadratową”. tn*8+1 Pokażemy to na rysunku:

4

Dzięki temu możemy stwierdzić czy dana liczba jest liczbą trójkątną, czy nią nie jest:

Jeśli po pomnożeniu danej liczby przez 8 i powiększeniu o 1 otrzymamy kwadrat liczy naturalnej, jest to liczba trójkątna np.

6*8+1 = 49 = 7² 28*8+1 = 225 = 15² 66*8+1 = 529 = 23² 1176*8+1 = 9409 = 97² 9453*8+1 = 75625 = 275²

Pisząc powyższe przykłady zastanawialiśmy się: Jak obliczyć, którą z kolei liczbą trójkątną jest dana liczba? Wymyśliliśmy coś takiego:

Najpierw pomnóżmy liczbę przez 8 i dodajmy do niej 1, żeby powstał kwadrat liczby naturalnej. Następnie obliczmy jej pierwiastek 2-go stopnia, odejmijmy od tej liczby 1 i podzielmy przez 2:

A wzór wyglądałby tak:

n = (√t_n*8+1-1)/2

Obliczmy, którą z kolei liczbą trójkątną jest: 6, 28, 66, 1176, 9453 (√^6*8+1-1)/2 = (√49 -1)/2 = (7-1)/2 = 3

Odp.: 6 jest 3-cią liczbą trójkątną.

(√28*8+1-1)/2 = (√225 -1)/2 = (15-1)/2 = 7 Odp.: 28 jest 7-mą liczbą trójkątną.

(√66*8+1-1)/2 = (√529 -1)/2 = (23-1)/2 = 11 Odp.: 66 jest 11-tą liczbą trójkątną.

(√1176*8+1-1)/2 = (√9409 -1)/2 = (97-1)/2 = 48 Odp.: 1176 jest 48-mą liczbą trójkątną.

(√9453*8+1-1)/2 = (√75625 -1)/2 = (275-1)/2 = 137 Odp.: 9453 jest 137-mą liczbą trójkątną.

Właściwości liczb trójkątnych

Każda liczba naturalna o parzystej liczbie cyfr, których pierwsza połowa to same dwójki, a druga to same jedynki jest liczbą trójkątną.

Np. 21, 2211, 222111, 22221111, 2222211111,… są takimi liczbami, więc są to liczby trójkątne

t₆₆ = 2211 = ½*66*(66+1) jest, więc 66-tą liczbą trójkątną.

t₆₆₆ = 222111 = ½*666*(666+1) jest, więc 666-tą liczbą trójkątną.

t6666 = 22221111 = ½*6666*(6666+1) jest, więc 6666-tą liczbą trójkątną.

Suma dowolnych dwóch kolejnych liczb trójkątnych jest kwadratem liczby naturalnej (tn+tn+1)

Przykład: 1+3 = 4 = 2² 3+6 = 9 = 3² 6+10 = 16 = 4²

Ogólnie: t_n = 1/2n (n+1)

t_n+1 = ¹/₂ (n+1) * ((n+1)+1)

tn+tn+1 = 1/2n(n+1) + ¹/2(n+1)*(n+2) = (n+1)*(1/2n + 1/2(n+2)) = (n+1)(1/2n+1/2n+1) = (n+1)(n+1) = (n+1)²

Różnica kwadratów dowolnych dwóch kolejnych liczb trójkątnych to jest t²n+1 - t²n jest sześcianem liczby naturalnej.

Przykład: 3² - 1² = 9 - 1 = 8 8 = 2³

6 ² - 3² = 36 - 9 = 27 27 = 3³

Suma sześcianów kolejnych liczb naturalnych jest kwadratem liczby trójkątnej.

1³ + 2³ + ... + n³ = t²_n

Przykład: 1 + 8 +27 = 36 = 6² = (t3)²

Istnieją liczby trójkątne będące kwadratami liczb naturalnych.

Np. 36 = 6² = (t3)²

Liczby o powyższej własności znane były już matematykowi szwajcarskiemu Eulerowi (1707-1783); wykazał on, że liczby postaci

¹/₃₂((3+2√ 2)ⁿ-(3-2√ 2)ⁿ)²

dla dowolnej liczby naturalnej n są liczbami trójkątnymi będącymi kwadratami liczb naturalnych oraz, że każda liczba trójkątna będąca kwadratem da się przedstawić w tej postaci.

6 Przykład:

n = 1

1/₃₂((3+2√2)¹-(3-2√2)¹)² = ¹/₃₂(3+2√2-3+2√2)² = ¹/₃₂(4√2)² = ¹/₃₂*32 = 1 = 1² jest liczbą trójkątną

n=2

1/32((3+2√2)²-(3-2√2)²)² = ¹/32((9+12√2+8)-(9-12√2+8))² =

1/₃₂(17+12√2-17+12√2)² = ¹/₃₂(24√2)² = 36 = 6² jest liczbą trójkątną

Poznając bliżej liczby trójkątne mieliśmy okazję poszerzyć naszą wiedzę na ten temat i prześledzić skomplikowane dla nas zapisy i nazwy. Ciekawe są przekształcenia

algebraiczne. Nauczyliśmy się stosowania wzorów skróconego mnożenia na kwadrat sumy i kwadrat różnicy.

Poznaliśmy nazwiska wielu matematyków oraz głoszone przez nich teorie.

Zagadnienia teorii liczb były ciekawe i przyznamy, że matematyka jest faktycznie królową nauk.

Bibliografia:

1) "Z matematyką za pan brat" - Ryszard Jajte

Włodzimierz Krysicki