(1)Ćwiczenia (3), AM I, 8.3.2019 Granice, reguła l’Hospitala Zadanie 1

Ćwiczenia (3), AM I, 8.3.2019 Granice, reguła l’Hospitala Zadanie 1. Oblicz granice

(a) lim_x→∞^{x−sin x}_x , (b) lim_x→0 sin 8x−tg 8x

8x³ , (c) lim_x→1

√

2x−x⁴−√³ x 1−√⁴

x³ ; (d) limx→0 sin(tg x−sin x)

− ln(cos x)^a (w zależności od a ∈ R);

(e) lim_{x→0 1+x}¹ − ln x, (f) limx→0(_{cos x}¹ − 1) ctg²x, (g) lim_x→0 ⁽

√1+2x−√³

1+3x)·ln(cos x) ln(1+x)·(tg 2x−2·tg x)·cos(x¹¹³⁸), (h) lim_x→0

√

1+2 tg²x−cos(x√

2)−sin²(x√ 2) (√⁵

1+tg x−¹¹√

1+sin x)³ln(1+tg x). Zadanie 2. Wykaż, że funkcja

f (x) =

( x²sin x dla x 6= 0,

0 dla x = 0

jest różniczkowalna, ale f⁰(x) nie jest ciągła. Sprawdzić, że f⁰ ma własność Darboux.

Zadanie 3. Zbadaj zbieżność szeregu

∞

X

n=1

tg 1

√n − 1

√n

!

.

Zadanie 4. Co jest większe e^π, czy π^e?

Zadanie 5. W zależności od parametru a > 0 znajdź liczbę rozwiązań równania x^x = a^a, gdzie x > 0.

Zadanie 6. Wykaż, że funkcja f (x) = arctg x + arc cos^√x

1+x² jest funcją stałą. Wyznacz tę stałą.

Zadanie 7. Wykazać, że jeśli x ­ 0, to

√x + 1 −√

x = 1

2^qx + θ(x), gdzie

1

4 ¬ θ(x) ¬ 1 2 i

lim

x→0⁺θ(x) = 1

4, lim

x→∞θ(x) = 1 2.