Ćwiczenia AM II, 10.10.2017 (granica funkcji, funkcje ciągłe) Zadanie 1. Obliczyć granice (o ile istnieją)
(a) (x,y)→(0,0)lim xy x2+y2, (b) (x,y)→(0,0)lim
x3+y3 x2+y2, (c) (x,y)→(0,0)lim
min{x,y}
max{x,y}, (d) (x,y)→(0,0)lim (x2+ y2)xy, (e) (x,y)→(0,0)lim xy,
(f) (x,y)→(0,0)lim x4+y4 x3+y3, (g) (x,y)→(a,b)lim
ysin πx
x+y−1 na prostej a + b = 1.
Zadanie 2. Zbadać ciągłość funkcji
(a) f : Rk → R, f (x) = ln(1 + kxk),
(b) f : R2→ R, f (x, y) =((x + y) sinx1sin1y, jeśli xy 6= 0
0, jeśli xy = 0.
(c) f : R3→ R2, f(x, y, z) = xy
1+z2,x2x+y2y22z+z22
, jeżeli (x, y, z) 6= (0, 0, 0) i f(0, 0, 0) = 0.
Zadanie 3. Niech
f (x, y) = ( x2y
x4+y2, jeśli (x, y) 6= (0, 0)
0, jeśli (x, y) = (0, 0). (1)
Pokazać, że obcięcie f|L : L → R funkcji f do dowolnej prostej L ⊂ R2 jest funkcją ciągłą, mimo że funkcja f nie jest ciągła w (0, 0).
Zadanie 4. (DOM: 24/25.10) Niech (ai, bi) będzie dowolnym ciągiem punktów płaszczyzny. Funkcję g : R2 → R definiujemy wzorem
g(x, y) =
∞
X
i=1
1
2if (x − ai, y − bi), gdzie f jest jak w (1). Wykazać, że
(a) g jest dobrze określona w każdym punkcie płaszczyzny.
(b) Dla dowolnej prostej L ⊂ R2, g|L jest ciągła.
(c) g nie jest ciągła w żadnym z punktów (ai, bi).
(d) g jest ciągła w pozostałych punktach.
(e) Istnieje funkcja R2→ R, której zbiorem punktów nieciągłości jest Q × Q, a co więcej której obcięcie do dowolnej prostej jest funkcją ciągłą.
Zadanie 5. Oblicz granicę lim(x,y)→(0,0)f (x, y), gdzie
f (x, y) =
(1−cos(x+y)2
x2+y2 , jeśli (x, y) 6= (0, 0) 0, jeśli x = y = 0.
Zadanie 6. Naszkicować wykres poziomicowy funkcji f(x, y) = xy, x > 0. Czy istnieje granica
(x,y)→(0,a)lim f (x, y) ?
Zadanie 7. Wykazać, że |kxk − kyk| ¬ kx − yk. Wywnioskować stąd, że funkcja x 7→ kxk jest funkcją ciągłą.
Zadanie 8. Wykazać, że wszystkie normy na Rn są równoważne.
Zadanie 9. Niech f : Rn → R będzie funkcją ciągłą. Wykazać, że zbiory {x : f (x) = 0} oraz {x : f (x) 0} są domknięte, natomiast zbiór {x : f(x) > 0} jest otwarty.
Zadanie 10. Niech Ω1 i Ω2 będą zbiorami wypułymi w Rk. Pokazać, że dla dowolnych α, β ∈ R zbiór αΩ1+ βΩ2 = {αx + βy : x ∈ Ω1, y ∈ Ω2} jest wypukły.
Zadanie 11. Wykazać, że zbiór Ω = {(x, y, z) ∈ R3: z x2+ y2} jest wypukły.
Zadanie 12. Które z poniższych zbiorów są otwarte, domknięte, ograniczone, zwarte, wypukłe, spójne?
(a) {(x, y) : x2+ 2x + y2− 4y −1, 9x2+ 16y2¬ 144}, (b) {(x, y, z) : x, z 0, x + 2y + 3z = 6},
(c) {x2+ y2= 4, x2+ y2+ z2¬ 9}, (d) {x2− y2= z, x2+ y2+ z2¬ 1}, (e) {xy < 0, x2+ z2< 1},
(f) {x, y 0, z −6, x + y + 2z 6, x + y + z ¬ 6}.
Zadanie 13. Czy jeśli f : Rk → Rljest funkcją ciągłą, różnowartościową, to funkcja odwrotna jest też ciągła?
Zadanie 14. Czy jeśli wykres funkcji f : Rk → Rljest zbiorem domkniętym, to f musi być ciągła?
Zadanie 15. (DOM: 24/25.10) Udowodnić, że f : Rk → R jest funkcją ciągłą w 0 ∈ Rk wtedy i tylko wtedy, gdy dla dowolnej funkcji ciągłej γ : R → Rk takiej, że γ(0) = 0 złożenie f ◦ γ : R → R jest funkcją ciągła w zerze.
Zadanie 16. Niech
f1(x, y) =
(x + y sin 1/x, jeśli x 6= 0
0, jeśli x = 0, f2(x, y) =
(x2−y2
x2+y2, jeśli (x, y) 6= (0, 0), 0, jeśli (x, y) = (0, 0).
Niech f3 : R2 → R będzie funkcją równą zero poza odcinkami In = {(1/n, x) : 0 ¬ x ¬ 1/n}, przy czym f|In = 1/n. Obliczyć granice lim(x,y)→(0,0)fi(x, y), limx→0limy→0fi(x, y) i limy→0limx→0fi(x, y), i = 1, 2.
Zadanie 17. (DOM: 20.10) Obliczyć granicę
(x,y)→(0,0)lim
ln(cos x − y2) x2+ 2y2 . Zadanie 18. Znaleźć wszystkie punkty ciągłości funkcji
f (x, y) =
(|yx−2| exp(−|yx−2|), jeśli x 6= 0
0, jeśli x = 0.
Zadanie 19. Zbadać jednostajną ciągłość funkcji
f (x, y) = sin π 1 − x2− y2 na kole {x2+ y2< 1}.
Zadanie 20. Niech f będzie funkcją ciągłą o wartościach rzeczywistych określoną na zbiorze A = {x ∈ R2: kxk2= 1} ∪ {x ∈ R2: kx − (2, 0)k1¬ 1}.
taką, że f(−1, 0) = −1, f(3, 0) = 17. Wykazać, ze istnieje punkt a ∈ A taki, że f(a) = 0. Czy istnieje funkcja f o podanych własnościach taka, że taki punkt a jest tylko jeden?
