1. Zbadaj zbieżność następujących ciągów funkcyjnych, znajdź obszar zbieżności, funk- cję graniczną, sprawdź czy zbieżność jest jednostajna, jeśli nie znajdź możliwie duży podzbiór, na którym zbieżność jest jednostajna. a) f

1. Zbadaj zbieżność następujących ciągów funkcyjnych, znajdź obszar zbieżności, funk- cję graniczną, sprawdź czy zbieżność jest jednostajna, jeśli nie znajdź możliwie duży podzbiór, na którym zbieżność jest jednostajna.

a) f _n (x) = _1+nx ¹ , dla x > 0;

b) g n (x) = x + _n ¹ sin(nx), x ∈ R;

c) h _n (x) = nxe ^−nx

, dla x ∈ [−1, 1];

d) f _n (x) = _1+nx ^nx

, x ∈ R;

e) g _n (x) = n sin(nx), x ∈ R;

f) f _n (x) = √

x + n + 1 − √

x + n, x ­ 0

g) f _n (x) =

( 0 dla x ∈ R \ { _n ¹ } 1 dla x = _n ¹ 2. Zbadaj ciągłość odwzorowań:

a) f : R ² → R, f (x, y) =

( _x

+y

x

−y

dla x ² 6= y ² 0 dla x ² = y ²

b) f : R ² → R, f (x, y) =

( ₁

x

+y

−1 dla x ² + y ² 6= 1 0 w p.p.

c) f : R ³ → R, f (x, y, z) =

( _x+y+z

xy−z dla xy 6= z 0 w p.p.

d) f : R ³ → R, f (x, y, z) =

( ₁

x

+y

−z

dla x ² + y ² 6= z ² 0 w p.p.

e) f : R ² → R, f (x, y) =

( _x

y

x

+y

dla x ² + y ² 6= 0 0 w p.p.

f) f : R ² → R, f (x, y) =

( 1 − _2x

^x +y

dla x ² + y ² 6= 0

1 w p.p.

g) f : R ² → R, f (x, y) =

( π − _x

+sin ^y

y dla x ⁴ + sin ² y 6= 0

π w p.p.

h) f : R ² → R, f (x, y) =

( _x

+y

xy dla xy 6= 0 0 w p.p.

3. Narysuj podane zbiory:

1

a) A ⊂ R ² = {x : kx − (5, 1)k ₁ ­ 1 ∧ kx + (3, 1)k ₁ < 2};

b) B ⊂ R ² = {x : kx − (5, 0)k max ­ 2 ∧ kx + (3, 1)k 1 < 2};

4. Udowodnij, że jeśli ciąg (a _n ) _n∈N ⊂ R ^k , a _n = (a ¹ _n , a ² _n , . . . , a ^k _n ) jest ciągiem Cauchy’ego to ciągi współrzędnych (a ⁱ _n ) _n∈N są również ciągami Cauchy’ego, dla i = 1, . . . , k.

5. Udowodnij, że jeśli ciąg (a _n ) _n∈N ⊂ R ^k , a _n = (a ¹ _n , a ² _n , . . . , a ^k _n ) jest ciągiem zbieżnym do g ∈ R ^k to ciągi współrzędnych (a ⁱ _n ) _n∈N są również ciągami zbieżnymi, dla i = 1, . . . , k.

Do czego zbieżne są te ciągi?

6. Udowodnij, że R ^k jest przestrzenią zupełną wykorzystując fakt, że R jest zupełna.

7. Wykaż równoważność podanych na wykładzie definicji ciągłości odwzorowań.

8. Podać przykład, że suma nieskończonej ilości zbiorów domkniętych nie musi być do- mknięta. To samo dla przecięcia nieskończonej ilości zbiorów otwartych.

9. Wykaż, że w przestrzeni R ⁿ zwartość zbioru jest równoważna jego ograniczoności i do- mnkniętości.

10. Wykaż, że obraz zbioru zwartego przy odwzorowaniu ciągłym jest zwarty.

11. Oblicz pochode cząstkowe funkcji i odwzorowań (w obszarze ich określoności):

a) z(x, y) = x √

y + ^{√ y} _x ;

b) u(x, y, z) = sin x ² √

tg y − e ^{sin z} cos ² y;

c) f : R ³ → R ² , f (x ₁ , x ₂ , x ₃ ) = ((x ₁ x ₂ ) ^x

, (sin x ₁ ) ^lnx

);

d) f : R ⁴ → R ² , f (x, y, z, t) = (x

z, (sin x) ^{(sin y)}

);

2