Seria zadań domowych nr 2, AM I Termin oddania: 7.1.2020
Rozwiązania zadań należy starannie uzasadniać i wpisać do zeszytu zadań domowych.
Proszę wybrać 8 zadań. Minimum na zaliczenie wynosi 5 w pełni rozwiązanych zadań. Rozwiązania muszą być zredagowane absolutnie samodzielnie.
Zadanie 1. Sprawdź zbieżność szeregów (a)
∞
X
n=1
2n+1
s 1 2n +2n
3n −
3, 14 π
2n
, (b)
∞
X
n=1
cos n!π 2020
!n+1
.
Zadanie 2. Zastosuj tożsamość Abela (Pnk=1xkyk = Pn−1k=1sk(yk − yk+1) + snyn, gdzie sk =
Pn
k=1xk)) i wykaż nierówność
n
X
k=1
ak k2
n
X
k=1
1 k
dla dowolnych parami różnych liczb naturalnych a1, a2, . . . , an.
Zadanie 3. Ciągi (an), (bn) są takie , że an > 0, bn > 0 oraz ciągi (an+ bn) oraz (an· bn) są zbieżne. Czy wobec tego ciągi (an) i (bn) muszą być zbieżne?
Zadanie 4. Niech a > b > 0, a1 := a+b2 , b1 =√ ab i an+1= an+ bn
2 , bn+1=qan· bn. Udowodnij, że ciągi (an) i (bn) są zbieżne.
Zadanie 5. Oblicz granicę
n→inf tylim n
1
n2+ 2 + 1
n2+ 4 + . . . + 1 n2+ 2n
.
Zadanie 6. Wykaż „optymalność” kryterium Dirichleta: Przypuśćmy, że ciąg (bn) ma nastę- pującą własność: dla dowolnego ciągu (an), dla którego ciąg Am =Pmn=1an jest ciągiem ograniczonym szereg P∞n=1an · bn jest szeregiem zbieżnym. Wykazać, że ciąg (bn) jest zbieżny do zera oraz szereg P∞n=1|bn− bn+1| też jest zbieżny.
Zadanie 7. Rosnące ciągi liczb dodatnich (an) i (bn) są takie, że P∞n=1 a1
n = +∞ i P∞n=1b1
n = +∞. Czy wobec tego,P∞n=1 a 1
n+bn = +∞ ? Zadanie 8. Oblicz
cos2π
15 + cos4π
15 + cos6π
15 + . . . + cos14π 15 . Zadanie 9. Udowodnij, że sin(√
2) jest liczbą niewymierną.
Zadanie 10. Oblicz sumę szeregu
∞
X
n=1
(n + 1)xn 2nn! . Zadanie 11. Zbadaj zbieżność szeregów
(a) P∞n=1 (1+x)(1+x2)(1+xxn 3)...(1+xn), x 6= −1, (b) P∞n=1√
n + a −√4
n2+ n + b.
Zadanie 12. Oblicz iloczyn długości wszystkich boków i przekątnych n-kąta foremnego wpi- sanego w okrąg o promieniu 1.
Zadanie 13. Znajdź wszystkie rozwiązania zespolone z równania sin z = −83.
2
