0 odpowiednikach pojęcia funkcji punktu w ciałach Boole’a

Л.

(Wroclaw)

0 odpowiednikach pojęcia funkcji punktu w ciałach Boole’a W wielu zagadnieniach matematycznych zachowanie się funkcji w poszczególnych punktach nie gra istotnej roli. Ma to miejsce na przy­

kład w teorii całki i w innych badaniach funkcji z dokładnością do zbioru miary zero. Można by więc szukać takich charakterystycznych własności funkcji, które wyznaczyłyby ją jednoznacznie, a nie potrzebowałyby do swojego wysłowienia pojęcia punktu. To pozwoliłoby przenieść pojęcie funkcji punktu na ciała Boole’a.

Odpowiednie pojęcie w ciele Boole’a zwane w tej pracy funkcjonoidem, można wprowadzić rozmaicie. J. M. H. O lm sted określa funkcjonoid jako funkcję, której argumentami są liczby a wartościami somaty1).

W przypadku ciała zbiorów jest to funkcja F( X) = E{ f ( x ) > l \.

X

E. M arczew ski zaproponował, by wyznaczać funkcjonoid przez homo- morfizm ciała zbiorów borelowskich na prostej w ciało Boole’a. Jest to w pewnym sensie rozszerzenie olmstedowskiego funkcjonoidu do homo- morfizmu. C. C a r a th ć o d o r y wyznacza funkcjonoid za pomocą funkcji będących przeniesieniem na ciała Boole’a pojęcia kresów dolnego 1 górnego funkcji rzeczywistej na zbiorze. Daje to wygodny środek do algebraizacji pojęcia całki.

Praca niniejsza poświęcona jest porównaniu tych sposobów defi­

niowania funkcjonoidu. W § 1 podane są informacje wstępne o ciałach Boole’a, w §2 — związek między samymi definicjami funkcjonoidów, w § 3 porównuje się definicje całki dla różnych funkcjonoidów2).

x) Somat — termin zaproponowany przez H. S t e in h a u s a na element ciała Boo­

le’a.

2) Praca ta jest nieznaczną przeróbką pracy magisterskiej napisanej pod kie­

rownictwem prof. M a r c z e w s k ie g o w 1949 r. Nie jest w niej uwzględniona jeszcze jedna definicja funkcjonoidu, podana w pracach N ik o d y m a [1], z którymi zapozna­

łem się już po napisaniu pracy.

ttoczniki P.T.M.-Prace Matematyczne I 10

146 A . G ó t z

§ 1. Informacje o ciałach Boole’a

Zbiór A nazywa się częściowo uporządkowany, jeśli między niektó­

rymi jego elementami jest zdefiniowana relacja zwana częściowo porządku­

jąca (oznaczymy ją symbolem C) o następujących własnościach:

I. А С А

ё

II. Jeśli A C B i B C A , to A ~ B . III. Jeśli A C B i В CC, to A CC.

Zapis A C B będziemy odczytywali: A jest zawarte w B, lub A jest mniejsze od B.

Pr z y k ł a d y

1. Relacja zawierania zbiorów jest relacją częściowo porządkującą.

2. Relacja < porządkuje częściowo zbiór liczb rzeczywistych.

Zbiór częściowo uporządkowany A nazywa się strukturą przeliczalnie addytywną, jeśli do każdego skończonego lub przeliczalnego zbioru jego elementów {A^ {t przebiega pewien skończony lub przeliczalny zbiór T wskaźników) istnieje w A najmniejszy element 8 zawierający wszystkie elementy tego zbioru i największy element P zawarty we wszystkich elementach tego zbioru.

Element 8 nazywamy sumą rodziny elementów i oznaczamy

£ A t. Jeśli wskaźniki przebiegają zbiór liczb naturalnych, piszemy też

t e T

CO

£ A n lub d 1+ ń u + - ..

>i=i

Element P nazywa się iloczynem rodziny Oznaczamy go od-

00

powiednio f ] A t lub f j A n, lub A XA 2...

t e T n= 1

Pr z y k ł a d y.

1. Klasa wszystkich podzbiorów danego zbioru

re­

lacją zawierania zbiorów jest strukturą przeliczalnie addytywną. Sumą i iloczynem są odpowiednio suma i iloczyn mnogościowy.

2. Zbiór liczb rzeczywistych odcinka (0,1) uporządkowany częściowo przez słabą nierówność < jest strukturą przeliczalnie addytywną. Sumą i iloczynem są odpowiednio kres górny i kres dolny.

Przeliczalnie addytywnym ciałem Boole’a A nazywa się struktura przeliczalnie addytywna o następujących właściwościach:

Г. A ^ A i — £ A A t (T < K o) (dystrybutywność).

t e T t e T

II'. Istnieją elementy najmniejszy O i największy I, tzn. takie,

że dla każdego A e A zachodzi relacja OCń.С I.

Odpowiedniki pojęcia, funkcji 147

III'. Do każdego A e A istnieje taki element A'eA, zwany dopeł­

nieniem A, że

A + A ' = I , A A ' = 0.

Elementy ciała Boole’a będziemy w dalszym ciągu nazywali somatami.

Ważnym przykładem przeliczalnie addytywnego ciała Boole’a jest przeliczalnie addytywne ciało zbiorów, tzn. klasa podzbiorów zbioru SC, o następujących właściwościach: 1° należy do niej zbiór pusty i cała prze­

strzeń SC, 2° wraz ze zbiorem X należy do niej jego dopełnienie mnogo­

ściowe SC—X , i 3° wraz ze skończoną lub przeliczalną klasą zbiorów na­

leży do tej klasy suma tej rodziny. Elementem 0 jest wtedy zbiór pusty, elementem I cała przestrzeń SC, a operacjami boole’ owskimi — odpo­

wiednie operacje mnogościowe.

Operacje w ciałach Boole’a mają wiele własności analogicznych do operacji algebry zbiorów:

1. Przemienność dodawania i mnożenia: A-\-B=B-\-A i A B = B A . Ogólniej: Вита i iloczyn dowolnej rodziny nie zależy od uporządkowania.

2. Łączność dodawania i mnożenia: (A -f-B) + G — A + (B - f G) oraz {AB)G = A(BG). Ogólniej: Składniki (czynniki) s-umy (iloczynu) można dowolnie grupować.

3. Następujące trzy warunki są równoważne:

A C B , A = A B , B —AĄ-B.

Wynikają z tego w szczególności tożsamości

A -\ -A = A A = A , A + 0 = A , A + 1 = 1 , M0==0, A I = A . I. Jeśli dla każdego teT zachodzi relacja A tCBŁ, to

2 A tC Z B , i 11Л, c l i Bt.

t e T t e T t e T t e T

5. Każdy element ciała A ma tylko jedno dopełnienie.

6. { А У = А .

1. Prawa de Morgana:

t e T t e T t e T t e T

Bóżnicą somatów A i В nazywamy somat A —B —AB'.

Bóżnicą symetryczną A i В nazywamy somat A —B<=AB'-{-A'B.

8. (A - C ) + ( B - C ) = ( A + B ) - C , ogólniej

t e T t e T

9. Giało Boole’ a z działaniem — jest grupą abelową.

10. A ~ B = 0 wtedy i tylko wtedy, gdy A —B.

10*

148 A. (4 6 1 z

Odwzorowanie h(A) przeliczalnie addytywnego ciała Boole’a A w prze­

liczalnie addytywne ciało Boole’a В nazywa się przeliczalnie addytywnym homomorfizmem ciała A w ciało B, jeżeli

4 2 A t ) = 2 b ( At) (F <K „) i ЦА- ) =( ЦА) У,

t e T t e T

gdzie operacje po lewej stronie są rozumiane w sensie ciała A, a po prawej stronie w sensie ciała B.

Z podanych warunków wynika, że homomorfizm jest również funkcją multyplikatywną somatu.

Homomorfizm wzajemnie jednoznaczny ciała A na ciało В nazywa się izomorfizmem. Funkcja odwrotna jest wówczas również homomor­

fizmem. Po ustaleniu izomorfizmu łi(A) ciała A na ciało В będziemy mó­

wili, że ciała te są izomorficzne i będziemy pisali АяаВ dla oznaczenia, że elementy A ciała 4 i J5 ciała В odpowiadają sobie w tym izomorfizmie.

Ponieważ superpozycja dwóch izomorfizmów jest również izomorfizmem, więc relacja ea jest przechodnia.

Klasa J somatów ciała A nazywa się ideałem przeliczalnym addy­

tywnym w tym ciele, gdy spełnione są następujące warunki:

a. Jeśli A te J (teT,TśC80) to £ A teJ.

t e T

b. Jeśli A ZC A X i A xeJ, to A 2eJ.

Pr z y k ł a d.

Klasa mierzalnych w sensie Lebesgue’a podzbiorów' odcinka (0,1) jest przeliczalnie addytywnym ciałem Boole’a; klasa zbio­

rów miary 0 jest przeliczalnie addytywnym ideałem w tym ciele.

Ciało Boole’a A można rozbić na rozłączne klasy somatów, zaliczając dwa somaty do tej samej klasy, jeśli ich różnica symetryczna należy do ideału J. Klasę, do której należy somat A, oznaczymy [4.]. Do klasy tej należą wszystkie somaty postaci 4 + M —JV, gdzie Me J , Ne J .

Dowolny element klasy [ 4 ] nazywamy reprezentantem tej klasy w ciele A .

Zbiór tak utworzonych klas nazywa się ciałem ilorazowym A[J.

W ciele ilorazowym A j J definiujemy relację częściowo porządkującą w następujący sposób:

[ 4 ! ] C [ 4 2] wtedy i tyllco wtedy, gdy A x—A zeJ. Zbiór AJJ z tą relacją porządkującą jest przeliczalnie addytywnym ciałem Boole’a i w nim są prawdziwe następujące równości:

2 Ш = \ 2 Ч

t e T t e T

П Ш = [ П Ч

t e T t e T

[ 4 7 = [ 4 '] , [4 ] —[ B ]= [ 4 —В].

Dla przeliczalnie addytywnych ciał Boole’a zachodzi następujące

twierdzenie Loomisa-Sikorskiego:

Odpowiedniki pojęcia funkcji 149

Każde przeliczalnie addytywne ciało Boóle'1 a jest izomorficzne z ciałem ilorazowym Xj J, gdzie X jest ciałem przeliczalnie addytywnym podzbiorów pewnej przestrzeni 9C3), a J ideałem przeliczalnie addytywnym w tym ciele.

Miarą przeliczalnie addytywną w ciele A nazywamy przeliczalnie addytywną i nieujemną funkcję rzeczywistą m(A) określoną dla wszyst­

kich somatów A e A i nie znikającą tożsamościowo. W pracy niniejszej rozważamy tylko miary skończone, czyli takie, że m (I)< o o . W dalszym ciągu będziemy opuszczali słowa przeliczalnie addytywny.

Zbiór wszystkich liczb rzeczywistych oznaczamy literą E, zbiór wszystkich liczb wymiernych literą W. Zbiór liczb rzeczywistych (wy­

miernych) większych od A oznaczamy symbolami E(X) (W(A)).

S 2. Różne definicje fimkcjonoidów

1. Funkcjonoidem w sensie Olmsteda4) na ciele A albo O-funkcjo- noidem nazywa się każda funkcja F(X), przyporządkująca liczbom rze­

czywistym so maty przeliczalnie addytywnego ciała Boole’a A i spełnia­

jąca następujące warunki:

(

1

F W = 2 F(W),

weW(A)

(2)

S F ( w ) = I ,

w e W го e W

Funkcja JF(A), jak wynika z warunku (1), jest monofonicznie zstępująca,

czyli -

(3) F(XJCF(Xt), gdy Aj> Aa.

Jeżeli A jest ciałem podzbiorów przestrzeni ЭС, a f(x) funkcją rze­

czywistą5) mierzalną (Л), to funkcja

w щ х ) = ж { т > х }

X

przyporządkuj ąca liczbom rzeczywistym zbiory z ciała A spełnia warunki definicji 1.

3) Przestrzenią nazywamy tu abstrakcyjny zbiór, którego podzbiory wystę­

pują w rozważaniach.

4) Patrz O lm s t e d [2]. W oryginalnej definicji Olmsteda sumowanie w* warun­

kach (1) i (2) jest nieprzeliczalne przez wszystkie wskaźniki rzeczywiste, toteż aby sumy istniały, warunek (3) musi być przyjęty w założeniu.

5) Przez funkcję rzeczywistą rozumiemy funkcję przyjmującą wartości rze­

czywiste (bez i o o ) . A b y dopuścić dla funkcji rzeczywistych wartości ± 00, trzeba by odrzucić warunek (2).

160 A. Grotz

L^{e m a t}.

Niech X będzie ciałem podzbiorów przestrzeni X , a X{X) funkcją spełniającą warunki (1) i (2), gdzie 0 oznacza zbiór pusty, a I całą przestrzeń X . Istnieje taka jedyna funkcja rzeczywista f{oo) mierzalna

że

(4') Х(А) = Е {/(* )> Л | ;

X

jest to funkcja

(5) /(a?)— sup A.

XeX(X)

Prosty dowód twierdzenia, że funkcja (5) spełnia warunek (4) oraz że jest to jedyna funkcja, opuszczam.

Tw i e r d z e n i e.

Niech F(X) będzie funkcją spełniającą, warunki

i (2). Istnieje wtedy przestrzeń X , ciało przeliczalnie addytywne

podzbio­

rów tej przestrzeni, ideał przeliczalnie addytywny

w tym ciele oraz funkcja rzeczywista /(# ) określona w X i mierzalna

— o następujących właściwo­

ściach :

1° Ciało

jest izomorficzne z ciałem ilorazowym

2» .У(А)<Ц.Е{/(а)>;1}].

X

D o w ó d 6). Jak wiadomo z twierdzenia Loomisa-Sikorskiego7), istnieje przestrzeń X , ciało

podzbiorów tej przestrzeni i ideał

w tym ciele o tej właściwości, że ciało ilorazowe

jest izomorficzne z

Somat ciała

odpowiadający w tym izomorfizmie so matowi F(A) oznaczymy F*(k). Niech X( w) dla każdego we W będzie dowolnym ustalonym repre­

zentantem somatu F*(w). Z warunku (1) i z definicji ciała ilorazowego wynika, że

X (t> )- 2 X ( w) e J ,

w e W (v )

a zatem

2 ( x ( v ) - 2 X(w)\eJ.

v e W \ We W (v ) '

Z warunku (2) wynika, że

X-2X{w)eJ ⁱ II X( w) e J .

We W we W

6) Dowód ten jest analogiczny do dowodu twierdzenia 3.1 z pracy S ik o r s k ie g o [4], str. 7-22. Twierdzenie Sikorskiego można otrzymać jako wniosek z tego twierdze­

nia.

7) Patrz L o o m i s [6] oraz S i k o r s k i [3].

Odpowiedniki pojęcia junkcji 161

Wobec tego zbiór

m

= 2 (

(

)-^ £ i w i + f e - l i w l + f l i w

V e W \ w e W ( v) ' ' w e W ' w e W

należy do ideału J.

Bozważmy teraz przestrzeń 4 f = 9 C~ M. Oznaczmy dla w e W Y{w) =

= X { w ) —M.

Ponieważ M e J , więc Y{w) jest również reprezentantem somatu F*(w). Przyjmijmy teraz dla rzeczywistych A

Г(Д )= 2 Y(w).

w e W(X)

Łatwo stwierdzić, że w przypadku A wymiernego ta definicja funkcji Y(A) zgadza się z poprzednią. Jak widać z warunku (1), Y(A) jest re­

prezentantem somatu F*(A). Funkcja Y (A) spełnia, jak łatwo stwierdzić, założenia lematu, jeśli 9 / uważać za przestrzeń. Istnieje zatem taka funkcja f{oc) określona w 0/, że Y(A) = E{f{oo)>A, хеЯД. Bozszerzmy funkcję /(o?),

X

nadając jej poza zbiorem C J/ wartość 0. Jest teraz Y (A) ~ E { / {л) > А) С 9C - У = Me J,

X

a. więc

[ ^ { / ( ® ) > Я ) | = Ж * ( А ) * г ( Л ) .

X

Tym samym twierdzenie zostało udowodnione.

O funkcji f(x) mającej właściwość 2C będziemy mówili, że funkcja ta indukuje O-funkcjonoid F(A) 8). Funkcja indukująca funkcjonoid F(A) nie jest określona jednoznacznie. Jeśli f(x) indukuje funkcjonoid F(A), to indukują go również wszystkie funkcje mierzalne (X ) różniące się od f(x) na zbiorze należącym do ideału J.

2. Funkejonoidem w sensie Marczewskiego na ciele A albo Ж-funkcjo- noidem nazywamy każdy homomorfizm H( B) odwzorowujący ciało zbio­

rów borelowskich prostej liczbowej w ciało A.

W przypadku funkcji rzeczywistej /(a?) mierzalnej względem ciała X podzbiorów przestrzeni 9C Ж-funkcjonoid odpowiadający tej funkcji ma postać

(6) H { B ) = E { f ( x ) e B } .

X

Stąd widać, że jest naturalną rzeczą M -funkcjonoido wi H( B) przypo­

rządkować O-funkcjonoid

(?) J ( A ) = f f ( ( A , oo)),

s) Porównaj S i k o r s k i [4].

162 A. Gótz

gdyż w przypadku ciała zbiorów oba te funkcjonoidy określają tę samą funkcję punktu. Z lematu wynika bezpośrednio, że w przypadku ciała zbiorów X istnieje jedyna funkcja f(x) mierzalna (X ) i spełniająca waru­

nek (6).

O-funkcjonoid zdefiniowany wzorem (7) można traktować jako funkcję częściową M -funkcjonoidu 3 ( B ) , rozpatrywaną na zbiorze pół- prostych. Z drugiej strony, jeśli dany jest O-funkcjonoid F(X), to można go zawsze rozszerzyć do homomorfizmu 3 ( B ) tak, żeby zachodził zwią­

zek (7). Wystarczy w tym celu skonstruować funkcję f(x) indukującą O-funkcjonoid F(A) i przyjąć

3( B) ^FJ{ f ( x ) e B} .

X ■

Jest jasne, że jeśli -wychodząc od danego homomorfizmu Л (B) skonstruu­

jemy odpowiedni O-funkcjonoid (7), a następnie rozszerzymy go do ho­

momorfizmu, to otrzymamy z powrotem homomorfizm wyjściowy.

Pojęcie J f-f unkc jonoidu jest prostsze od pojęcia O-funkcjonoidu i pozwala ponadto bezpośrednio przenieść na ciała Boole’a nie tylko pojęcie funkcji rzeczywistej punktu, ale także pojęcie funkcji punktu przyjmującej wartości z dowolnej przestrzeni topologicznej.

3. Funkcjonoidem w sensie Caratheodonfego na ciele A albo C-funkcjo- noidem nazywa się para funkcyj so matu a (A) i fi (A), określonych dla wszystkich A e A , A^=0, przyjmujących jako wartości liczby rzeczywiste lub ± 0 0 i spełniających następujące warunki:

(8) a ( A) ^f i ( A) ,

(9) Jeśli А гСАъ, to а( Аг) ^ a( A2) i fi(At) ^ f i ( A 2),

(10) Do każdej liczby rzeczywistej A z przedziału a(I) <X<f i ( I) istnieje taki somat 8(X) ciała A , że fi[S(X))^.X i dla każdego A e A jeśli A-S(X) = 0 i A^ O, to a(A)^X,

(11) £ 8 ( w ) = I f jeśli fi(I) — co i [ j 8(w) = 0, jeśli a(7)== — 00 9),

tv 6 W w

W

Funkcje a (A) i fi (A) są uogólnieniem na ciało Boole’a pojęcia kresów dolnego i górnego funkcji rzeczywistej punktu. ШесЬ X będzie ciałem przeliczalnie addytywnym podzbiorów przestrzeni X , a f(x) funkcją rzeczywistą określoną w X mierzalną (X).

9) Patrz C a r a t h ó o d o r y [7 ]. Podana tutajd efinicja jest definicją zmodyfiko­

waną przez B i s e h o f a [8 ].

Odpowiedniki pojęcia funkcji 153

Funkcje zbioru a(2T) = inf f(x) i /? (X )= sup f(x) spełniają wtedy

x e X x e X

warunki (8)-(11), a za $(A) można przyjąć dowolny zbiór należący do ciała X i spełniający warunek

E\f(co)< A} C S (А)СE { / (a?) < *}•

X X

Funkcja $(A) spełniająca warunek (10) jest monotonicznie wstępu­

jąca, czyli

^(A1)C ^(A 2), gdy A,<Aa.

Każda monotonicznie wstępująca funkcja $(A) określona dla A z pew­

nego przedziału otwartego (skończonego lub nie) określa jednoznacznie funkcje a(A) i fi {A) spełniające wraz z nią warunki (8), (9) i (10). Funk­

cjami tymi są:

(12) a { A) — inf A, fi\A)= sup A10):

A-S( A ) ^ 0 A - S ( X ) Ź 0

Przy ustalonych a {A) i fi (A) spełniających warunki (8)-(11) funkcja

$(A) nie jest określona jednoznacznie Oznaczmy S{ X) = Z « ( » ) . S( X) = П 8 (w).

we W WeW(X)

w<X

Tak określone funkcje $(A) i 8 (A) nie zależą od wyboru funkcji $(A) spełniającej warunki (8) i (11).

Zachodzi następujące twierdzenie:

Na to, by funkcja T(A) spełniała warunki (10) i (11), potrzeba i wy­

starcza, żeby

S(A)CT(A)Ctf(A).

W przypadku, gdy ciało Boole’a jest ciałem X zbiorów, (7-funkcjo- noid a(X), fi{X) wyznacza jednoznacznie taką funkcję /(#) mierzalną (X), że

(13) inf f(x) = a(X), m-pf(x)—fi(X).

x e X x e X

Taką jest, jak łatwo sprawdzić, funkcja

(11) /(sr) = iuf A= sup A.

x e S W x n o n e S W

W tym przypadku jest

(15) S( X) =E\t ( x) <X} , Я(Д) = В {/(я )< 1 ).

X X

J0) Dowód jest podany u C a r at hóo d o r y ’ e go [7]*

154 A. G-ota

Wykazemy, że (14) jest jedyną funkcją mierzalną (X) spełniającą warunek (13). Przypuśćmy, że istnieją dwie funkcje f(x) i g(x) spełniające warunek (13) i różniące się w punkcie x oy np. niech Цх0) < р х< р ^ д { х 0) (gdzie px, pz są dowolnie wybranymi liczbami między f ( x0) a g{x0)). Boz- ważmy zbiór

X = J E\ f ( x ) < f i 1\ • E { g ( x ) > p z\.

X X

Zbiór X nie jest pusty, gdyż zawiera irunkt x 0. Dla tego zbioru jest u ( X ) = inf g{x) > /^ 21 f t ( X) = su p/(a>)</b,

x e X x e X

a więc a( X) >f i ( X) , co przeczy warunkowi (7).

Z porównania wzorów (4) i (6) ze wzorami (15) i (14) wynika, że w przy­

padku, gdy ciało

jest ciałem zbiorów, a funkcje F{X), a (A) i fi {A) są zde­

finiowane wzorami (4) i (11), zachodzi związek S W H * 7 W y­

prowadzi to do następującego przyporządkowania między O-funkcjonoi- dami a O-funkcjonoidami:

O-funkcjonoidowi F(X) przyporządkowujemy G-junkcjonoid w len spo­

sób, że przyjmujemy

(16) fl(A)=JF((A))'

i wyznaczamy a{A) i fi {A) według wzorów (12).

G-funkcjonoidowi a(A), fi (A) przyporządkowujemy O-funkcjonoid

(17) F{1) =

I I {S(w)y

W eW (A )

(s(*))#

o

dla A < a(I), dla A =

dla a ( I ) < X <

dla p( I ) < A.

Określona w ten sposób funkcja F(X) spełnia warunki (1) i (2), jest więc O-funkcjonoidem. Takie przyporządkowanie między O-funkcjono- idami a O-funkcjonoidarni jest wzajemnie jednoznaczne i w przypadku ciała zbiorów odpowiadające sobie funkcjonoidy wyznaczają tę samą fimkcję mierzalną punktu.

4. M ech będzie dany O-funkcjonoid a {A), fi (A) i niech P(A) będzie

odpowiadającym mu O-funkcjonoidem. Wyjaśnimy związek między

Odpowiedniki pojęcia funkcji 156

O-funkcjonoidami a funkcjami indukującymi. Za rodzinę /8(A) z warunku {9) możemy przyjąć od razu /8(A). Dla a (I)< A < /9 (I) mamy wtedy

(16) 8 (A) — (F(A))\

Niech f(oc) będzie funkcją indukującą O-funkcjonoid .F(A) (por.

punkt 1). Funkcje zbioru

(18) a*(X) = inf j{x), fi*{X) — sup/(#)

x e X x e X

Avraz z rodziną T(X)=JE{f{x)f^X\ =(X (A ))' spełniają warunki Carathćodo-

X

ry’ego (8)-(ll). Z (12) Avynika wobec tego, że

(19) a*(X) = inf A, fi*(X) = sup A.

Х - Т(Х )Ф 0 Х - Т (> .)ф o

Dla a(I)<X<(5(I)

T(A)

/S*(A)

odpowiadającego somatowi

/8(A) w

i A,

T{X)

(16).

Niech X będzie jakimkolwiek reprezentantem somatu А *яаА ^ 0.

Zachodzą wtedy nierówności

(20) a ( A ) = inf A> inf A — a*(X),

Л - в Щ ф О х-т щ ф о

(20') ( i ( A) = sup A^ sup A=/3*(X).

A - S (X )j± 0 Х —Т(?.)Ф0

Gdy boAviem somat A*/8(A)

^0, to także X*/8*(A)

^0 i zbiór X -T (A ), jako jego reprezentant, nie należy do ideału J, Avięc tym bardziej jest

7^0. To samo można poAviedziec o A — /8(A) i X —T(A).

Wykażemy, że

(21) a ( A ) = sup a*(X), fi(A)— int ft*(X),

X e A * X e A *

gdzie

są

Avzględem

somatu A*&A.

Dla każdej liczby e > 0 zbiór Z = X • JE{f [x) ^a( A) - ~e} należy do

X

Aby to wykazać, rozpatrzymy (hva przypadki:

1® a(A) = a(I). Przypuściwszy

X -JE {/(ж )< a{ I ) —e] none J, mielibyśmy A • (F(a(.Z)— e ))'^ 0,

X

co jest sprzeczne z (17), gdyż F{ a( I) —e) =I .

2 « a ( A ) > a (I). Obierzmy rj,

0< ^ < m in (e,a (A ) — a(I)J.

156 ^{A .} Grotz

Gdyby X ‘ JE

j/(a?)<a(A) — ej none J, to mielibyśmy X' T( a { A) ~r i ) mme J ,

X

a więc A ’ S( a( A) —r])^0, wbrew (12).

Zbiór X 1—X — Z jest takim reprezentantem so matu A *, dla którego

(22) a't(X 1) > a{A) — £.

Istnieje zatem dla każdego e > 0 reprezentant X x so matu A*, spełniający nierówność (22). To wraz z nierównością (20) dowodzi pierwszej z rów­

ności (21). Drugiej dowodzi się podobnie.

5. Reasumując widzimy, że między O-funkcjonoidami F(A), Jf-funk- cjonoidami H(B), C-f unkc j onoidami a (A), fi (A) i funkcją indukującą f(x) da się wprowadzić takie wzajemnie jednoznaczne przyporządkowanie, że odpowiadające sobie funkcjonoidy wyznaczają w przypadku, gdy ciało Boole’a jest ciałem zbiorów, tę samą funkcję punktu. Znając jeden z tych funkcjonoidów lub funkcję indukującą możemy odpowiadające mu inne funkcjonoidy wyznaczyć na podstawie wzorów (5), (6), (12) i (16), (17) oraz (18) i (21).

6. Wprowadzimy niektóre pojęcia dotyczące O-funkcjonoidówn ), a potrzebne do zdefiniowania całki.

I. O-funkcjonoidem stałym przyjmującym wartość a nazywamy funk­

cjonoid

1 1 dla A < « ,

| 0 dla A> a.

Funkcjonoid ten jest indukowany przez funkcję f ( x ) —a.

W szczególności funkcjonoidem zerowym nazywa się fuukcjonoid I dla A < 0,

0 dla A ^ 0.

II. Sumą O-funkcjonoidów F(A) i O(A) nazywamy funkcjonoid ( F+ 0) ( A ) = X F ( A - w ) G ( w ) = £ F(w)G(A~w).

W e W w e W

Jeśli f(x) i g(x) są funkcjami indukującymi funkcjonoidy F(A) i O(A), to funkcjonoid (F+6r)(A) jest indukowany przez funkcję f(x)-\-g(x).

n) Por. O l m s t e d [2].

Odpowiedniki pojęcia funkcji 157

III. Iloczynem O-funkcjonoidu F(A) przez liczbą rzeczywistą $ nazy*

wamy funkcjonoid

dla I > 0, dla 1 = 0 ,

l

dla f < 0 .

Jeśli funkcjonoid F(A) jest indukowany przez funkcję /(#), to funkcjonoid ( £ ’ F){A) jest indukowany przez funkcję £•/(#).

IV. Mówimy, że między dwoma O-fnnkcjonoidami F(A) i G{A) zacho­

dzi nierówność F ^ G , jeśli dla każdego A zachodzi relacja F(A)CG(A).

Na to, by F^.G, potrzeba i wystarcza, żeby dla funkcji indukujących zachodziła nierówność

dla wszystkich

poza zbiorem nale­

żącym do ideału J. Wśród funkcji indukujących istnieje zawsze co naj­

mniej jedna spełniająca tę nierówność dla każdego

V. O-funkcjonoidem charakterystycznym somatu A nazywamy O-funk- cjonoid

j I dla A < 0, CA (/) — 1 A dla 0 < A < 1,

l 0 dla A > 1 .

Funkcjonoid C

{A) jest indukowany przez funkcję charakterystyczną dowolnego reprezentanta somatu A* za A.

YI. Funkcjonoidem prostym o wartościach ax,a.2, . .. ,an {ax< a %< . ..

, . . < a n) odpowiednio na somatach A x, A z, . . . , A n (somaty A t są parami rozłączne oraz A x-\-...-\-An= I ) nazywamy funkcjonoid

czyli

—

+

+ • • ■ +

I dla A<ax,

dla ax^ A < a z, (A 1-\-A‘2)r dla a2< A < a 3, {A x-\-... -{-An._!)' dla

0 , dla A^a . ^

Przy wprowadzeniu pojęcia całki ograniczymy się do rozpatrywania

funkcjonoidów nieujemnych czyli spełniających nierówność F > {0 }. Przejść

158 A. ( y ó t x

do całek dowolnych funkcjonoidów można podobnie jak dla funkcji rzeczywistych przez rozbicie funkcjonoidu na część nieujemną i część niedodatnią. №e będziemy się jednak tym zajmowali.

§ 3. Całka w ciele Boole’a

Niech m będzie miarą przeliczalnie addytywną, skończoną i rosnącą w ciele A.

C. O a r a t h ć o d o r y 12) definiuje całkę G-funkcjonoidu a (A), (i {A) aksjomatycznie, jako miarę przeliczalnie addytywną 1(A) określoną w ciele A, spełniającą dla każdego A e A , А ф 0, nierówności

(23) a ( i ) » ( 4 ) < i ( i K ^ ( i ) i ( l ) i znikającą na so macie 0.

Oarathćodory wykazał, że całka taka istnieje i tylko jedna.

R. S ik o r s k i13) definiuje całkę M- funkcjonoidu H(B), albo odpo­

wiadającego mu O-funkcjonoidu F( j l) w następujący sposób:

Niech f(x) będzie funkcją indukującą funkcjonoid. W ciele

(por.

dowód twierdzenia z § 1) wprowadzamy miarę m*(X) przyjmując m*(X) =

—m(A), gdzie A jest somatem ciała A , odpowiadającym w izomorfiz­

mie somatowi [X ] ciała Х /J. Z tej definicji wynika, że zbiory należące do ideału J jako reprezentanty somatu 0, mają miarę równą 0. Całką funkcjonoidu na somacie A nazywamy całkę funkcji indukującej /(&•) po dowolnym reprezentancie X somatu A* ^ A

( Hdm = j f ( x) dx, gdzie [X ] = А * ъ А .

А X

Definicja ta jest niezależna od wyboru funkcji indukującej i od wyboru reprezentanta somatu A*, gdyż funkcje indukujące mogą się różnić tylko w zbiorze należącym do ideału, a więc miary 0, a reprezentanty tego sa­

mego somatu mogą się różnić też tylko o zbiór miary zero, to zaś nie wpływa na wartość całki.

Zdefiniowana w ten sposób całka 1 ( A ) — j Hdm spełnia warunek A

(23) Oaratlieodory’ego dla funkcyj a (A), (i (A) przyporządkowany cli danemu funkcjonoidowi w sensie poprzedniego paragrafu.

Rzeczywiście, dla każdego reprezentanta X somatu A* mamy (inf f(x)) m(A) < j Hdm ф (sup f(x)) m(x).

Х е Х А Х е Х

12) Patrz C a r a t h e o d o r y [7].

1г) Patrz S ik o r s k i [5].

Odpowiedniki pojęcia funkcji 150

W oznaczeniach punktu 1, §2, możemy to zapisać korzystając z (18):

a* ( I ) m ( i K I ( l K i S * ( X) m( A) ; ze wzoru (21) widać, że zachodzą nierówności (23).

O lm s te d 14) nazywa całką funkcjonoidib prostego F = a 1CAl-{-a<lCAa-\-.. - ...Ą -anGA na somarie A liczbę

/ F d m = a 1m (A A 1)-{-a2m (A A 2)-{-. • • + anm (A A n).

Jak łatwo spostrzec, dla nieujemnych fimkcjonoidów prostych nierów­

ność F^.G pociąga za sobą podobną nierówność dla całek jF d m ^ jG d m .

A A

Dla dowolnego funkcjonoidu F(X), definiujemy całkę jako kres górny całek fimkcjonoidów prostych nie większych od F(X):

J F dm — sup f G dm,

gdzie G przebiega zbiór nieujemnych funkcjonoidów prostych nie więk­

szych od F.

W ten sposób zdefiniowana całka I ( A ) = j F d m spełnia warunki

<Jarathóodory’ego dla О-funkcjonoidu a (A), fi(A) odpowiadającego O-funkcjonoidowi F(X). Rzeczywiście, dla każdego А ф 0 i każdego pros­

tego funkcjonoidu G ^ F zachodzi nierówność ć?<{/?(.A)}, gdzie {/?(J.)J oznacza funkcjonoid stały o wartości (3{A), a zatem dla każdego prostego funkcjonoidu G ^ F zachodzi nierówność

j'Gdm < j {fi (A )} dm = fi (A ) m {A );

A A

biorąc kres górny lewych stron, otrzymujemy

(21) j ' Fdm^P( A) m( A) .

Z drugiej strony, funkcjonoid stały {a (A)} jest jednym z funkcjonoidów prostych nie większych od F, a więc

(2 5 )

/Fdm > J{a(JL)} dm = a(A)m(A).

Relacje (21) razem z (25) dają nierówności (23). Dla A — 0 mamy oczywiście

f F dm = 0.

A

Całki, w sensie tych trzech definicji, odpowiadających sobie funkcjo­

noidów są zatem równe.

14) Por. O lm s t e d [2].

160 A. Gotz Prace cytowane

[1] O. M. N ik o d y m , S u r les Stres f o n e t i o n o i d e s , Comptes Eendus de 1’Aca- demie Paris 226 (1948), str. 375-377, 458-460 i 541-543.

[2] J. M. H . O lm s t e d , L e b e s g u e t h e o r y o n a B o o l e a n a lg eb ra , Transactions of the American Math. Soc. 51 (1942), str. 164-193.

[3] E . S ik o r s k i, O n th e r e p r e s e n ta tio n s o f B o o l e a n a lg eb ra s a s f ie ld s o f sets,

Fund. Math. 35 (1948), str. 247-258. ’

[4] — O n th e i n d u c i n g o f h o m o m o r p h i s m s b y m a p p i n g s , Fund. Math. 36 (1949) str. 7-22.

[5] — T h e in te g r a l i n a B o o l e a n a lg eb ra , Colloquium Math. 2 (1951), str. 20-26.

[6] L. H. L o o m is , O n th e r e p r e s e n ta tio n s o f o -c o m p l e t e B o o l e a n a lg eb ra s, Bull.

Amer. /Math. Soc. 53 (1947), str. 757-760.

[7] C. C a r a t h e o d o r y , E n t w u r f f u r e in e A l g e b r a i s i e r u n g d es I n te r g a lb e g r i ff s , Sitzungsberichte der Bayerischen Acad, der Wissenschaften, Math. -Naturwiss.

Abteilung, 1938, str. 27-68.

[8] A . B is c h o f, B e i t r d g e z u r C a r a th e o d o r y s c h e n A l g e b r a i s ie r u n g d es I n t e g r a l - h e g r iffs , Schriften des Math. Inst, und des Inst, fiir angew. Math, der Univers. Ber­

lin 5, Heft 4 (1942), str. 237-262.

INSTYTU T M ATEM ATYCZN Y U N IW E R S Y T E TU IM. BOLESŁAW A BIERU TA W E W ROCŁAW IU

А. ГЁТЦ (Вроцлав)

О П О Н Я Т И Я Х , С О О ТВ ЕТСТВУЮ Щ И Х В Б У Л Е В Ы Х А Л Г Е Б Р А Х П ОН ЯТИ Ю Ф У Н К Ц И И Т О Ч К И

Р Е 3 Ю М Е

Элементы булевой алгебры во многом аналогичны множествам; отличаются от них тем, что не содержат точек. Чтобы развить теорию интеграла в булевых алгебрах, необходимо ввести понятие, соответствующее точечной функции опре­

деленной на множестве.

Такое понятие, называемое в статье ф у п к ц и о п о и д 'о м можно ввести различ­

ным образом. В § 2 сравниваются определения трех разных функционоидов, данные О л м с т е д о м , М а р ч е в с к и м и К а р а т е о д о р и . Устанавливается взаимно­

однозначное соответствие между функционоидами этих трех типов таким обра­

зом, чтобы соответствующие функционоиды определяли в случае, когда булева алгебра является полем множеств, одну и ту-же функцию точки. В § 3 даются определения интеграла функционоида и доказывается, что соответствующие функционоиды имеют равные интегралы.

A . Go t z (Wrocław)

ON T H E E Q U IV A L E N T S OF T H E N O TIO N OF P O IN T FU N C TIO N IN B O O L E A N F IE L D S

S UMMARY

The elements of a Boolean field are in many ways similar to sets. They differ from sets in containing no points. In order to develop the theory of integration in

Odpowiedniki pojęcia funkcji 161

Boolean fields we must, therefore, introduce a notion corresponding to the notion of a point function determined on a set.

Such an equivalent, called in this paper a functionoid, can be introduced in different ways. § 2 contains a comparison of the definitions of three different functio- noids given by O lm s te d , M a r c z e w s k i and C a r a t h ć o d o r y . Between the functio- noids of those three types a bi-unique correspondence is established in such a way that the corresponding functionoids determine, in case of a Boolean field being a field of sets, one and the same point function. § 3 contains definitions of an integral of a functionoid and shows that corresponding functionoids have equal integrals.

Roczniki P.T.M. - Prace Matematyczne I

] ]