Funkcje wielu zmiennych o wartościach rzeczywistych (pochodne cząstkowe pierwszego rzędu, gradient funkcji) 1 Przydatne definicje i pojęcia

Funkcje wielu zmiennych o wartościach rzeczywistych (pochodne cząstkowe pierwszego rzędu, gradient funkcji) 1 Przydatne definicje i pojęcia

Definicja 1.1.

Niech funkcja f będzie określona przynajmniej w otoczeniu punktu O(x0), x0 ∈Rⁿ. Pochodną cząstkową pierwszego rzędu funkcji f w punkcie x₀ względem i-tej zmiennej nazywamy pochodną kierunkową w kierunku wersora osi Ox_i, czyli w kierunku wektora

v = [0, 0, . . . , 0, 1, 0, . . . 0], gdzie 1 występuje na i-tym miejscu i oznaczamy symbolem

f_i
(x₀) (albo f_x
i(x0), Dif(x0), Dxif(x0), _∂x^∂f

i(x0)).

Pochodna cząstkowa względem xi w punkcie x0 określa lokalną szybkość wzrostu wartości funkcji f względem zmiennej x_i przy ustalonych wartościach pozostałych zmiennych.

Definicja 1.2.

Jeśli funkcja f ma pochodne cząstkowe pierwszego rzędu w każdym punkcie zbioru otwartego D ⊂ Rⁿ, to funkcje _∂x^∂f

i(x), gdzie x ∈ D dla i = 1, 2 . . . , n nazywamy pochodnymi cząstkowymi pierwszego rzędu funkcji f na zbiorze D i oznaczamy _∂x^∂f_i (albo np. f_i
, itp.)

Interpretacja geometryczna (w _R³):

Jeśli wykres funkcjif posiadajęcej pochodną cząstkową względem zmiennej x w punkcie (x0, y0) przekroimy płaszczyzną przechodzącą przez punkt (x₀, y₀) równoległą do wektora [1, 0] (czyli po prostu płaszczyzną y = y0 przechodzącą przez punkt (x0, y0, f(x0, y0))), to na powierzchni wykresu orzymamy pewną krzywą. Styczna do tej krzywej jest nachylona do płaszczyzny Oxy pod pewnym kątem γ. Wtedy

tgγ = ∂f

∂x(x0, y0).

Analogicznie dla funkcji f posiadającej pochodną cząstkową względem zmiennej y w punkcie (x₀, y₀)

Definicja 1.3.

Gradientem funkcji f w punkcie x0 ∈ Rⁿ nazywamy wektor wszystkich pochodnych cząstko- wych pierwszego rzędu tej funkcji w punkcie x₀ i oznaczamy symbolem gradf(x₀) albo ∇f(x₀).

Interpretacja geometryczna gradientu:

Gradient funkcji w punkcie wskazuje kierunek najszybszego wzrostu funkcji w tym punkcie.

Gradient funkcji w punkcie jest prostopadły do ppoziomicy funkcji przechodzącej przez ten punkt.

Strona 17

Twierdzenie 1.1.

Jeśli funkcjaf posiada pochodne cząstkowe ciągłe w punkcie x0 ∈ Rⁿ oraz
v ∈ Rⁿ jest dowolnym wektorem, to

f_v
(x0) =∇f(x0)◦
v. (1)

2 Zadania

1. Korzystając z definicji obliczyć (o ile istnieją) wszystkie pochodne cząstkowe pierwszego rzędu podanych funkcji we wskazanych punktach:

(i)f(x, y) = ^x_y, (x0, y0) = (−1, 1), (ii) f(x, y) = ysinx, (x0, y0) = (0, π), (iii) f(x, y) =√

x⁴+y⁴, (x₀, y₀) = (0, 0), (iv) f(x, y) =√³

x³+y³, (x0, y0) = (0, 0),

(v) f(x, y, z) =
⁵ xy(z − 1), (x0, y0, z0) = (0, 0, 1), (vi) f(x, y, z) =





x³+y

x²+y²+z², dla (x, y, z) = (0, 0, 0),

0, dla (x, y, z) = (0, 0, 0), (x0, y0, z0) = (0, 0, 0), (vii) f(x, y) =





x²+y², dla xy = 0,

1, dla xy = 0, (x0, y0) = (0, 0),

(viii) f(x, y) =











x, dla y = 0, y², dla x = 0,

1, dla pozostałych punktach,

(x0, y0) = (0, 0).

2. Policzyć pochodne cząstkowe podanych funkcji dwóch zmiennych w punkcie (0, 0) i zbadać ciągłość tych funkcji.

(i)f(x, y) =





1, dla xy = 0, 0, dla xy = 0, (ii) f(x, y) =





x²xy+y², dla (x, y) = (0, 0), 0, dla (x, y) = (0, 0) 3. Czy istnieje funkcja f : R² → R taka, że (i)f nie jest ciagła w punkcie x_{ 0},

(ii) ^∂f_∂x i ^∂f_∂y istnieja w tym punkcie?_

4. Obliczyć wektor pochodnych czastkowych f_
(x, y) = [f_x
(x, y), f_y
(x, y)] (analogicznie dla funk- cji trzech zmiennych) nastepuj_ acych funkcji:_

(i)f : R² → R, f(x, y) = sin(xcos(y)), (ii) f : R² ⊃ Uf → R, f(x, y) = xyln(x + y),

(iii) f : R² ⊃ U_f → R, f(x, y) = ln(sin(x) + sin(y)), (iv) f : R³ ⊃ U_f → R, f(x, y, z) = x^yy^zz^xy,

(v) f : R³ → R, f(x, y, z) = sin(x²+y²+z²), (vi) f : R³ ⊃ U_f → R, f(x, y, z) = x^yz.

Strona 18

5. Obliczyć pochodne czastkowe funkcji f : R_ ^k → R określonej f(x) = e^x21+...+x2k ·^x1+x³₂+. . . + x^2k−1_k ^.

6. Obliczyć gradienty i pochodne kierunkowe podanych funkcji we wskazanych punktach i kie- runkach (sprawdzić, czy można wykorzystać twierdzenie 1.1):

(i)f(x, y) = x²+y², (x0, y0) = (−3, 4),
v =^12₁₃,₁₃^5,

(ii) f(x, y, z) = e^xyz, (x₀, y₀, z₀) = (−1, 1, −1),
v =^1₂, −³₄,^√₄^3, (iii) f(x, y, z) = ^xy_z3², (x0, y0, z0) = (16, −3, 2),
v = (1, 1, 1) . 7. Wyjaśnić, dlaczego pochodna kierunkowa funkcji f(x, y) =√³

x³+ 8y³ w punkcie (0, 0) i kie- runku [√

2/2,√

2/2] wyznaczona z definicji jest inna niż wyznaczona ze wzoru (1).

8. Sprawdzić, że gradient funkcji f(x, y) = x² +y² jest prostopadły do jej poziomic.

9. Temperatura w zbiorze V = {(x, y, z) : 0 x, y, z π} jest określona wzorem T (x, y, z) = 10cos(x − y) + 20sin(x + z)

Znaleźć kierunek jej najszybszego wzrostu w punkcie (π/2, π/2, π/2).

Strona 19