Wydział Matematyki, Matematyka Stosowana Lista 3. Rozwiązanie zadania 3.1 (a)

Rachunek Prawdopodobieństwa MAP1181

Wydział Matematyki, Matematyka Stosowana Lista 3. Rozwiązanie zadania 3.1 (a)

Opracowanie: Patrycja Pagacz

Zadanie 3.1

(a) Wersja rozszerzona:

(i) Wiadomo, że 2% skrzynek cytryn psuje się w czasie transportu. Z transportu w sposób losowy pobiera się 8 skrzynek i transport ten jest odrzucany, gdy więcej niż 1 badana skrzynka zawiera popsute owoce. Jakie jest prawdopodobieństwo odrzucenia transportu?

Odpowiedź uzasadnij. Wykorzystaj schemat Bernoulliego.

(ii) Wylicz to prawdopodobieństwo, wiedząc, że w transporcie jest 10000 skrzynek, a losowanie odbywa się bez zwracania. Wynik porównaj z wynikiem punktu (i).

(iii) Wylicz to prawdopodobieństwo, wiedząc, że w transporcie jest 100 skrzynek, a losowanie odbywa się bez zwracania. Wynik porównaj z wynikiem punktu (i).

Rozwiązanie:

Ad (i)

• Model: schemat Bernoulliego, sukces - wybranie skrzynki z popsutymi owocami, p = 0.02 (2%), n = 8

• Niech X oznacza ilość skrzynek z popsutymi owocami wśród n = 8 wylosowanych, P (X = k) =^8_k^(0.02)^k(1 − 0.02)^8−k, k = 1, 2, . . . , 8

• Transport jest odrzucany, gdy X > 1

P (odrzucenia transportu) = P (X > 1) = 1 − P (X = 0) − P (X = 1) =

= 1 −^8₀^(0.02)⁰(1 − 0.02)⁸−^8₁^(0.02)¹(1 − 0.02)⁷ = 1 − 0.98⁸− 8 · 0.02 · 0.98⁷ =

= 1 − 0.98⁷· 1.14 ≈ 0.0103369 Ad (ii)

• Określamy przestrzeń probabilistyczną

Ω ={ {s₁, s₂, .., s₈}, gdzie s_i to różne skrzynki z 10000 możliwych}, F =2^Ω, P -prawdopodobieństwo klasyczne

• Niech A oznacza zdarzenie, że transport został odrzucony

A ={ {s₁, s₂, .., s₈} ∈ Ω, gdzie wśród s_i są przynajmniej 2 skrzynki z popsutymi owocami }

• W transporcie jest 2% · 100000 = 200 skrzynek z popsutymi owocami

Niech B_k oznacza zdarzenie, że wśród wylosowanych 8 skrzynek jest k skrzynek z popsutymi owocami, k = 0, 1, . . . , 8

#Ω =^10000₈ ^, #B_k =^200_k ^9800_8−k^, P (B_k) = (²⁰⁰k)(⁹⁸⁰⁰8−k) (¹⁰⁰⁰⁰₈ )

• Mamy P (A) = ^P8

k=2

P (B_k) = 1 − P (B₀) − P (B₁) = 1 − (²⁰⁰₀ )(⁹⁸⁰⁰₈ )

(¹⁰⁰⁰⁰₈ ) − (²⁰⁰₁ )(⁹⁸⁰⁰₇ ) (¹⁰⁰⁰⁰₈ ) ≈

≈ 1 − 0.850714 − 0.138991 = 0.0102942

1

• Wniosek: Prawdopodobieństwo odrzucenia transportu wyliczone w modelu losowania bez zwracania dla transportu 10000 skrzynek wynosi 0.0102942. Prawdopodobieństwo otrzyma- ne, gdy do modelowania sytuacji użyliśmy schematu Bernoulliego, to 0.0103369. Zatem oba modele prowadzą do prawie tej samej wartości. Różnica bezwględna pomiędzy wynikami jest bardzo mała (wynosi jedynie 0.0000427083). Widać więc, że dla tak dużego transportu model Bernoulliego jest poprawny jako przybliżenie modelu losowania ze zwracaniem.

Ad (iii)

• Określamy przestrzeń probabilistyczną

Ω ={ {s1, s₂, .., s₈}, gdzie s_i to różne skrzynki z 100 możliwych}, F = 2^Ω, P -prawdopodobieństwo klasyczne

• Niech A oznacza zdarzenie, że transport został odrzucony

A = {{s₁, s₂, .., s₈} ∈ Ω, gdzie wśród s_i są przynajmniej 2 skrzynki z popsutymi owocami }

• W transporcie są 2% · 100 = 2 skrzynki z popsutymi owocami

Niech B_k oznacza zdarzenie, że wśród wylosowanych 8 skrzynek jest k skrzynek z popsutymi owocami, k = 0, 1, 2.

#Ω =^100₈ ^, #Bk =^_k^2_8−k^98, P (Bk) = (²k)(8−k⁹⁸) (¹⁰⁰8 )

• Mamy P (A) = P (B₂) = (²2)(⁹⁸6)

(¹⁰⁰8 ) = 0.00565657

• Wniosek: Prawdopodobieństwo odrzucenia transportu wyliczone w modelu losowania bez zwracania dla transportu 100 skrzynek wynosi 0.00565657 i jest niemal 2 razy mniejsze od wyniku otrzymanego, gdy do modelowania sytuacji użyliśmy schematu Bernoulliego (czyli 0.0103369). Różnica bezwzgledna między wynikiem dokładnym a przybliżonym równa jest 0.00468033 i jest rzędu wyliczanej wielkości. Zastosowanie modelu Bernoulliego jako przybliże- nia modelu ze zwracaniem jest w tym przypadku mniej uzasadnione.

2