25DRAP - Funkcje tworzące (prawdopodobieństwa)

25DRAP - Funkcje tworzące (prawdopodobieństwa)

Definicja. 1. Funkcją tworzącą (prawdopodobieństwa) zmiennej losowej X o rozkładzie P (X = k) = pk dla k ∈ N⁰ nazywamy funkcję

gX(s) = E(s^X) =

∞

X

k=0

pks^k,

określoną dla s ∈ [−1, 1].

Twierdzenie. 1 (O jednoznaczności). Rozkład prawdopodobieństwa zmiennej losowej X o wartościach w N⁰ jest jedno- znacznie wyznaczony przez jej funkcję tworzącą prawdopodobieństwa gX oraz

P (X = k) = g_X^(k)(0)

k! .

Twierdzenie. 2. Niech X, Y będą zmiennymi losowymi przyjmującymi wartości w N⁰. (a) gX(1) = 1;

(b) E[X(X − 1) · . . . · (X − k + 1)] = gX^(k)(1) dla k = 1, 2, . . .; w szczególności E(X) = g⁰X(1) oraz E[X(X − 1)] = g⁰⁰X(1);

Twierdzenie. 3. Niech X, Y będą niezależnymi zmiennymi losowymi przyjmującymi wartości w N⁰ o funkcjach tworzą- cych gX i gY. Wtedy

gX+Y = gX· gY

Twierdzenie. 4. Jeżeli X1, X₂, . . . jest ciągiem niezależnych zmiennych losowych o jednakowym rozkładzie z funkcją tworzącą g, a N jest niezależną od nich zmienną losową, to dla sumy S = X₁+ X₂+ . . . + X_N losowej liczby kolejnych elementów ciągu X₁, X₂, . . . zachodzi wzór g_S(s) = g_N(g(s)).

Twierdzenie. 5. Niech g_n = g_Zn, gdzie Z_n jest zmienną losową mierzącą liczebność n-tego pokolenia w pewnym procesie gałązkowym, oraz niech m = EZ¹. Wtedy

(a) gn+m(s) = gm(gn(s));

(b) EZⁿ= mⁿ.

Twierdzenie. 6. Prawdopodobieństwo wyginięcia (wymarcia) procesu d jest najmniejszym, nieujemnym pierwiastkiem równania s = g1(s), gdzie g1= gZ₁ jest funkcją tworzącą liczby potomków pojedynczego osobnika.

Funkcje tworzące „słynnych” rozkładów:

Rozkłady dyskretne

nazwa rozkładu parametry skupiony na zbiorze P (X = k) E(X) Var(X) gX(s) dwumianowy n, p {0, 1, 2, . . . , n} ⁿ_k

p^k(1 − p)^n−k np np(1 − p) (q + ps)ⁿ

Poissona λ {0, 1, 2, . . .} ^λk

k!e^−λ λ λ e^λ(s−1)

geometryczny p {1, 2, . . .} (1 − p)^k−1p ¹_p ^1−p_{p2 1−qs}^ps

ujemny dwumianowy

p, r {r, r + 1, . . .} ^k−1_r−1

p^r(1 − p)^{k−r r}_p ^r(1−p)

p²

ps 1−qs

^r

Przydadzą się też standardowe rozwinięcia w szeregi i nie tylko:

1 1 − x =

∞

X

k=0

x^k; e^x=

∞

X

k=0

x^k

k!; ln(1 − x) =

∞

X

k=1

−x^k

k; (a + b)ⁿ=

n

X

k=0

n k

a^kb^n−k.

A Zadania na ćwiczenia

Zadanie A.1. Wyznacz z definicji funkcję tworzącą zmiennej losowej X:

a. o rozkładzie P (X = 0) = P (X = 4) = ¹₄, P (X = 2) =¹₂; b. o rozkładzie geometrycznym Geom(p).

Zadanie A.2. Wyznacz rozkład zmiennej losowej X o funkcji tworzącej a. gX(s) = ₂₄¹((s + 4)²− 1);

b. gX(s) = ¹₃(e^s+ (3 − e))

Zadanie A.3. Korzystając z funkcji tworzących wyznacz EX i VarX dla zmiennych losowych z zadania A.1.

1

Zadanie A.4. Przypomnijmy, że gdy zmienna losowa ma rozkład dwumianowy X ∼ Bin(n, p), to X = X₁+ . . . + X_n, gdzie X_i ∼ Be(p) są niezależnymi zmiennymi losowymi o rozkładzie Bernoulliego (dwupunktowym). Korzystając z tego faktu i funkcji tworzącej rozkładu Bernoulliego, wyznacz funkcję tworzącą zmiennej losowej X ∼ Bin(n, p).

Zadanie A.5. W pewnym towarzystwie ubezpieczeniowym liczba ubezpieczonych klientów ma rozkład Poissona z para- metrem 1000. Każdy z nich niezależnie wykazuje szkodę a kwoty wypłaty za szkody są niezależne z rozkładem Poissona z parametrem 50. Wykorzystując aparat funkcji tworzących wyznacz wartość oczekiwaną sumy wypłat.

Zadanie A.6. Rozważmy proces gałązkowy Z0, Z1, . . ., w którym prawdopodobieństwo wydania j potomków jest równe pj, gdzie p0= ¹₆, p1= ₃¹, p2= ¹₆oraz p3= ¹₃. Wyznacz średnią liczbę członków w n-tej generacji oraz prawdopodobieństwo wymarcia populacji.

Zadanie A.7. Rozkład PX jest dany wzorem pk = q^kp, k = 0, 1, 2, . . ., gdzie p + q = 1 i p, q > 0. Tzn. jest to

„przesunięty” rozkład geometryczny odpowiadający rozkładowi liczby porażek do pierwszego sukcesu w niezależnych próbach Bernoulliego. Wyznacz prawdopodobieństwo wymarcia procesu gałązkowego z liczbą potomków z rozkładem P_X. Zadanie A.8. Bakterie rozmnażają się przez podział komórki. W jednostce czasu bakteria umiera (z prawdopodobień- stwem 0,25), pozostaje bez zmian (z prawdopodobieństwem 0,25) albo dzieli się na dwie nowe (z prawdopodobieństwem 0,5). Na początku mamy 100 bakterii.

(a) Napisz wzór funkcji tworzącej rozkładu liczebności bakterii po n jednostkach czasu.

(b) Wyznacz prawdopodobieństwo wyginięcia całej populacji.

(c) Niech mn będzie największą możliwą liczbą bakterii po dokładnie n jednostkach czasu. Znajdź mn oraz oblicz prawdopodobieństwo, że dokładnie po n jednostkach czasu jest dokładnie mn osobników.

(d) Zakładając, że po 50 jednostkch czasu jest 1000 bakterii, wyznacz wartość oczekiwaną liczby bakterii po kolejnej jednostce czasu.

Zadanie A.9. Za pomocą funkcji tworzących (prawdopodobieństwa) wyznacz prawdopodobieństwo, że zmienna losowa o rozkładzie dwumianowym z parametrami n ∈ N i p ∈ (0, 1) przyjmie wartość parzystą.

Zadanie A.10. Wiedząc, że niezależne zmienne losowe dyskretne X i Y o wartościach całkowitych nieujemnych mają funkcje tworzące g_X(s) = _3−s² i g_Y = _5−2s^3s , wyznacz z definicji funkcję tworzącą zmiennej losowej Z = 3X + 2 oraz T = X + 2Y + 1.

Zadanie A.11. Rozważmy proces gałązkowy Z0, Z1, . . ., w którym liczba potomków ma rozkład Poissona o średniej 2.

Załóżmy ponadto, że Z0 = 1. Niech T oznacza moment wyginięcia populacji, tzn. T := min{n ∈ N : Zⁿ = 0}. Oblicz P (T = k) dla k ∈ {1, 2, 3, 4, 5}.

B Zadania domowe

PODSTAWOWE

Zadanie B.1. Wyznacz z definicji funkcję tworzącą zmiennej losowej X:

a. o rozkładzie P (X = 3) = P (X = 6) = ⁴9, P (X = 0) = ¹9; b. o rozkładzie Poissona P o(p) (wsk. e^x=P

k­0 x^k

k!);

c. o rozkładzie dwumianowym Bin(n, p) (wsk. (a + b)ⁿ =Pn k=0

n

k
a^kb^n−k).

Zadanie B.2. Korzystając z funkcji tworzących wyznacz EX i VarX dla zmiennych losowych z zadania B.1.

Zadanie B.3. Wyznacz rozkład zmiennej losowej X o funkcji tworzącej a. g_X(s) = ¹₉((s + 1)³+ 1)

b. gX(s) = ^{− ln(1−}_{ln 2} ^s2) c. gX(s) = _3−s²2

Zadanie B.4. Przypomnijmy, że gdy zmienna losowa X ma rozkład ujemny dwumianowy z parametrami r i p, to X = X1+ . . . + Xr, gdzie Xi∼ Geom(p) są niezależnymi zmiennymi losowymi o rozkładzie geometrycznym. Korzystając z tego faktu i funkcji tworzącej rozkładu geometrycznego, wyznacz funkcję tworzącą zmiennej losowej X.

2

Zadanie B.5. Zosia co roku zakupuje wszystkie sadzonki pewnego gatunku kwiatu dostępne w pobliskim sklepie i sadzi je w ogródku. Liczba dostępnych sadzonek ma rozkład Poissona z parametrem λ = 2. Każda z sadzonek się przymie niezależnie z prawdopodobieństwem 1/3. Ile wynosi prawdopodobieństwo, że Zosia w tym roku nie będzie miała żadnego z zakupionych kwiatów? Ile wynosi średnia liczba sadzonek, które się przyjęły? Jaki ma rozkład zmienna losowa równa liczbie sadzonek, które ostatecznie przyjmą się w ogrodzie Zosi? Zadanie rozwiąż wykorzystując aparat funkcji tworzących.

Zadanie B.6. Zad. 5, §8.1.

Zadanie B.7. Za pomocą funkcji tworzących wyznacz prawdopodobieństwo, że zmienna losowa o rozkładzie Poissona z parametrem λ > 0 przyjmie wartość nieparzystą.

Zadanie B.8. Liczba potomków w procesie gałązkowym ma następujący rozkład: P(Z¹ = 0) = 0,25, P(Z¹ = 1) = 0,4 oraz P(Z¹= 2) = 0,35.

(a) Wyznacz średnią liczebność n-tej generacji.

(b) Wyznacz prawdopodobieństwo wyginięcia całej populacji.

DLA TYCH, KTÓRZY MIELI PROBLEM Z PODSAWOWYMI

Zadanie B.9 (por. Zad. 6, §8.1). Wyznacz funkcję tworzącą dla rozkładu jednopunktowego P (X = k) = 1 (skupionego na {k}) oraz dwupunktowego P (Y = k) = p, P (Y = l) = q (p + q = 1), a następnie za ich pomocą wyznacz wartości oczekiwane i wariancje podanych rozkładów.

Zadanie B.10. Korzystając z własności funkcji tworzących wyznacz wartość oczekiwaną i wariancję dla zmiennych losowych z zadania B.3

Zadanie B.11. Zad. 1, §8.1.

Zadanie B.12. Wyznacz funkcję tworzącą zmiennej losowej X równej sumie n niezależnych zmiennych losowych X₁, . . . , X_n o rozkładach Poissona z parametrami λ₁, . . . , λ_n, odpowiednio. Co można powiedzieć o rozkładzie zmiennej losowej X?

Zadanie B.13. Niech X1, X2, . . . będzie ciągiem niezależnych zmiennych losowych o jednakowym rozkładzie P(X¹ = 0) = ²₃, P(X¹= 1) = ¹₆ oraz P(X¹= 2) = ₆¹. Znajdź funkcję tworzącą dla zmiennych losowych: S1= X1, S2= X1+ X2, Sn= X1+ . . . + Xn oraz dla SN = X1+ . . . + XN jeśli N ∼ Bin(100, 1/3) jest niezależną od X1, X2, . . . zmienną losową o rozkładzie dwumianowym.

Zadanie B.14. Rozważmy proces gałązkowy Z0, Z1, . . ., w którym prawdopodobieństwo wydania j potomków jest równe pj, gdzie

(a) p0=¹₂, p1=¹₄ oraz p2=¹₄; (b) p0=¹₃, p1= 0 oraz p2=²₃;

(c) p0= p1= p2= p3= ¹₄.

Wyznacz średnią liczbę członków w n-tej generacji oraz prawdopodobieństwo wymarcia populacji.

Zadanie B.15. Za pomocą funkcji tworzących wyznacz prawdopodobieństwo, że zmienna losowa o rozkładzie geome- trycznym Geom(p) przyjmie wartość nieparzystą.

C Zadania dla chętnych

Zadanie C.1. Zad. 3, §8.1.

Zadanie C.2. Zad. 11, §8.1.

Zadanie C.3. Zad. 1, §8.2. (uwaga: G0(p) to zmodyfikowany rozkład geometryczny, którym liczymy liczbę porażek do pierwszego sukcesu)

Zadanie C.4. Rozważmy proces gałązkowy, w którym populacja w każdym pokoleniu jest powiększana o losową liczbę imigrantów, którzy są nierozróżnialni od innych członków populacji. Przypuśćmy, że liczby imigrantów w różnych pokole- niach są niezależne od siebie i historii procesu gałązkowego. Załóżmy ponadto, że liczba imigrantów w danym pokoleniu ma funkcję tworzącą h(s), a funkcja tworząca liczby potomków jednego członka populacji to g(s). Pokaż, że jeśli na po- czątku w populacji jest jeden osobnik, to funkcja tworząca g_n(s) zmiennej losowej Z_n zliczającej liczbę członków populacji w n-tym pokoleniu spełnia zależność gn+1(s) = gn(g(s))h(s).

Zadanie C.5. Udowodnij, że dla niezależych zmiennych losowych X, Y przyjmujących wartości w N⁰o funkcjach tworzą- cych gX i gY prawdopodobieństwo P (X − Y = k) dla k ∈ Z jest równe współczynnikowi przy s^k w funkcji gX(s)gY(¹_s).

Zadanie C.6. Oblicz prawdopodobieństwo, że liczba całkowita wylosowana ze zbioru liczb od 000000 do 999999 będzie miała sumę pierwszych trzech cyfr równą sumie ostatnich trzech cyfr.

3

Rozwiązania niektórych zadań

B.1 a) ¹₉(1 + 2s³)² B.2 a) EX = 4, VarX = 4

B.3 a) P (X = 0) = ²9, P (X = 1) = ³9, P (X = 2) =³9, P (X = 3) =³9, b) P (X = k) = (2^kk ln 2)⁻¹ dla k ∈ N,

c) P (X = 2k) = 2 · 3^−k−1 dla k ∈ N⁰

B.5 S - liczba kwiatów, które się przyjęły; P (S = 0) = g^S(0) = e^−2/3, ES = g⁰S(1) = ²₃, zmienna losowa S ma rozkład Poissona z λ = ²₃

B.7 ¹₂(1 − e^−2λ)

B.8 a) EZn= (1, 1)ⁿ, b) η = 0, 6

B.9 rozkład jednopunktowy: g(s) = s^k, EX = k, VarX = 0

rozkład dwupunktowy: g(s) = ps^k+ qs^l, EY = pk + ql, VarY = (k − l)²pq B.10 a) EX = ⁴3, VarX = ⁸₉,

b) EX = ln 2¹ , VarX = ^{2 ln 2−1}_{(ln 2)}2 , c) EX = 1, VarX = 3

B.11 ₆¹8

17

10
− 8 ¹¹₄

B.12 gX₁+X₂+...+X_n(s) = e^{−(λ1+...+λn)(1−s)}, z twierdzenia o jednoznaczności X ma rozkład Poissona z parametrem λ1+ . . . + λn

B.13 gS_n(s) = ¹₆
n

(s²+ s + 4)ⁿ, g_Sn/n(s) = ¹₆
n

(s^2/n+ s^1/n+ 4)ⁿ MS_n(t) = ¹₆
ⁿ

(e^2t+ e^t+ 4)ⁿ, M_Sn/n(t) = ¹₆
ⁿ

(e^2t/n+ e^t/n+ 4)ⁿ B.14 (a) EZn= ³₄
n

, η = 1 (b) EZⁿ = ⁴₃
n

, η = 1/2 (c) EZⁿ= ³₂
ⁿ

, η =√ 2 − 1 B.15 ¹₂

1 + _2−p^p 

4