Rozwiązywanie zadania transportowego metodą potencjałów
1. Jeśli zadanie jest otwartym zadaniem transportowym (suma podaŜy dostawców nie jest równa sumie popytu odbiorców) to naleŜy zbilansować zadanie przez wprowadzenie fikcyjnego dostawcy albo odbiorcy. Przewóz od fikcyjnego dostawcy do jakiegoś odbiorcy interpretujemy jako niezrealizowany popyt tego odbiorcy, a przewóz od jakiegoś rzeczywistego dostawcy do fikcyjnego odbiorcy jako niewysłaną podaŜ tego dostawcy.
Koszty przewozu od fikcyjnego dostawcy lub do fikcyjnego odbiorcy wynoszą zazwyczaj zero, chyba, Ŝe mają swoją interpretację jako np. koszty magazynowania albo koszty niewykorzystanych moŜliwości produkcyjnych przy przewozach do fikcyjnego odbiorcy.
2. Wyznacz wyjściowe rozwiązanie bazowe przy pomocy metody Minimalnego Elementu Macierzy (polegającej na umieszczaniu największych moŜliwych przewozów na aktualnie dostępnych najtańszych trasach).
Rozwiązanie jest bazowe jeśli wstawimy n+m-1 dopuszczalnych przewozów (gdzie n to ilość dostawców, a m odbiorców). Wyznaczonych przewozów moŜe być mniej niŜ n+m-1 (np. wtedy, gdy na którejś trasie podaŜ równa jest popytowi - "skreślamy" wtedy naraz całą podaŜ w wierszu i cały popyt w kolumnie) – mówmy wtedy o degeneracji – jedna ze zmiennych bazowych przyjmuje wartość zero.
3. Obliczamy wartości αi dla dostawców i βj dla odbiorców na podstawie kosztów przewozu na trasach bazowych (czyli tam, gdzie są przewozy) wg wzoru:
cij=ααααi+ββββj, czyli:
βj=cij-αi
αi=cij-βj
przyjmujemy, Ŝe któryś z parametrów jest równy zero, najczęściej α1=0
4. Na podstawie wartości αi i βj obliczamy wartości potencjałów ∆∆∆∆ij dla tras niebazowych (czyli tam, gdzie nie ma przewozów) wg wzoru:
∆∆∆∆ij=cij-(ααααi+ββββj)
(delty dla zmiennych/tras bazowych są równe zero - nie trzeba ich obliczać)
Otrzymane rozwiązanie jest optymalne jeśli wszystkie ∆∆∆∆ij≥0≥0. Dla ≥0≥0 ∆ij=0 mamy więcej niŜ jedno rozwiązanie optymalne.
Jeśli któraś z ∆ij<0 to uzyskane rozwiązanie nie jest optymalne. Wprowadzenie na tej trasie (o ujemnej wartości potencjału) przewozu spowoduje spadek ogólnych kosztów przewozów. Jeśli więcej niŜ jeden potencjał jest ujemny to wybieramy najmniejszy z nich (najbardziej ujemny) i wprowadzamy przewóz na tej trasie. Trasa ta nazywana jest trasą centralną. Tworzymy cykl z udziałem tej trasy oraz tras z przewozami. Cykl nie musi mieć formy prostokąta, a w "rogach" cyklu znajdują się zawsze przewozy (oprócz jednego, gdzie z powodu ujemnego potencjału chcemy wstawić przewóz). W cyklu na przemian zwiększamy i zmniejszamy przewozy (tak by w danym wierszu/kolumnie pozostały bez zmian - zachowanie dopuszczalności zadania) o wartość najmniejszego ze zmniejszanych przewozów.
Teraz przechodzimy do punktu 3 by sprawdzić optymalność nowego rozwiązania.
5. W przypadku zadania pośrednika w pierwszym kroku obliczamy jednostkowe dochody osiągane na kaŜdej z tras. Zawsze tworzymy fikcyjnego dostawcę o podaŜy równej popytowi wszystkich odbiorców oraz fikcyjnego odbiorcę o popycie równym podaŜy wszystkich dostawców. Dochody uzyskiwane na przewozach od fikcyjnego dostawcy i do fikcyjnego odbiorcy są równe zero. Szukając wyjściowego rozwiązania bazowego posługujemy się metodą maksymalnego elementu macierzy, a po obliczeniu αi i βj oraz ∆ij mówimy, Ŝe rozwiązanie jest optymalne jeśli wszystkie delty są niedodatnie. Jeśli któraś z nich jest zerowa to mamy więcej rozwiązań optymalnych. JeŜeli choć jedna delta jest dodatnia to wprowadzenie na tej trasie przewozu zwiększy nam zysk pośrednika.
6. Czasami konieczne jest zablokowanie jakiejś trasy, jeśli przewóz na niej nie jest dozwolony lub chcemy zaspokoić w pełni popyt odbiorcy (wtedy blokujemy odpowiadającą mu podaŜ fikcyjnego dostawcy) albo musimy odebrać całą podaŜ jakiegoś dostawcy (blokada odpowiadającego mu popytu fikcyjnego odbiorcy).
Zablokować trasę moŜna przez przypisanie jej bardzo duŜego kosztu albo bardzo duŜej straty w zadaniu pośrednika.
