Iloczyn skalarny interpretacja geometryczna(powt.)

Iloczyn skalarny (powt.)

DEFINICJA:

MNiech V będzie przestrzenią wektorową. Iloczyn skalarny w V to dowolna funkcja h. . . , . . .i : V × V → R spełniająca warunki:

• (niezerowość) hv, vi > 0 dla v 6= O,

• (symetria) hu, vi = hv, ui,

• (addytywność) hu + w, vi = hu, vi + hw, vi,

• (multyplikatywność) hau, vi = a · hu, vi. Nasz główny przykład: iloczyn skalarny w Rⁿ:

h (x¹, x2, . . . , xn) , (y¹, y2, . . . , yn) i ^def=

n

X

i=1

xi · yⁱ

DEFINICJA:

MPrzestrzeń Rⁿ z iloczynem skalarnym zdefiniowanym jak wyżej nazywamy przestrzenią euklidesową i oznaczamy Eⁿ.

Wykład 11, 6 I 2009, str. 2

Iloczyn skalarny — interpretacja geometryczna (powt.)

Fakt: Iloczyn skalarny vektorów na płaszczyźnie jest równy iloczynowi ich długości i kosinusa kąta między nimi.



1

. . .. ............. .. .. ............. ................. ................ ............... . ...............

. .. .. .. . .. .. . .. .. . .. . .. . .. .. ........... . .. . ...............

α

β u

v

hu, vi = |u| · |v| · cos(α − β)

Iloczyn skalarny — interpretacja geometryczna (powt.)

Fakt:

MOstatni fakt uogólnia się na wektory w dowolnej Eⁿ; to znaczy iloczyn skalarny dwóch wektorów w Eⁿ jest równy iloczynowi ich długości i kosinusa kąta między nimi.

Wniosek:

MDwa wektory u i v są prostopadłe wtedy i tylko wtedy gdy hu, vi = 0. Niech u = (u¹, u2, . . . , un) ∈ Eⁿr{O}. Wtedy hiperpłaszczyzna prosto- padła do u przechodząca przez O określona jest wzorem

n

x ∈ Eⁿhu, xi = 0^o =

= ⁿ(x1, x2, . . . , xn) ∈ Eⁿu1x1 + u²x2 + . . . + uⁿxn = 0^o

Wykład 11, 6 I 2009, str. 4

Iloczyn skalarny — interpretacja geometryczna (powt.)

Dla n = 2 (czyli na płaszczyźnie):

L_⊥u = ⁿx ∈ E²hu, xi = 0^o = ⁿ(x1, x2) ∈ Eⁿu1x1+ u²x2 = 0^o oznacza prostą:



HHHH

HHHH

HHHH

HHHH

HHH u

L_⊥u

Iloczyn skalarny — interpretacja geometryczna (powt.)

Fakt:

MDługość wektora v = (v¹, v2, . . . , vn) ∈ Eⁿ wynosi

|v| =

v u u t

n

X

i=1

vi² = ^qhv, vi

Fakt:

MJeśli u ∈ Eⁿr {O}, to 1

|u| · u jest wektorem jednostkowym (czyli o długości 1) współliniowym z u.

Wykład 11, 6 I 2009, str. 6

Równania hiperpłaszczyzn

Sposoby opisu hiperpłaszczyzny w Rⁿ:

• Równanie normalne:

Jako jądro przekształcenia liniowego Rⁿ → R:

n

x ∈ Rⁿf(x) = 0^o = ⁿx ∈ Rⁿha, xi = 0^o gdzie f : Rⁿ → R jest jakimś przekształceniem liniowym;

a ∈ Rⁿ jest jakimś wektorem.

• Równanie parametryczne:

Jako obraz przekształcenia liniowego R^k → Rⁿ:

ng(x)x∈ R^ko = ⁿB × xx ∈ R^ko

gdzie g : R^k → Rⁿ jest jakimś przekształceniem liniowym;

B jest jakąś macierzą o wymiarach n× k.

Równanie normalne

Równanie normalne prostej w E² prostopadłej do wektora n 6= O, przechodzącej przez punkt p:

n

x ∈ E²hx − p, ni = 0^o

=

(

(x1, x2) ∈ E²

(x¹ − p¹)n¹+ (x² − p²)n² = 0

) p *n

xU

Równanie normalne płaszczyzny w E³ prostopadłej do wektora n 6= O, przechodzącej przez punkt p:

n

x ∈ E³hx − p, ni = 0^o

= ⁿ(x¹, x2, x3) ∈ E³(x¹ − p¹)n¹+ (x² − p²)n² + (x³ − p³)n³ = 0^o

Wykład 11, 6 I 2009, str. 8

Równanie parametryczne

Równanie parametryczne prostej w E^k (dowol- ne k) o wektorze kierunkowym n 6= O, przecho- dzącej przez punkt p:

n

p + t · nt ∈ R^{o p *n}

Równanie parametryczne płaszczyzny w Eⁿ o wektorach kierunkowych n₁ 6= O i n₂ 6= O, przechodzącej przez punkt p:

n

p + t · n1 + u · n2

t, u ∈ R^o

Równania hiperpłaszczyzn

W E²: równanie

n1x1 + n2x2 + r = 0 gdzie(n1, n2) 6= (0, 0)

przedstawia prostą. Ta prosta jest prostopadła do wektora n = (n¹, n2).

W E³: równanie

n1x1 + n2x2 + n3x3 + r = 0 gdzie(n1, n2, n3) 6= (0, 0, 0) przedstawia płaszczyznę. Ta płaszczyzna jest prostopadła do wektora n = (n¹, n2, n3).

Wykład 11, 6 I 2009, str. 10

Równania hiperpłaszczyzn

Równanie prostej w E² przechodzącej przez dwa różne punkty p = (p¹, p2) i q = (q¹, q2):

x1 x2 1 p1 p2 1 q1 q2 1

= 0

Równanie płaszczyzny wE³ przechodzącej przez trzy niewspółlniowe punkty p = (p¹, p2, p3), q = (q¹, q2, q3) i r = (r¹, r2, r3):

x1 x2 x3 1 p1 p2 p3 1 q1 q2 q3 1 r1 r2 r3 1

= 0

Rzutowanie

TWIERDZENIE:

MNiechu, v ∈ Eⁿ przy czym u6= O. Wtedy

• rzut wektora v na prostą wyznaczoną przez wektor u:

v_ku ^def= hv, ui hu, ui · u

• rzut wektora v na hiperpłaszczyznę prostopadłą do wektora u:

v_⊥u ^def= v− hv, ui hu, ui · u

ZZ ZZ









. ............. ............α

u

v v_ku

v_⊥u

* 7

7 ZZ

ZZ ZZ

ZZ Z

~

hv, ui hu, ui · u

= |v| · |u| · cos α

|u|² · u = |v| · cos α

|u| · u

= |vku| · 1

|u| · u = vku

Wykład 11, 6 I 2009, str. 12

Odległość punktu od hiperpłaszczyzny

Rzut wektora v na hiperpłaszczyznę prostopadłą do wektora u:

v_⊥u ^def= v − hv, ui hu, ui · u

Wyliczenie odległości r vektora v od hiperpłaszczyzny wyznaczonej przez wektor u:

r² =

= hv − v^⊥u, v − v^⊥ui

=

*hv, ui

hu, ui · u , hv, ui hu, ui · u

+

= hv, ui²

hu, ui² · hu, ui = hv, ui² hu, ui

Odległość punktu od prostej na płaszczyźnie

Prosta: L = ⁿ(x, y)ax+ by = 0^o = ⁿ(x, y)h(a, b), (x, y)i = 0^o. Odległość punktu (p, q) od tej prostej:

r =

=

v u u

th(a, b), (p, q)i² h(a, b), (a, b)i

= | h(a, b), (p, q)i |

qh(a, b), (a, b)i

= |ap + bq|

√a² + b²

Wykład 11, 6 I 2009, str. 14

Odległość punktu od płaszczyzny w R

Płaszczyzna:

L = ⁿ(x, y, z)ax+ by + cz = 0^o

= ⁿ(x, y, z)h(a, b, c), (x, y, z)i = 0^o

Odległość punktu (p, q, r) od tej płaszczyzny:

r =

=

v u u

th(a, b, c) , (p, q, r)i² h(a, b, c) , (a, b, c)i

= | h(a, b, c) , (p, q, r)i |

qh(a, b, c) , (a, b, c)i = |ap + bq + cr|

√a² + b² + c²