17. Planimetria i stereometria

(1)

Materiały dydaktyczne na zajęcia wyrównawcze z matematyki dla studentów pierwszego roku kierunku zamawianego

Biotechnologia

w ramach projektu „Era inżyniera – pewna lokata na przyszłość”

(2)

17. Planimetria i stereometria

17.1. Figury na płaszczyźnie

Oznaczenia: P – pole powierzchni, L – obwód.

Figura Rysunek Wzory

trójkąt P =

¹₂

ah

a – długość podstawy, h – wysokość

P =

¹₂

ab sin α

α – miara kąta pomiędzy bokami a i b

równoległobok P = ah

a – długość podstawy, h – wysokość

jeśli równoległobok jest rombem, to P =

¹₂

d

1

· d

2

d

₁

, d

₂

– długości przekątnych

trapez P =

¹₂

(a + b)h

a, b – długości podstaw, h – wysokość

koło P = πr

²

L = 2πr

r – długość promienia

elipsa P = πab

a, b – długości półosi (ognisk)

• twierdzenie Talesa:

^a_b

=

_d^c

• twierdzenie sinusów:

_{sin α}^a

=

_{sin β}^b

=

_{sin γ}^c

(3)

• okrąg opisany na trójkącie R =

_{2 sin α}^a

lub R =

^abc_4P

P – pole trójkąta

17.2. Bryły

Oznaczenia: V – objętość, P

_p

– pole powierzchni.

Bryła Rysunek Wzory

graniastosłup V = P · h

P – pole podstawy, h – wysokość

ostrosłup V =

¹₃

P · h

P – pole podstawy, h – wysokość

kula V =

⁴₃

πR

³

P

p

= 4πR

²

R – długość promienia

walec V = πr

²

h

P

_p

= 2πr

²

+ 2πrh

r – promień podstawy, h – wysokość

stożek V =

¹₃

πr

²

h

P

_p

= πr

²

+ πrl

r – promień podstawy, h – wysokość, l – tworząca

(4)

17.3. Zadania

1. O ile procent wzrośnie pole koła, jeśli jego obwód zwiększymy o 10%.

2. Obliczyć pole trapezu równoramiennego o podstawach o długości 10 i 4 oraz kącie przy podstawie 60

^◦

.

3. Obliczyć pole trapezu prostokątnego o wysokości 3 cm, w którym przekątne mają długość 3 √ 3 cm i 4 cm.

4. Obliczyć pole trójkąta prostokątnego wpisanego w okrąg o promieniu 5 cm, w którym stosunek przyprostokątnych wynosi 3:4.

5. Obliczyć pole trójkąta równoramiennego ABC, w którym kąt przy wierzchołku C wynosi 120

^o

, a bok BC ma długość 4 cm.

6. Na pewnym kole opisano kwadrat i w to koło wpisano kwadrat. Różnica pól tych kwadratów jest równa 5cm

²

. Obliczyć pole koła.

7. Wysokość dzieli podstawę trójkąta na odcinki o długościach 14 cm i 36 cm. Prostopadle do pod- stawy poprowadzono prostą, która dzieli trójkąt na ﬁgury o równych polach. Jakie są długości odcinków, na które dzieli ta prosta podstawę trójkąta?

8. Obliczyć pole trójkąta równobocznego mając daną różnicę d między bokiem i wysokością tego trójkąta.

9. Pole trójkąta prostokątnego wynosi 600 cm

²

, zaś stosunek przeciwprostokątnej do jednej z przy- prostokątnych 5 : 4. Obliczyć obwód trójkąta.

10. Bok rombu ma długość 4 cm, a jeden z kątów ma miarę

^π₃

. Obliczyć pole i długości przekątnych rombu.

11. Stojące na brzegu rzeki drzewo o wysokości 12 metrów rzuca cień równy szerokości rzeki. W tym samym czasie patyk o wysokości 20 cm rzuca cień o długości 35 cm. Jaka jest szerokość rzeki?

12. W trapezie krótsza podstawa wynosi 2, zaś ramiona mają długość 6 i 9. Ramiona trapezu przedłu- żono tak, iż powstał trójkąt. Oblicz obwód trójkąta wiedząc, że ramię trapezu o długości 6 zostało przedłużone o odcinek długości 4.

13. Boki trójkąta mają długości 3, 5 i 7. Obliczyć wartości sinusów kątów wewnętrznych tego trójkąta.

14. Koło, kwadrat i trójkąt foremny mają równe pola. Znaleźć stosunek ich obwodów.

15. W pewnym wielokącie jest o 13 przekątnych więcej niż w wielokącie, który ma o 2 boki mniej. Ile boków ma ten wielokąt?

16. Przekrój osiowy stożka jest trójkątem równobocznym, którego pole jest równe 16 √

3 cm

²

. Obliczyć

(5)

20. Najdłuższa przekątna prawidłowego graniastosłupa sześciokątnego ma długość d i tworzy z krawę- dzią boczną kąt α. Obliczyć objętość graniastosłupa.

21. Przekątna przekroju osiowego walca ma długość 5, a stosunek promienia podstawy walca do jego wysokości wynosi

²₃

. Obliczyć objętość i pole powierzchni całkowitej walca.

22. Obliczyć objętość walca o promieniu podstawy r = 2 √

³

3 cm i wysokości h = √

³

3 cm.

23. Obliczyć długość przekątnej sześcianu o boku 3.

24. Podstawą ostrosłupa jest trójkąt równoboczny o boku a. Jedna z krawędzi bocznych jest prosto- padła do płaszczyzny podstawy, pozostałe dwie tworzą z płaszczyzną podstawy kąt β. Która ze ścian bocznych ma największe pole? Obliczyć to pole.

25. W prawidłowym ostrosłupie trójkątnym krawędź podstawy ma długość a i tworzy z krawędzią boczną kąt α. Obliczyć objętość i pole powierzchni całkowitej ostrosłupa.

26. Prawidłowy ostrosłup czworokątny przecięto płaszczyzną zawierającą przekątną podstawy i wyso- kość ostrosłupa. W przekroju otrzymano trójkąt prostokątny. Obliczyć pole powierzchni bocznej ostrosłupa, jeśli krawędź podstawy ma długość a.

27. Podstawą ostrosłupa jest trójkąt równoramienny prostokątny o przyprostokątnej a. Wszystkie kra- wędzie boczne są równe b. Obliczyć objętość ostrosłupa.

28. Jak zmieni się objętość stożka, gdy:

a) wysokość zwiększymy 2 razy,

b) promień podstawy zwiększymy 3 razy, a wysokość zmniejszymy 9 razy?

29. Obliczyć objętość i pole powierzchni bocznej walca o promieniu podstawy r = √

3 cm i wysokości h = 4 cm.

30. Obliczyć objętość pnia drzewa w kształcie walca o promieniu 50 cm i wysokości 10 m.

31. Wyznaczyć wysokość stożka o promieniu 3 cm, którego objętość jest równa 24π cm

³

. 32. Obliczyć pole powierzchni i objętość kuli opisanej na sześcianie o boku 1.

33. Wysokość ostrosłupa prawidłowego czworokątnego ma długość 5 √

6, a krawędź podstawy 10. Ob- liczyć długość krawędzi bocznej i znaleźć miarę kąta jaki tworzy krawędź boczna z płaszczyzną podstawy.

34. W ostrosłupie prawidłowym czworokątnym krawędź boczna ma długość 5, a przekątna podstawy ma długość 2. Obliczyć jego objętość i pole powierzchni całkowitej.