Niech K będzie płaskim lub przestrzennym łukiem gładkim o parametryzacji:

CAŁKA KRZYWOLINIOWA NIESKIEROWANA

Niech K będzie płaskim lub przestrzennym łukiem gładkim o parametryzacji:



  

 

 









t t

z z

t y y

t x x K

) (

) (

) ( :

Uwaga: Założenie gładkości ( x tzn. posiada długość)

Oznaczenia

 P  { t

₀

, t

₁

,..., t

_n

} , gdzie podprzedziałów.

 ( ) max {

₁

}

1







_{i i}

n

i

t t

d P średnia podziału

Podział P indukuje podział krzywej punktami

 w każdym z przedziałów Punktom t

_k^

odpowiadają punkty Oznaczmy przez  l

_k

  r

_k

długość łuku

    



 

 



k

k

t

t

k

x t y t

l

1

( )

(

²

Niech f będzie funkcją ograniczoną na łuku gładkim

Def. Całkę krzywoliniową niezorientowaną funkcji

wzorem:  ^

_d

K

dl z y x

f ( , , )

(

lim

P

skończona i nie zależy od podziału Dokładniej: ^I   ^{f x y}

K

, , (

Z definicji całki krzywoliniowej nieskierowanej i z własności granic otrzymujemy własności (przy założeniu istnienia odpowiednich całek):

 f g dl f dl g dl

K K

K

 

 ^{(  )  }

 cf dl c f dl c R

K K



 

 ^{( )}

CAŁKA KRZYWOLINIOWA NIESKIEROWANA

będzie płaskim lub przestrzennym łukiem gładkim o parametryzacji:

 (wektorowo r   r  ( t );   t   )

1 ]

)

[

( ), ( ),

( t y t z t C

_

x ) gwarantuje prostowalność

, gdzie   t

₀

 t

₁

 ...  t

_n

  oznacza podział odcinka

średnia podziału

indukuje podział krzywej punktami A

_k

r  ( t

_k

)



w każdym z przedziałów [ t

_k1

, t

_k

] wybieramy punkt pośredni t

_k^

 [ odpowiadają punkty A

_k^

na krzywej.

długość łuku A

_k1

A

_k

.

   



 

 

k

k

t

t

dt t r dt t z

1

) ( )

(

)

^{2 2}



będzie funkcją ograniczoną na łuku gładkim K.

. Całkę krzywoliniową niezorientowaną funkcji f po łuku K definiujemy (niezbyt precyzyjnie

  _  







 





 

ⁿ



k

k d k

n k

k

k

l f r t r

A f

0 1 ) 1 (

0

)

lim ( )

lim 

P

P

o ile granica powyższa jest

skończona i nie zależy od podziału P i od wyboru punktów pośrednich.







     



 



t r f d

t dl

z

ⁿ

k k

1

*

} ( ) (

{ )

, 

P P

Z definicji całki krzywoliniowej nieskierowanej i z własności granic otrzymujemy własności (przy założeniu istnienia odpowiednich całek):

dl g

prostowalność łuku (prostowalny,

podział odcinka [    ] na n

] ,

[ t

_k1

t

_k

k  1 ,..., n .

definiujemy (niezbyt precyzyjnie) o ile granica powyższa jest

 ^{   }



r I

t

_k

)

_k

.

Z definicji całki krzywoliniowej nieskierowanej i z własności granic otrzymujemy następujące

 ^{   } 

K

m

f dl

K K

K

₁

...

Tw. (o zamianie całki krzywoliniowej nieskierowanej na całkę Riemanna) Niech: f będzie funkcją

Wówczas  ^ 

^



t r f dl r f

K

( ( )

(  

W szczególności dla n=3 (przypadek krzywej przestrzennej) mamy





 ^{ }

^







f dt t r t r f dl r f

K

'

( ) )) ( ( )

(   

Równania parametryczne niektórych łuków:

1. Odcinek o końcach A ( x

₁

, y

₁

 

 





















) (

) (

) (

) (

) (

) (

1 2 1

1 2 1

1 2 1

z z t z t z

y y t y t y

x x t x t x

0 

2. Okrąg o środku S ( x

₀

, y

₀

) i promieniu R

 











t R y t y

t R x t x

sin )

(

cos )

(

0

0

0  t 

3. Elipsa o środku S ( x

₀

, y

₀

) i półosiach

 











t b y t y

t a x t x

sin )

(

cos )

(

0

0

0  t 

4. linia śrubowa o skoku k nawinięta na walec

 

 













t t z

t R y t y

t R x t x

h 2

0 0

) (

sin )

(

cos )

(

Zadanie. Sparametryzować krzywą Vivaniego Przykład. obliczyć 

K

ydl

x

²

, gdzie

 I parametryzacja:

 



sin 2 ( sin cos

0

2

   



^{ }



t t ydl

x

K

 

_



^m

i K

dl f dl

1 i

, K ,...,

₁

K

_m

- łuki gładkie

. (o zamianie całki krzywoliniowej nieskierowanej na całkę Riemanna) będzie funkcją ciągłą na łuku gładkim K o parametryzacji

dt t r t )) 

^'

( )

.

=3 (przypadek krzywej przestrzennej) mamy

 x t y t z t   x  t    y  t    z ^ t  dt f ( ), ( ), ( ) ( )

²

( )

²

( )

²

Równania parametryczne niektórych łuków:

) ,

₁

1

z B ( x

₂

, y

₂

, z

₂

)

 1

 t

i promieniu R



 2

i półosiach a, b



 2

nawinięta na walec

. Sparametryzować krzywą Vivaniego

, gdzie K – cześć okręgu x

²

 y

²

 4 w I-szej ćwiartce

0 2 sin

2 cos

2 



 

 



 t

t y

t x

3 sin 16

cos 16 )

cos 2 ( ) sin

0 2

2

  

^{ }





tdt t dt

t t

o parametryzacji r   r  ( t );   t   .

szej ćwiartce

 II parametryzacja:



 



1 4

2 0

2 2 2

2

 



 



 

 ^{x ydl t t}

K

Zastosowania

 masa łuku materialnego o gęstości liniowej

 momenty statyczne i współrzędne środka masy łuku materialnego





K

XOY

z z y z dl

M  ( , , ) M

środek masy

m x

_c

 M

^YOZ

 natężenie pola grawitacyjnego wytworzonego przez łuk materialny

 natężenie pola elektrostatycznego wytworzonego przez łuk materialny naelektryzowany ładunkiem o gęstości liniowej

CAŁKA KRZYWOLINIOWA SKIEROWANA (ZORIENTOWANA)

Jeżeli na łuku K określono początek i koniec (czyli kierunek) to łuk nazywamy o orientacji przeciwnej do K będziemy oznaczać:

łuku zgodnie z orientacją, to parametryzację nazwiemy zgodną z orientacją 2

4

²

0  



 







 t

t y

t x

3 2 16

4 2

2

²

0 2 2

2

   





 ^dt  ^{t dt}

t t

masa łuku materialnego o gęstości liniowej  ( x , y , z ) ^ 

K

dl z y z m  ( , , ) momenty statyczne i współrzędne środka masy łuku materialnego





K

XOZ

y z y z dl

M  ( , , ) ^ 

K

YOZ

x z y z dl

M  ( , , )

m

y

_c

 M

^XOZ

m z

_c

 M

^XOY

natężenie pola grawitacyjnego wytworzonego przez łuk materialny

natężenie pola elektrostatycznego wytworzonego przez łuk materialny naelektryzowany ładunkiem o gęstości liniowej  : ^  _ ^

 K

dr r r

r r

E r ( )

4 1

3 0

0









 

 

CAŁKA KRZYWOLINIOWA SKIEROWANA (ZORIENTOWANA)

określono początek i koniec (czyli kierunek) to łuk nazywamy zorientowanym będziemy oznaczać: -K. Jeżeli ze wzrostem parametru poruszamy się po parametryzację nazwiemy zgodną z orientacją.

) (t r

r      t   A

r (  )  początek

 

 parametryzacja zgodna B

r (  )  koniec

Powyższy sposób rozróżnienia orientacji nie stosuje się do krzywych zamkniętych, gdyż początek krzywej zamkniętej pokrywa się z jej końcem

Umowa. Orientację płaskiej krzywej zamkniętej uznajemy za dodatnią jeżeli poruszając się po krzywej zgodnie z orientacją mamy wnętrze obszaru ograniczonego przez krzywą po lewej stronie (inaczej - przeciwnie do ruchu wskazówek zegara)

dl

natężenie pola elektrostatycznego wytworzonego przez łuk materialny naelektryzowany

CAŁKA KRZYWOLINIOWA SKIEROWANA (ZORIENTOWANA)

zorientowanym. Łuk . Jeżeli ze wzrostem parametru poruszamy się po

parametryzacja zgodna

Powyższy sposób rozróżnienia orientacji nie stosuje się do krzywych zamkniętych, gdyż początek krzywej zamkniętej pokrywa się z jej

. Orientację płaskiej krzywej zamkniętej uznajemy za poruszając się po krzywej zgodnie z orientacją mamy wnętrze obszaru ograniczonego przez krzywą po lewej stronie-

przeciwnie do ruchu wskazówek zegara)

Płaskie pole wektorowe w obszarze

 ( , ), ( , )

,

( x y P x y Q x y

F  

Przestrzenne pole wektorowe w obszarze

 ( , , ), )

, ,

( x y z P x y z Q

F  

Jeżeli składowe P,Q,R są ciągłe, to pole wektorowe nazywamy ciągłe pochodne cząstkowe, to pole nazywamy

Oznaczenia

 K – łuk zorientowany o parametryzacji

 P  { t

₀

, t

₁

,..., t

_n

}   t

₀

 t

₁

 d (P ) - średnica podziału

 t

_k^*

 [ t

_k1

, t

_k

] k  1 ,..., n - punkty pośrednie

A

_i

 r  ( t

_i

) i  0 ,..., n , A

_k^

 r  ( t

_k^

)

, k=1,..,n

  r 

_k

 r  ( t

_k

)  r  ( t

_k1

) Def. Niech F 

będzie płaskim lub przestrzennym polem wektorowym na łuku zorientowanym Całka krzywoliniowa zorientowana (skierowana) pola wektorowego

K definiujemy wzorem:

 ^

^df_{d }

K

r d

F 

(

lim

) 0

 

P

o ile granica jest skończona i nie zależy od podziału Po rozpisaniu na współrzędne mamy dla

n=2 

K

r d

F 

 

=  ^

K

Q dx y x P ( , )

n=3 

K

r d

F 

 

=  ^

K

dx z y x P ( , , ) Interpretacja fizyczna



K

r d

F 

 

- praca pola F 

Własności (z definicji całki i granic

 _  ^  ^ _ ^ _

K K

K

G r d F r d G

F 

 

 

 

w obszarze D  R

²

to funkcja wektorowa



) y .

w obszarze V  R

³

to funkcja wektorowa



) , , ( ), , ,

( x y z R x y z

Q .

są ciągłe, to pole wektorowe nazywamy ciągłym, a jeżeli składowe ciągłe pochodne cząstkowe, to pole nazywamy różniczkowalnym w sposób ciągły

łuk zorientowany o parametryzacji r   r  ( t ) t  [  ,  ]

zgodnej z orientacją.







 ... t

_n

- podział,

punkty pośrednie

będzie płaskim lub przestrzennym polem wektorowym na łuku zorientowanym Całka krzywoliniowa zorientowana (skierowana) pola wektorowego F 

po łuku zorientowanym

  

 n



k

F r t

k

r

k 1

*

)

( 

 

o ile granica jest skończona i nie zależy od podziału P wyboru punktów pośrednich.

Po rozpisaniu na współrzędne mamy dla dy y x

Q ( , ) F   ( Q P , )

) , ( dx dy r

d  



 Q ( x , y , z ) dy R ( x , y , z ) dz , F   ( P , Q , R ) ,

(zmiennej siły) na drodze K.

(z definicji całki i granic – przy założeniu istnienia całek):

r d

G 

 

, a jeżeli składowe P,Q,R mają różniczkowalnym w sposób ciągły (klasy C

¹

).

zgodnej z orientacją.

będzie płaskim lub przestrzennym polem wektorowym na łuku zorientowanym K.

po łuku zorientowanym

wyboru punktów pośrednich.

) , , ( dx dy dz r

d  

 _   ^ _

K K

r d F c r d F

c 

 

 



  ^{ } 

K K

r d F r

d

F 

 

 



 K  K

₁

 ...  K

_n

przy czym koniec

 ^  

_ⁿ

i K

K i

F r

d F

1

 

 

Tw.(o zamianie całki krzywoliniowej zorientowanej na całkę Riemanna). Jeżeli jest ciągłe na zorientowanym

orientacją, to  ^ 

^





r F r d F

K

 

 



Po rozpisaniu na współrzędne mamy

n=2  ^{ } 

^



dy y x Q dx y x P

K

) , ( ) , (

n=3  

K

z y x Q dx z y x

P ( , , ) ( , ,

 

 

^{ }







Q t x t z t y t x

P (), (), () ()

Tw. (Greena dla n  2 przypadek plaski , będzie uogólnienie dla n=3 Jeżeli funkcje P i Q są klasy

jest krzywa C skierowana dodatnio względem wnętrza, to



 ^{  } _ ^{ } _ ^

D

C

x

Qdy Q Pdx

Dow (szkic):

Wystarczy pokazać, że  ^ _

D

y dxdy P

przy czym koniec K = początek

_i1

K

_i

r

d

F 

 

.(o zamianie całki krzywoliniowej zorientowanej na całkę Riemanna). Jeżeli na zorientowanym łuku gładkim K o parametryzacji r   t r  ( )

 ^{r  dt t}

t

r ( )  ( )

 

.

rozpisaniu na współrzędne mamy

   

 

 ^{  }





dt t y t y t x Q t x t y t x

P ( ), ( ) ( ) ( ), ( ) ( )



 R x y z dz dy ( , , ) )



xt y t zt



yt R



xt y t zt



z t



dt Q (), (), () () (), (), () '()

przypadek plaski , będzie uogólnienie dla n=3- tw. Stokesa)

są klasy C

¹

w obszarze D normalny względem obu osi, którego brzegiem skierowana dodatnio względem wnętrza, to

 





 dxdy y

P .







C

Pdx

dxdy oraz  ^ _ ^ 

C D

Qdy x dxdy

Q

K

g

- górna krzywa

K

d

- dolna krzywa

.(o zamianie całki krzywoliniowej zorientowanej na całkę Riemanna). Jeżeli pole wektorowe F  ]

, [  



t zgodnej z

tw. Stokesa)

normalny względem obu osi, którego brzegiem

 







 







 



  



^b

a x

x D

dx y dy dxdy P

y

P

^{( )}

) (







 ^



b a b

a

x x P dx x x

P ( ,  ( )) ( ,  ( ))

Twierdzenie Greena pozostaje prawdziwe dla obszarów jednospójnych i wielospójnych dających się podzielić na skończoną ilość obszarów

Przykład. Obliczyć  ^

K

xdy dx xy

 ¹

1 0

2

 





 

 ^{xy dx xdy t t t}

K

Przykład. Obliczyć  ^

K

x dx

xy

^{2 2}

 I sposób (zamiana całki krzywoliniowej na całkę pojedynczą)):

 2 sin 0

cos

1  

 







 t

t y

t

x

 II sposób (z tw. Greena) 2

2

(

2

    

 ^{xy dx x y dy xy}

D K

Uwaga . (ciekawe zastosowanie wzoru Greena).Jeżeli we wzorze Greena przyjmiemy a Q ( x , y ) 

₂¹

x to otrzymamy

ten znalazł zastosowanie w planimetrze Amslera.

   

 

^b

a

dx x x P x x

P ( ,  ( )) ( ,  ( ))





 ^{  }



K K C

Pdx dx

y x P dx y x P dx

d g

) , ( )

, ( ))

Twierdzenie Greena pozostaje prawdziwe dla obszarów jednospójnych i wielospójnych dających się podzielić na skończoną ilość obszarów normalnych.

Po dzielących łukach całkujemy dwa razy w różne strony, czyli w efekcie całki zniosą się. W efekcie tego otrzymamy



 ^{  } _ ^{ } _ ^{ } _

K D

K

y

P x Qdy Q

Pdx

2 1

xdy

łuk paraboli

 





 y x

  ²  ¹⁶ ₃

2

1 0

2 2

3

 



 ^{t dt}  ^{t t dt}

t

dy y

I sposób (zamiana całki krzywoliniowej na całkę pojedynczą)):

²

 ^{( 1 cos ) sin ( sin ) ( 1 cos ) sin cos}

0

2

2

  



^

 ^{t t t t t t}

0 4

)

2   

 ^{xy dxdy}  ^{xy dxdy}

D

Uwaga . (ciekawe zastosowanie wzoru Greena).Jeżeli we wzorze Greena przyjmiemy to otrzymamy

₂¹

ydx xdy | D |

K





  - pole obszaru ograniczonego krzywą K. Fakt ten znalazł zastosowanie w planimetrze Amslera.

K1

K2

Twierdzenie Greena pozostaje prawdziwe dla obszarów jednospójnych i wielospójnych dających się

Po dzielących łukach całkujemy dwa razy w różne strony, czyli w efekcie całki zniosą się. W efekcie

 

 dxdy y P

1

2

0  



 t

t t

 ^{dt  0}

t

Uwaga . (ciekawe zastosowanie wzoru Greena).Jeżeli we wzorze Greena przyjmiemy P ( x , y )  

₂¹

y

pole obszaru ograniczonego krzywą K. Fakt

CAŁKI POWIERZCHNIOWE

Rozważmy funkcję wektorową

Niech

 D – prostokąt domknięty (lub obszar domknięty jednospójny)

 funkcja wektorowe r   r  ( u ,

Def. Płatem powierzchniowym prostym nazywamy zbiór wektorową r  ( v u , )

nazywamy parametryzacją płata Def. Zbiór S w przestrzeni R

³

taki, że każdy jego punkt

) , ( r x

K S), które jest płatem prostym, nazywamy płatem powierzchniowym.

Def. Płat powierzchniowy S 

kawałkami gładkim (różniczkowalnym), a funkcja wektorowa (parametryzacja) różnowartościowa i różniczkowalna w sposób ciągły na

powierzchniowym, gdy na zbiorze

,



 





 

 





_uvD

 r

_u

r v

r u r

I

NTERPRETACJA

r  

_u

r 

_v

, ( ) , ( ) ,

( u

₂

v

₁

r u

₁

v

₁

r u

₁

v

₁

r     

_u

CAŁKI POWIERZCHNIOWE

r  : R

²

 D  R

³

r  ( u , v )   x ( u , v ), y ( u , v ), z ( u ,

prostokąt domknięty (lub obszar domknięty jednospójny) D

v u v ) ( , ) 

, ciągła i różnowartościowa

chniowym prostym nazywamy zbiór S  { r  ( u , v ) : ( nazywamy parametryzacją płata

taki, że każdy jego punkt xS ma otoczenie domknięte (czyli zbiór e jest płatem prostym, nazywamy płatem powierzchniowym.

} ) , ( : ) , (

{ r u v u v  D

 

, gdzie D – obszar domknięty z brzegiem kawałkami gładkim (różniczkowalnym), a funkcja wektorowa (parametryzacja)

ościowa i różniczkowalna w sposób ciągły na D nazywamy gdy na zbiorze D jest spełniony warunek:

0 

 

_v

r

)

)( u

₂

 u

₁

(z wzoru Taylora)



) v

} ) ,

( u v  D . Funkcję

ma otoczenie domknięte (czyli zbiór e jest płatem prostym, nazywamy płatem powierzchniowym.

obszar domknięty z brzegiem kawałkami gładkim (różniczkowalnym), a funkcja wektorowa (parametryzacja) r  ( v u , )

jest nazywamy gładkim płatem

) , ( u

₁

v

₁

r A  

) , ( u

₁

v

₂

r

B  

)

,

( u

₂

v

₁

r

C  

)(

, ( ) , ( ) ,

( u

₁

v

₂

r u

₁

v

₁

r u

₁

v

₁

v

r     

_v

 ^{r  ( u}

₂

^{, v}

₁

^{)  r  ( u}

₁

^{, v}

₁

⁾   ^{ r  ( u}

₁

^{, v}

₂

^{) }

dudv r r S

d  ( 

_u



_v

)





v u

v u

r r

r n r  



 



  - wersor (wektor jednostkowy) normalny

dudv r r S d

dS  

_u



_v







Przypomnienie: pole płata S 

W szczególności jeżeli płat jest wykresem funkcji :

 

 









) , ( v u f z

v y

u x

( u , v )  D

 



 

 

 





 

 

 







 

 



1 0

0 1

v f u f k j i r r 

_u



_v

Równania parametryczne ważniejszych płatów

a) płaszczyzna przechodząca przez punkt ]

, , [ a

_x

a

_y

a

_z

a  

i b   [b

va ua z z

vb ua y y

vb ua x x

z z

y y

x x

 



 





















0 0 0

b) sfera o środku w ( 0 , 0 , 0 )

v u v

R z

v u R y

v u R x







 

 









[ 0 [ sin

cos sin

cos cos

1

)

2

v

v 

 ^{( ) ( )( )}

) ,

( u

₁

v

₁

r r u

₂

u

₁

v

₂

v

₁

r 

_u



_v

  

   

wersor (wektor jednostkowy) normalny

 ^

D v

u

r dudv

r  

W szczególności jeżeli płat jest wykresem funkcji : z  f ( y x , ) , to

 

 



 

u r 

_u

1 , 0 , f

 

 



 

v r 

_v

0 , 1 , f

 

 



 



  , , 1 v f u f

^  ^{ } _ ^ _ ^{ } _ ^{  } _ ^ _ ^{ } _ ^

D

v

f u

S f

2

1

Równania parametryczne ważniejszych płatów

płaszczyzna przechodząca przez punkt r 

₀

 ( x

₀

, y

₀

, z

₀

)

rozpięta na wektorach ]

, ,

_{y z}

x

b b

b

b v a u r v u

r  ( , )  

₀

   

i promieniu R

const R 

 , ] ] 2 , 0

2 2 





 

 dudv

2

rozpięta na wektorach

c) stożek z  k x

²

 y

²

k

) , 0 [

] 2 , 0 sin [

cos







 

 









v u kv z

u v y

u v

x 

d) paraboloida z  k ( x

²

 y

) , 0 [

] 2 , 0 sin [

cos

2

 



 

 









v u kv z

u v y

u v

x 

e) walec x

²

 y

²

 R

²

0 

] , 0 [

] 2 , 0 sin [

cos

H v u v

z

u R y

u R x





 

 







 

Całka powierzchniowa niezorientowana Oznaczenia

 S  { r  ( u , v ) : ( u , v )  D }

- gładki płat powierzchniowy

 P  {  D

₁

,  D

₂

,...,  D

_n

} - podział obszaru

 sup ( , )

,

B A d d

Dk

B k A





 - średnica zbioru

 d ( P )  max{ d

_k

: 1  k  n } - średnica podziału

   {( u

₁^₁

, v

₁^₁

),..., ( u

_n^

, v

_n^

)} (

  - część płata odpowiadająca S

_k

Def. Niech f będzie funkcją ograniczoną na gładkim płacie funkcji f po płacie S definiujemy wzorem:

 0 k

2

)

y k  0

H z 



Całka powierzchniowa niezorientowana

gładki płat powierzchniowy

podział obszaru D na obszary regularne o rozłącznych wnętrzach średnica zbioru D

k

średnica podziału

k k

k

v D

u

^

,

^

)  

( „punkty pośrednie”

część płata odpowiadająca  D

_k

,  S

_k

- pole  S

_k

funkcją ograniczoną na gładkim płacie S. Całkę powierzchniową niezorientowaną definiujemy wzorem:

na obszary regularne o rozłącznych wnętrzach

. Całkę powierzchniową niezorientowaną

 

 

















ⁿ

k k k k

S d S

S v u r f dS

r f dS z y x f

0 1 )

(

lim ( , )

) ( )

, ,

(  

P

o ile ta granica istnieje i jest skończona i nie zależy od podziału P i wyboru punktów pośrednich.

Uwaga. Wartość całki nie zależy od wyboru parametryzacji.

Zastosowania

 Masa płata materialnego o gęstości powierzchniowej  ( x , y , z )





S

dS z y x

m  ( , , ) .

 Momenty statyczne, momenty bezwładności, współrzędne środka masy płata materialnego.

 Natężenie pola elektrostatycznego (lub grawitacyjnego) wytworzonego przez ładunek umieszczony na płacie o gęstości  ( x , y , z ) ^  _ ^

S

dS r r r

r

E r ( )

4 1

3 0

0 0









 

  ^.

Własności

  ^{ }  ^ 

S S

S

dS g dS f dS g

f )

(

  ^ 

S S

fdS c dS cf )

( , c  R

  

_







ⁿ

k S

S

S n k

fdS fdS

... 1

1

Tw.(o zamianie całki powierzchniowej niezorientowanej na całkę podwójną). Jeżeli f jest funkcją ciągłą na gładkim płacie powierzchniowym S  { r  ( u , v ) : ( u , v )  D }

, D – regularny (domknięty, o brzegu kawałkami gładkim), to fdS f  r u v  r r dudv

D

v u

S



 ^{  ( , )    .}

Przykład. Znaleźć siłę z jaką jednorodna powierzchnia boczna części stożka ściętego

 

 









r z

r x

r x



 sin cos

,  (0,), r(b,a)

przyciąga punkt materialny o masie m umieszczony w początku układu współrzędnych.

Rozwiązanie.

R y R

dS m dF

_y

G 

₂

 ,

R z R

dS m dF

_z

G 

₂

 , F

_x

=0 (symetria) R  x

²

 y

²

 z

²

dS z y x F Gmy

S

y





 

2

)

3

(

^{2 2 2}

 =  ^r 

r

 ^r 

_

 ^[  ^{r cos}  ^,  ^{r sin}  ^{, r ]} 

= 

^

 

r rdrd r

Gm

^a

b

sin 2

2

0 3

2

3

  ^{= Gm ln }

^ba

Podobnie dS z y x

z m F G

S

z





 

2

)

3

(

^{2 2 2}

 = 

^



r rdrd r

Gm

^a

b

2

2

0 3

2

3

  ⁼

²¹

^{Gm  ln}

^ba

) , , ( F

_x

F

_y

F

_z

F  

, | F  |  Gm  ln

_b^a

1  (

^₂

)

²

Całka powierzchniowa zorientowana

Płat powierzchniowy, na którym wyróżniono jedną stronę (zwaną dodatnią) nazywać będziemy płatem powierzchniowym zorientowanym.

Przyjmujemy, że wektor normalny

v u

v u

r r

r n r  



 



  zorientowany jest od strony ujemnej do dodatniej).

Uwaga. Nie każdą powierzchnię można zorientować- wstęga Möbiusa jest powierzchnią jednostronną

Niech F   ( P , Q , R )

będzie polem wektorowym na gładkim płacie zorientowanym }

) , ( : ) , (

{ r r u v u v D

S

_

    

.

Oznaczmy dS ( r r ) dudv (cos , cos , cos ) dS ( dydz , dzdx , dxdy ) r

r r dS r

n S

d

_{u v}

v u

v

u

   



 

 ^ _ ^ _ ^{  }   



dS

dydz dS

YOZ

dS 

 pole plata na plata rzutu

cos  pole itd

Def. Całkę powierzchniową zorientowaną pola wektorowego F 

po płacie gładkim zorientowanym S

_

definiujemy wzorem:











S df S

dS r n r F S d r

F ( ) ( )  (  )

 



 

 

Po rozpisaniu na współrzędne





 ^{   }



 S S

S

dxdy z y x R dzdx z y x Q dydz z y x P dS r n r F S d r

F ( ) ( )  (  ) ( , , ) ( , , ) ( , , )

 

 

 



] , , [ P Q R F  

d S   [ dydz , dzdx , dxdy ]  n  dS  [cos  , cos  , cos  ] dS

Interpretacja

 

S

S d

F 

 

- strumień pola wektorowego F 

przez powierzchnię S.

 

S

S d

v 

 

- ilość cieczy przepływającej w jednostce czasu przez płat zorientowany S, jeżeli prędkość cieczy w punkcie ( x , y , z ) jest równa v  ( x , y , z )

.

Własności

1.  ^{ }  ^ 

S S

S

S d G S d F S d G

F 

 

 

 

 

 )

(

2.  ^ 

S S

S d F c S d F

c 

 

 

 ) (

3.  

_







ⁿ

k S

S

S _{n k}

S d F S

d F

... 1

1

 

 

 

4.  ^{ } 

S S

fdS

fdS , gdzie –S jest płatem o orientacji przeciwnej do S

Tw.(o zamianie całki powierzchniowej zorientowanej na całkę podwójną) .Jeżeli pole wektorowe F 

jest ciągłe na gładkim płacie S

_

 { r   r  ( u , v ) : ( u , v )  D } , to

 r u v  r r dudv F

S d r F

D

v u

S



 ^{ }



) ( ) , ( )

(  

 



 

 

.

Po rozpisaniu na współrzędne

 ^{  }

S

dxdy z y x R dzdx z y x Q dydz z y x

P ( , , ) ( , , ) ( , , )









 



























D v

y u y vx u x v u z v u y v u x vx ux

v z uz v u z v u y v u x vz uz

v y u y v u z v u y v u

x

Q R dudv

P ( ) ( ) ( ) )

(

( , ), ( , ), ( , ) ( , ), ( , ), ( , ) ( , ), ( , ), ( , )

Elementy teorii pola

Def. Pole wektorowe F   ( P , Q , R )

nazywamy potencjalnym w obszarze VR

³

, jeżeli istnieje funkcja U: VR, taka, że F grad   U

( tzn. P 

^_^U_x

, Q 

^_^U_y

, R 

^_^U_z

) Skalarną funkcję U nazywamy potencjałem pola wektorowego .

Def. Niech F   ( P , Q , R )

będzie różniczkowalnym polem wektorowym w obszarze VR

³

. Rotacją pola wektorowego F   ( P , Q , R )

nazywamy pole wektorowe

R Q P

k j i

F  

_^_{x }^_{y }^_z

rot = ( , , )

y P x Q x R z P z Q y R



 







 







 





Def. Niech F   ( P , Q , R )

będzie różniczkowalnym polem wektorowym w obszarze VR

³

. Dywergencją pola wektorowego F   ( P , Q , R )

nazywamy skalarne pole (funkcję skalarną) określone wzorem

z R y Q x F P



 



 



  div 

Tw. Gaussa-Ostrogradskiego. Jeżeli

 VR

³

jest obszarem, którego brzeg S jest kawałkami gładkim płatem zamkniętym zorientowanym „na zewnątrz”

 pole wektorowe F   ( P , Q , R )

jest klasy C

¹

w V,

to F d S F dxdydz

V

S



 ^{    div }

Inaczej Pdydz Qdzdx Rdxdy dxdydz

V

z R y Q x P

S



 ^{   (}

^

^

^

^

^

⁾

Strumień pola wektorowego (klasy C

¹

) przez gładką powierzchnię zamkniętą S zorientowaną na zewnątrz jest równa całce potrójnej z F 

div po obszarze V ograniczonym powierzchnią S.

Przykład. Sprawdzić tw. Gaussa w przypadku F   ( 2 x , 2 y , 2 z )

, S

+

: sfera x

²

+y

²

+z

²

=R

²

zorientowana na zewnątrz.

 F d S ( 2 2 2 ) dxdydz 8 R

³

V S









 

 ^{  }

 Bezpośrednie obliczenie 

S

S d

F 

 

parametryzacja r  ( u , v )  ( R cos u cos v , R sin u cos v , R sin v )

, u  [ 0 , 2  ] , v  [ 

^₂

,

^₂

], R  const )

0 , cos cos , cos sin ( ) ,

( u v R u v R u v

r 

_u

 

) cos , sin sin , sin cos ( ) ,

( u v R u v R u v R v

r 

_v

  

) cos sin , cos sin , cos cos

( R

²

u

²

v R

²

u

²

v R

²

v v r

r 

_u

 

_v



D={(u,v): 0  u  2  , 

^₂

 v 

^₂

} Parametryzacja zgodna z orientacją.



S

S d

F 

 

=

dudv v v vR R v u R v u R v u R v u R

D

) cos sin sin

2 cos sin cos

sin 2 cos cos cos

cos 2

(

^{2 2}



^{2 2}



²

 ⁼

= 

D

dudv v

R cos

2

³

=8  R

³

Tw. Stokesa . Jeżeli

 S

+

jest kawałkami gładkim płatem zorientowanym, którego brzeg C

+

jest łukiem kawałkami gładkim zorientowanym zgodnie z orientacją płata

 Pole wektorowe F   ( P , Q , R )

jest klasy C

¹

na płacie S (łącznie z brzegiem),

to  







S C

S d F r

d

F 



 

 rot

Po rozpisaniu na współrzędne-

dxdy dzdx

dydz Rdz

Qdy

Pdx _{z z x x y}

S y C

) ( ) ( )

(^_^R^_^Q  ^_^P^_^R  ^_^Q^_^P















Interpretacja. Cyrkulacja wektora F 

po krzywej zamkniętej C jest równa strumieniowi wektora rotacji F 

rot przez dowolna powierzchnię (zorientowaną zgodnie) napiętą na tej krzywej.

Zadanie. Sprawdzić wzór Stokesa dla całki ^  ^{    }

K

dz z y dy y x dx z x

I ( ) ( ) ( ) , gdzie K jest

brzegiem trójkąta o wierzchołkach (2,0,0), (0,2,0), (0,0,2) przebieganych w tej kolejności Trójkąt leży na płaszczyźnie x+y+z=2

Parametryzacja płata r  ( u , v )  ( u , v , 2  u  v ) ; ={(u,v):0u2, 0v2-u}

) 1 , 0 , 1

( 

u

 r 

, r 

_v

 ( 0 , 1 ,  1 )

, r 

_u

 r 

_v

 [ 1 , 1 , 1 ]

, rot F   [ 1 , 1 , 1 ] Z tw. Stokesa ^  ^{    }

K

dz z y dy y x dx z x

I ( ) ( ) ( ) = 

S

S d  ]  1 , 1 , 1

[ == 



dudv

3 =6

x

y z

Bezpośrednio ^  ^{    }

K

dz z y dy y x dx z x

I ( ) ( ) ( ) =  ^  ^ 

3 2

1 K K

K

=6

bo  ^{ } 

²

^{ }

0

2 ) 2 (

1

dt t

K

itd.

Uwaga. Jeżeli w pewnym obszarze jednospójnym V jest określone pole F 

klasy C

¹

dla którego 0

rot  



F (tzw. pole bezwirowe), to pole F 

jest potencjalne tzn. istnieje funkcja skalarna U : V  R , taka, że F   grad U  (

^_^U_x

,

^_^U_y

,

^_^U_z

)

i  ^ 

K K

dU r d

F 

 

nie zależy od drogi K, tylko od punktu początkowego A(x

_A

,y

_A

,z

_A

) i końcowego B(x

_B

,y

_B

,z

_B

)

K



r d

F 

 

=  ^{  }

K

Rdz Qdy

Pdx 

K

dU =U(B)-U(A)= U(x

B

,y

B

,z

B

)-U(x

A

,y

A

,z

A

)

Praca w polu potencjalnym nie zależy od drogi przejścia tylko od stanu początkowego A(x

_A

,y

_A

,z

_A

) i końcowego B(x

B

,y

B

,z

B

)

W obszarze jednospójnym pole V F 

jest potencjalne ro  0 

 F

t w obszarze V.