Zestaw zadań z analizy matematycznej dla IFT s.2
8. Całki podwójne
1. Obliczyć dane całki podwójne po wskazanych prostokątach:
a)
∫∫
y3e 2dxdy, gdzieR=[ ] [
0,2 × −1,1]
R
x ;
b)
∫∫
2 dxdy, gdzieR=[ ] [
1,2 × 4,6]
y x
R
;
c)
∫∫
sin(
x−2y)
dxdy, gdzieR=[
0,π]
×−π2,0R
.
2. W podanych całkach iterowanych zmienić kolejność całkowania:
a)
∫ ∫ ( )
−x
dy y x f dx
4
2 2
0
, ;
b)
∫ ∫ ( )
−
− − y
y
dx y x f dy
2
4 1 2
6 2
, ;
c)
∫ ∫
2( )
sin 0
,
x
dy y x f dx
π
;
d)
∫ ∫ ( )
−
− − x
x
dy y x f dx
4 2 1
1
, .
3. Obliczyć dane całki podwójne po wskazanych obszarach:
a)
∫∫
cos(
x+ y)
dxdy , gdzie D=[
0,π] [
× 0,π]
D
;
b)
∫∫
max(
2x,y)
dxdy , gdzie D=[
0,2] [ ]
× 0,1D
;
c) x ydxdy D
{ (x y)
R x y x}
D
2 3 0
, 0 : ,
gdzie
, = ∈ 2 ≥ ≤ ≤ −
∫∫
− .4. Wprowadzając współrzędne biegunowe obliczyć podane całki podwójne po wskazanych obszarach:
a)
∫∫
xy2dxdy , gdzie D:x2+ y2 ≤4,x≥0D
;
b)
∫∫ (x2 +y2)
dxdy , gdzie D:x2+y2 −2y≤0
D
;
c)
(
x y)
D x y x x y ydxdy
D
≤ +
≤ +
−
∫∫
− 2 2 2 , gdzie : 2 2 , 2 2 1;
d)
( )
0 , 4 1
: gdzie
ln , 2 2
2 2
2 2
≥
≤ + + ≤
∫∫
xx +yy dxdy D x y yD
;
e)
∫∫
y2e 2+ 2dxdy , gdzie D:x≥0,y≥0,x2+ y2 ≤1D
y
x .
5. Obliczyć pola obszarów ograniczonych podanymi krzywymi:
a) y=x2−x, y=x;
b) y=ex, y=lnx,x+ y=1, x=2.
6. Obliczyć objętości brył ograniczonych podanymi powierzchniami:
a) x2+y2=1,x+y+z=3, z=0;
b) x=0, x=1− y,z=0,z=10−5x−2y.
7. Obliczyć masy podanych obszarów o wskazanych gęstościach powierzchniowych:
a) D=
[
0,a] [
× 0,a]
, gdzie a>0, σ(
x,y)
=x2+y2; b) D={ (x,y)
∈R2:2y2 ≤x≤3+y2}
, gdzie σ(
x,y)
= y .
8. Obliczyć parcie wywierane przez wodę na jedną stronę płyty w kształcie koła o promieniu R=10m.
Koło jest zanurzone pionowo w wodzie, a jego środek znajduje się na głębokości H =25m.
9. Obliczyć siłę, z jaką jest przyciągany ładunek punktowy q przez ładunek Q rozłożony równomiernie na kwadracie o boku a. Ładunek q jest położony na wysokości h nad jednym z wierzchołków kwadratu.
