Zestaw zadań z analizy matematycznej dla IFT s.2
9. Całki potrójne
1. Obliczyć dane całki potrójne po wskazanych prostopadłościanach:
a)
[
0,] [ ]
0,12 ,1 6 gdzie 1 ,
sin × ×
∫∫∫
xz xydxdydz P= πP
;
b) , gdzie
[ ] [ ] [ ]
0,1 0,2 0,31 = × ×
+ +
∫∫∫
+ Pz y x
dz dy dx
P
.
2. W podanych całkach iterowanych zmienić kolejność całkowania (rozważyć wszystkie przypadki):
a)
∫ ∫ ∫ ( )
+
−
−
− −
R
y x x R
x R R
R
dz z y x f dy dx
2 2 2 2
2 2
,
, ;
b)
∫ ∫ ∫ ( )
+
−
− 4 4
0 2
2 2 2
2
, ,
y x y
dz z y x f dx
dy ;
c)
( )
( )
∫
∫
∫
−
− x − x y
dz z y x f dy dx
2 / 3 3 3
0 2 2
0 1
0
,
, ;
d)
∫ ∫ ∫ ( )
−
−
−
−
−
−
− −
2 2
2 2 2
4
4 0
4 2
2
, ,
y x
y x x
dz z y x f dy
dx .
3. Obliczyć dane całki potrójne po wskazanych obszarach:
a) xyzdxdydz U y x x y z xy
U
≤
≤
≥
∫∫∫
, gdzie : ≥ 2, 2,0 ;b) xdxdydz U x y z y
U
sin 0
, 0
, 4 0 : gdzie
, ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤
∫∫∫
π ;c) e dxdydz U x x y z x
U z y
x ≤ − ≤ ≤ ≤ ≤−
∫∫∫
+ + , gdzie : 0, 1,0 .4. Wprowadzając współrzędne sferyczne obliczyć podane całki po wskazanych obszarach:
a)
∫∫∫ (x2+ y2+z2)
dxdydz, gdzie U:− 4−x2− y2 ≤z≤0
U
;
b) z x y z dxdydz U z x y x y x
U
≥
≥
−
−
≤
≤ +
∫∫∫
2 2+ 2 2 , gdzie :0 4 2 2, 0, .5. Obliczyć objętości obszarów ograniczonych podanymi powierzchniami:
a) z=2−x2−y2,z=0; b) z=4 x2+y2,z=1, z= 2.
6. Obliczyć masy podanych obszarów o zadanych gęstościach objętościowych:
a) U:x2+ y2≤16,0≤z≤2 x2+ y2, gdzie γ
(
x,y,z)
= x2+ y2;b)
( )
1 , 1
, gdzie ,
: 2 2 2 2 2 2
+ +
= +
≤ +
+ y z z x y z x y z
x
U γ .
7. Obliczyć siłę, z jaką jednorodna półkula wydrążona o promieniu wewnętrznym r i zewnętrznym R oraz o masie M przyciąga masę punktową m umieszczoną w środku tej półkuli.
8. Obliczyć natężenie pola elektrycznego, jakie wytwarza jednorodnie naładowany wydrążony walec o promieniu wewnętrznym podstawy r, promieniu zewnętrznym R, wysokości H i ładunku całkowitym Q, w środku podstawy walca.
