Zestaw zadań z analizy matematycznej dla IFT s.2
6. Rachunek różniczkowy funkcji dwóch i trzech zmiennych (pochodne)
1. Korzystając z definicji zbadać, czy istnieją pochodne cząstkowe rzędu pierwszego podanych funkcji we wskazanych punktach:
a) f
(
x,y)
= xsinxy,(
x0,y0) (
= π,1)
; b) f(
x,y)
=3 x3−y3 ,(
x0,y0) (
= 0,0)
;c)
( ) ( )
( )
(
, ,) (
0,0,0)
, 0 , , dla 0
0 , , , dla
, 2 2 2 0 0 0
3
=
= + ≠
+ +
= x y z
z y x
z y z x
y x
y x z
y x
f .
2. Obliczyć pochodne cząstkowe pierwszego rzędu podanych funkcji:
a) f
(
x,y)
=ex2siny; b)( )
x y y
x
f , =arccos ;
c) f
(
x,y,z)
=xy −zx; d)(
, ,)
2 2 2z y x z x y x
f = + + .
3. Obliczyć wszystkie pochodne cząstkowe drugiego rzędu podanych funkcji i sprawdzić, czy pochodne cząstkowe mieszane są równe:
a)
(
,)
32y xy x y x
f = + ;
b) f
(
x,y)
=arctgxy; c) f(
x,y,z)
=e3 +x 4ycos5z.4.Wykorzystując reguły różniczkowania funkcji złożonych obliczyć pochodne cząstkowe pierwszego rzędu względem x i y podanych funkcji:
a)
( )
x v y
y x u
e v u f
z= , = uv , gdzie =ln 2+ 2, =arctg ;
b)
( ) ( ) w x y
y v x y x u w
u v u w v u f
z= , , = 2− − , gdzie = 2 2, = , =2 − .
5. Korzystając z definicji obliczyć pochodne kierunkowe podanych funkcji we wskazanych punktach i kierunkach:
a)
( ) ( ) ( )
−
=
= +
= 2
, 3 2 , 1 0 , 0 ,
,
,y x2 y2 x0 y0 v x
f
;
b)
( ) ( ) ( )
=
=
= 2
, 2 2 , 2
0 , 0 ,
,
,y 3 xy2 x0 y0 v x
f
;
c)
( ) ( ) ( )
=
=
−
= 5
,4 5 , 3 1 , 1 ,
,
,y x y x0 y0 v
x
f
.
