Zestaw zadań z analizy matematycznej dla IFT s.2
4. Szeregi potęgowe
1. Zbadać zbieżność oraz zbieżność bezwzględną podanych szeregów:
a)
∑
∞( )
=
− + 1
1 1
sin 1
n n
n ;
b)
( )
∑
∞=
−
−
2
2
1 3
1
n
n n
n
n
n ;
c)
∑
∞( )
= +
− +
0 2
1 1
n n
n
n ;
d)
∑
∞( )
= +
+
−
1 1
1 2
1
n n
n
.
2. Wyznaczyć przedziały zbieżności podanych szeregów potęgowych:
a)
∑
∞( )
= +
−
0 2 1
1
n
n
n
x ;
b)
∑
∞( )
=1 + 2
2
2
n 1
n n
n x
n ;
c)
∑
∞( )
=
+
0
! 2 3
n
n n
n x ;
d)
∑
∞=1 2
n n n
n x .
3. Znaleźć szeregi Maclaurina podanych funkcji i ustalić przedziały ich zbieżności:
a) 2 4 x+
x ;
b) xsin3x;
c) 2
2 1
3 x x −
+ ;
d) cos2x;
e) x e2x −1
;
f) 3
1 1
x x +
− ;
g) ln
(
4+x2)
.4. Stosując twierdzenia o całkowaniu i/lub różniczkowaniu szeregów potęgowych obliczyć sumy podanych szeregów:
a)
∑
∞( )
=
−
1 2
1
n n
n
n ; b)
∑
∞=13
n n
n ;
c)
∑
∞( )
=1 +2 5
n
n n
n ;
d)
∑
∞( )
=1 3 +13 1
n
n n .
5. Wykazać zbieżność odpowiedniego szeregu i następnie na podstawie warunku koniecznego zbieżności szeregów uzasadnić podane równości:
a)
( )
! 0 lim −11 =
∞ +
→ n
n n
n ;
b) =∞
∞
→ n
n
n 1000
lim ! ;
c)
( )
( )
3 ! 0! 2
lim ! =
∞
→ n
n n
n ;
d) =∞
∞
→ 5
lim7 n
n n
