Wyk lad 8 Rz

Wyk lad 8

Rz ad macierzy i twierdzenie _, Kroneckera-Capellego

1 Okre´ slenie rz edu macierzy

Niech A bedzie m×n - macierz_, a. W´_, owczas wiersze macierzy A mo˙zemy w naturalny spos´ob trak- towa´c jako wektory przestrzeni Rⁿ, za´s kolumny macierzy A mo˙zemy traktowa´c jako wektory przestrzeni R^m. Rzedem wierszowym macierzy A nazywamy maksymaln_, a ilo´_, s´c jej liniowo niezale˙znych wierszy. Natomiast rzedem kolumnowym macierzy A nazywamy maksymaln_, a_, ilo´s´c jej liniowo niezale˙znych kolumn. Rzad wierszowy i rz_, ad kolumnowy macierzy A oznaczamy_, odpowiednio symbolami: r_w(A) i r_k(A).

Z tego okre´slenia wynika od razu, ˙ze dla dowolnej macierzy A:

rw(A) = r_k(A^T) oraz r_k(A) = rw(A^T). (1) Ponadto z okre´slenia rzedu macierzy mamy natychmiast, ˙ze_,

r_w(0_m×n) = r_k(0_m×n) = 0. (2)

Z twierdzenia 7.8 wynika od razu, ˙ze rzad wierszowy macierzy A jest r´_, owny wymia- rowi podprzestrzeni generowanej przez jej wektory wierszowe, za´s rzad kolumnowy_, macierzy A jest r´owny wymiarowi podprzestrzeni generowanej przez wektory ko- lumnowe macierzy A.

Ponadto z w lasno´sci operacji elementarnych rzad wierszowy macierzy A nie zmienia_, sie przy stosowaniu operacji elementarnych na wierszach tej macierzy oraz rz_, ad_, kolumnowy macierzy A nie zmienia sie przy stosowaniu operacji elementarnych na_, kolumnach tej macierzy.

Lemat 8.1. Je˙zeli do pewnego wiersza macierzy dodamy inny jej wiersz pomno˙zony przez dowolny skalar, to rzad kolumnowy tej macierzy nie ulegnie zmianie._,

Dow´od. Niech A = [a_ij] bedzie m × n-macierz_, a. Dla uproszczenia znakowania za lo˙zymy, ˙ze_, do pierwszego wiersza macierzy A dodano drugi jej wiersz pomno˙zony przez skalar a i oznaczmy przez B = [bij] macierz uzyskana w wyniku tej operacji. Niech r = r_{, k}(A). Oznacza to, ˙ze pewne r-kolumn macierzy A sa liniowo niezale˙zne. Dla uproszczenia znakowania za l´_, o˙zmy, ˙ze pierwsze r-kolumny macierzy A sa liniowo niezale˙zne. Udowodnimy, ˙ze w´_, owczas pierwsze r-kolumny macierzy B te˙z sa liniowo niezale˙zne. Niech A_, j oraz Bj oznaczaja j-t_, a kolumn_, e macierzy A i_, B odpowiednio. We´zmy dowolne x₁, . . . , x_r ∈ R takie, ˙ze x1◦ B₁+ . . . + x_r◦ B_r= θ. Wtedy

x₁◦













a₁₁+ aa₂₁ a21

... am1













+ . . . + x_r◦













a_1r+ aa_2r a2r

... amr













= 0_m×1,

wiec_,















(a11+ aa12)x1 + . . . + (a1r+ aa2r)xr = 0 a21x1 + . . . + a2rxr = 0 ... ... . .. ... ... ... ... am1x1 + . . . + amrxr = 0

,

skad po odj_, eciu od pierwszej r´_, owno´sci r´owno´sci drugiej pomno˙zonej przez a uzyskamy, ˙ze x1 ◦ A₁ + . . . + xr ◦ A_r = θ. Zatem z liniowej niezale˙zno´sci kolumn A1, . . . , Ar wynika, ˙ze x₁ = . . . = x_r = 0 i kolumny B₁, . . . , B_r sa liniowo niezale˙zne. Zatem r_{, k}(B) ≥ r_k(A). Ale macierz A powstaje z macierzy B przez dodanie do pierwszego wiersza drugiego wiersza po- mno˙zonego przez skalar (−a), wiec z pierwszej cz_, e´_,sci dowodu r_k(A) ≥ r_k(B) i ostatecznie r_k(A) = r_k(B). 2

Z (1) i z lematu 8.1 wynika od razu, ˙ze prawdziwy jest te˙z nastepuj_, acy_,

Lemat 8.2. Je˙zeli do pewnej kolumny macierzy dodamy inna jej kolumn_, e pomno˙zon_, a przez_, dowolny skalar, to rzad wierszowy tej macierzy nie ulegnie zmianie. 2_,

Lemat 8.3. Niech m, n ≥ 2 i niech A = [aij] bedzie m × n-macierz_, a tak_, a, ˙ze dla pewnych_, s, t jest a_st 6= 0 oraz a_it = 0 dla wszystkich i 6= s i a_sj = 0 dla wszystkich j 6= t. W´owczas r_k(A) = 1 + r_k(A_st) oraz r_w(A) = 1 + r_w(A_st).

Dow´od. Niech r = r_k(Ast). Istnieja w´_, owczas kolumny B1, . . . , Br macierzy Ast, kt´ore sa_, liniowo niezale˙zne i takie, ˙ze ka˙zda kolumna macierzy A_stjest ich kombinacja liniow_, a. Oznaczmy_, przez A_jkolumne macierzy A powstaj_, ac_, a przez dopisanie 0 w s-tym wierszu macierzy B_{, j} dla j = 1, . . . , r. Niech Ar+1 oznacza t-ta kolumn_, e macierzy A. We´_, zmy dowolne x1, . . . , xr+1∈ R takie,

˙ze x₁◦A₁+. . .+x_r+1◦A_r+1 = θ. Wtedy x_r+1a_st= 0, skad x_{, r+1} = 0 oraz x₁◦B₁+. . .+x_r◦B_r = θ.

Zatem z liniowej niezale˙zno´sci B1, . . . , Br jest x1 = . . . = xr = 0. Stad kolumny A_, 1, . . . , Ar+1

sa liniowo niezale˙zne. Niech X b_, edzie dowoln_, a kolumn_, a macierzy A o numerze r´_, o˙znym od t.

Niech Y bedzie kolumn_, a macierzy A_{, st} powstajac_, a z X przez wykre´_, slenie s-tego wiersza (kt´ory sk lada sie z jednego zera!). Wtedy istniej_, a a_, 1, . . . , ar∈ R takie, ˙ze Y = a1◦ B₁+ . . . + ar◦ B_r, skad X = a_{, 1}◦A₁+. . .+a_r◦A_r. Wynika stad, ˙ze wszystkie kolumny macierzy A s_, a kombinacjami_, liniowymi kolumn A₁, . . . , A_r, A_r+1. Oznacza to, ˙ze r_k(A) = r + 1 = 1 + r_k(A_st).

Dow´od drugiej cze´_,sci lematu wynika natychmiast z (1) i z pierwszej jego cze´_,sci. 2

Twierdzenie 8.4. Rzad kolumnowy dowolnej macierzy r´_, owny jest jej rzedowi wierszowemu._, Dow´od. Indukcja wzgledem liczby m wierszy macierzy. Je˙zeli m = 1, to A = [a_{, 1} a₂ . . . a_n] dla pewnych skalar´ow a₁, . . . , a_n. Je˙zeli a₁ = . . . = a_n = 0, to r_w(A) = 0 = r_k(A). Je˙zeli za´s aj 6= 0 dla pewnego j = 1, . . . , n, to r_w(A) = 1 = rk(A). Zatem teza zachodzi dla m = 1.

Niech teraz m bedzie liczb_, a naturaln_, a wi_, eksz_, a od 1 i tak_, a, ˙ze teza zachodzi dla wszystkich_, macierzy, kt´ore maja mniej ni˙z m wierszy. We´_, zmy dowolna m × n-macierz A = [a_{, ij}]. Je´sli A = 0m×n, to rw(A) = 0 = r_k(A). Niech zatem A 6= 0m×n. Wtedy istnieja k, l takie, ˙ze_,

6= 0. Je´sli n = 1, to r ^{T T T}

Wtedy rw(B) = rw(A) oraz z lematu 8.1, r_k(B) = r_k(A). Niech dalej C bedzie macierz_, a_, powstajac_, a z macierzy B przez wykonanie operacji elementarnych: k_{, j}−^b_a^kj

kl · k_l dla wszystkich j 6= l. Wtedy rk(C) = rk(B) oraz z lematu 8.2, rw(C) = rw(B). Ale z lematu 8.3 mamy, ˙ze rw(C) = 1 + rw(C_kl) oraz r_k(C) = 1 + r_k(C_kl). Z za lo˙zenia indukcyjnego rw(C_kl) = r_k(C_kl).

Zatem r_w(A) = 1 + r_k(C_kl) = r_k(A). 2

2 Metody obliczania rz edu macierzy

Wsp´olna warto´_, s´c rzedu kolumnowego i wierszowego macierzy A nazywamy rz_, edem macierzy_, A i oznaczamy przez r(A). Z twierdzenia 8.4 oraz z poczatkowej cz_, e´_,sci tego rozdzia lu mamy od razu nastepuj_, ace_,

Twierdzenie 8.5. Operacje elementarne wykonywane na wierszach lub kolumnach macierzy nie zmieniaja jej rz_, edu. 2_,

Z twierdzenia 8.4 oraz ze wzoru (1) wynika od razu nastepuj_, ace_, Twierdzenie 8.6. Dla dowolnej macierzy A: r(A) = r(A^T). 2

Twierdzenie 8.7. Niech A = [a_ij] bedzie tak_, a m × n-macierz_, a, ˙ze a_{, kl}6= 0 dla pewnych k, l oraz ail = 0 dla wszystkich i 6= k. Wtedy r(A) = 1 + r(Akl).

Dow´od. Oznaczmy przez B macierz powstajac_, a z macierzy A przez wykonanie operacji_, elementarnych: k_j− ^a_a^kj

kl · k_l dla wszystkich j 6= l. Wtedy B_kl = A_kl oraz na mocy twierdzenia 8.5, r(A) = r(B). Ponadto z twierdzenia 8.4 i z lematu 8.3, r(B) = 1 + r(Bkl). Zatem r(A) = 1 + r(A_kl). 2

Twierdzenie 8.8. Niech A = [aij] bedzie macierz_, a kwadratow_, a stopnia n._, W´owczas r´ownowa˙zne sa warunki:_,

(i) r(A) = n, (ii) det(A) 6= 0.

Dow´od. (i)⇒(ii). Poniewa˙z wszystkie kolumny A₁, . . . , A_nmacierzy A sa liniowo niezale˙zne_, i jest ich n, wiec tworz_, a one baz_, e przestrzeni R_, ⁿ. Wynika stad, ˙ze dla ka˙zdego i = 1, . . . , n_, istnieja skalary x_{, i1}, . . . , x_in∈ K takie, ˙ze x_i1◦ A₁+ . . . + x_in◦ A_n= ε_i. Niech X = [x_ij]i,j=1,... ,n. Wtedy A · X = I_n, skad z twierdzenia Cauchy’ego det(A) 6= 0._,

(ii)⇒(i). Poniewa˙z det(A) 6= 0, wiec istnieje macierz X = [x_, ij] ∈ Mn(R) taka, ˙ze A · X = In. Wtedy dla ka˙zdego i = 1, . . . , n mamy, ˙ze ε_i= x_i1◦ A₁+ . . . + x_in◦ A_n, wiec kolumny macierzy_, A generuja przestrze´_, n Rⁿ. Stad na mocy twierdzenia 7.8 te kolumny s_, a liniowo niezale˙zne, czyli_, r(A) = n. 2

Definicja 8.9. Niech A bedzie m × n-macierz_, a oraz niech k b_, edzie liczb_, a naturaln_, a tak_, a, ˙ze_, k ≤ min{m, n}. Minorem stopnia k macierzy A nazywamy wyznacznik macierzy kwadratowej stopnia k, kt´ora powstaje z macierzy A przez wykre´slenie m − k wierszy oraz n − k kolumn.

Twierdzenie 8.10. Rzad niezerowej macierzy jest r´_, owny maksymalnemu stopniowi jej nie- zerowego minora.

Dow´od. Niech A bedzie niezerow_, a m × n-macierz_, a. Oznaczmy przez k maksymalny stopie´_, n niezerowego minora macierzy A oraz przez r rzad tej macierzy. Wtedy pewne r wierszy macierzy_, A jest liniowo niezale˙znych. Wykre´slajac pozosta le wiersze uzyskamy k × n-macierz B o rz_, edzie_, r. Zatem z twierdzenia 8.6 pewne r kolumn macierzy B sa liniowo niezale˙zne. Wykre´_, slajac w_, macierzy B pozosta le kolumny uzyskamy macierz kwadratowa C stopnia r o rz_, edzie r. Zatem_, z twierdzenia 8.8, det(C) 6= 0. Ale det(C) jest minorem stopnia r macierzy A, wiec r ≤ k._,

Niech teraz D bedzie macierz_, a kwadratow_, a stopnia k powstaj_, ac_, a z macierzy A przez wy-_, kre´slenie pewnych m − k wierszy i n − k kolumn taka, ˙ze det(D) 6= 0. Wtedy z twierdzenia 8.8_, mamy, ˙ze r(D) = k. Niech X bedzie macierz_, a powstaj_, ac_, a z macierzy A przez wykre´_, slenie tych samych wierszy, co dla macierzy D. Wtedy r(X) ≤ k oraz wszystkie kolumny macierzy D sa_, liniowo niezale˙zne, wiec r(X) ≥ k i ostatecznie r(X) = k. St_, ad z definicji rz_, edu wierszowego_, macierzy k ≤ r i ostatecznie r = k. 2

3 Twierdzenie Kroneckera-Capellego

Niech dany bedzie teraz dowolny uk lad m-r´_, owna´n liniowych z n-niewiadomymi x₁, . . . , x_n:















a11x1+ a12x2+ . . . + a1nxn= b1

a₂₁x₁+ a₂₂x₂+ . . . + a_2nx_n= b₂ ... ... . .. ... a_m1x₁+ a_m2x₂+ . . . + a_mnx_n= b_m

, (3)

Przypomnijmy, ˙ze macierza wsp´_, o lczynnik´ow uk ladu (3) nazywamy macierz:

A =













a₁₁ a₁₂ . . . a_1n a21 a22 . . . a2n

... ... . .. ... am1 am2 . . . amn













, (4)

za´s macierza uzupe lnion_, a uk ladu (3) nazywamy macierz:_,

Au =













a₁₁ a₁₂ . . . a_1n b₁ a₂₁ a₂₂ . . . a_2n b₂ ... ... . .. ... ... a_m1 a_m2 . . . a_mn b_m













. (5)

Twierdzenie 8.11 (Kroneckera-Capellego). Uk lad (3) ma rozwiazanie wtedy i tylko_, wtedy, gdy r(A) = r(A_u). Ponadto uk lad (3) ma dok ladnie jedno rozwiazanie wtedy i tylko_, wtedy, gdy r(A) = r(Au) = n.

Dow´od. Oznaczmy przez αj j-ta kolumn_, e macierzy A i niech β = [b_, 1, . . . , bm]. Uk lad (3)

Je˙zeli (a1, . . . , an) jest rozwiazaniem uk ladu (3), to a_, 1 ◦ α₁ + . . . + an◦ α_n = β, skad na_, mocy twierdzenia 6.8 i twierdzenia 6.11 mamy, ˙ze lin(α₁, . . . , α_n, β) = lin(α₁, . . . , α_n), czyli r(Au) = r(A). Na odwr´ot, za l´o˙zmy, ˙ze r(Au) = r(A). Wtedy

dim lin(α₁, . . . , α_n) = dim lin(α₁, . . . , α_n, β),

wiec z twierdzenia 7.22 mamy, ˙ze lin(α_{, 1}, . . . , α_n, β) = lin(α₁, . . . , α_n), skad β ∈ lin(α_{, 1}, . . . , α_n), czyli istnieja a_, 1, . . . , an ∈ R takie, ˙ze β = a1◦ α₁+ . . . + an◦ α_n i w´owczas (a1, . . . , an) jest rozwiazaniem uk ladu (3)._,

Pozostaje udowodni´c druga cz_, e´_,s´c twierdzenia. Za l´o˙zmy najpierw, ˙ze r(A_u) = r(A) = n.

W´owczas kolumny α1, . . . , αn sa liniowo niezale˙zne,_, wiec tworz_, a baz_, e podprzestrzeni_, lin(α1, . . . , αn). Ale wtedy dim lin(α1, . . . , αn) = dim lin(α1, . . . , αn, β), skad lin(α_, 1, . . . , αn)

= lin(α₁, . . . , α_n, β), czyli β ∈ lin(α₁, . . . , α_n). Zatem z twierdzenia 7.9 istnieje dok ladnie jeden ciag (a_, 1, . . . , an) ∈ Rⁿ taki, ˙ze β = a1◦ α₁+ . . . + an◦ α_n, wiec uk lad (3) ma dok ladnie jedno_, rozwiazanie. Na odwr´_, ot, za l´o˙zmy, ˙ze uk lad (3) posiada dok ladnie jedno rozwiazanie (a_{, 1}, . . . , a_n).

W´owczas z pierwszej cze´_,sci dowodu r(A_u) = r(A). Wystarczy zatem wykaza´c, ˙ze wektory α1, . . . , αnsa liniowo niezale˙zne. Ale je˙zeli b_, 1, . . . , bn∈ R sa takie, ˙ze b_, 1◦ α₁+ . . . + bn◦ α_n= θ, to (a₁+ b₁) ◦ α₁+ . . . + (a_n+ b_n) ◦ α_n= a₁◦ α₁+ . . . + a_n◦ α_n+ Θ = β, wiec (a_{, 1}+ b₁, . . . , a_n+ b_n) jest rozwiazaniem uk ladu (3), sk_, ad a_{, i}+ b_i = a_i, czyli b_i = 0 dla i = 1, . . . , n, a wiec wektory_, α1, . . . , αnsa liniowo niezale˙zne. 2_,

Z rezultat´ow uzyskanych dotychczas wynika, ˙ze mo˙zna stosowa´c nastepuj_, acy schemat post_, e-_, powania dla znalezienia wszystkich rozwiaza´_, n uk ladu (3). Najpierw obliczamy r(A) i r(A_u).

Je˙zeli r(A) 6= r(Au), to uk lad (3) nie ma rozwiazania. Je´_, sli za´s r = r(A) = r(Au), to uk lad posiada rozwiazanie. Wyznaczamy w´_, owczas r liniowo niezale˙znych wierszy w macierzy Au

i wykre´slamy wszystkie pozosta le jej wiersze. W otrzymanej macierzy znajdujemy r liniowo niezale˙znych kolumn. Nastepnie w przekszta lconym uk ladzie r´_, owna´n przenosimy na prawa_, strone wszystkie niewiadome o numerach pozosta lych n − k kolumn i stosujemy wzory Cramera_, dla obliczenia pozosta lych niewiadomych (natomiast niewiadome przenoszone na drugie strony sa dowolnymi liczbami)._,