3. Szacowanie liczb i wyrażeń.

(1)

Jarosław Wróblewski Analiza Matematyczna 1B, zima 2015/16

Kolokwium nr 2:

poniedziałek 19.10.2015, godz. 14:15-15:00, sale HS i EM, materiał zad. 1–62 (poziomy A i B).

3. Szacowanie liczb i wyrażeń.

Poziom A (z myślą o ocenie dostatecznej na wykładzie A)

Zadania do samodzielnego rozwiązania. Pomoc można uzyskać na konsultacjach u dowolnego prowadzącego lub podczas tutoringu prof. Damek (październikowe wtorki 14–17, pok. 901 lub s. 601). W miarę wolnego czasu wątpliwości mogą zostać wyjaśnione także na ćwiczeniach.

91. Niech a =√⁴

2. Która z liczb jest większa:

a^a^aa

aaaaaaaaaaaa16

czy 10¹⁰¹⁰?

Pomoc dla osób dostających oczopląsu: liczba a występuje w pierwszym wyrażeniu 16 razy.

Która z liczb jest większa ?

92. 123456 · 123458 czy 123457² 93. 1000! czy (500!)² 94. 2007 666

!2007

czy 2007 666

!666

95. √⁴

83 − 2²⁰⁰⁷ czy √⁴

83 − 2⁶⁶⁶ 96. √⁴

79 − 2²⁰⁰⁷ czy √⁴

79 − 2⁶⁶⁶ 97. √⁴

79 − 3²⁰⁰⁷ czy √⁴

79 − 3⁶⁶⁶ 98. √⁴

79 − 3²⁰⁰⁷ czy √⁴

79 − 3⁶⁶⁷ 99. 2¹⁰⁰⁰ czy 3⁷⁰⁰ 100. 5⁴⁴⁴ czy 3⁷⁰⁰ 101. 17

20 czy 16

21 102. 100

7 czy 150 11 103. 8⁴⁴⁴

17¹⁷ czy 16³³³

19¹⁷ 104. 17⁶⁶⁷

3333⁴+ 6666⁴ czy 17⁶⁶⁶

3333⁴ 105. 2007

666

!

czy 2007 667

!

106. 2007 666

!

czy 2008 666

!

107. 2007 1666

!

czy 2007 1667

!

108. 2007 1666

!

czy 2008 1666

!

109. 1

√37 − 6 czy √

37 + 6 110. 1

√37 − 6 czy 12 111. 1

√37 − 6 czy 1

√97 − 10 112.

9 4

27/8

czy

27 8

9/4

Poziom B (z myślą o ocenie co najwyżej dobrej)

Zadania do omówienia na ćwiczeniach 20–21.10.2015 (grupy 2–5). Ewentualny wolny czas można poświęcić na zadania poziomu A.

Zadania należy spróbować rozwiązać przed ćwiczeniami.

113. Uporządkować następujące liczby w kolejności rosnącej

a =5 −√

37²⁰⁰⁸, b =6 −√

37²⁰⁰⁹, c =7 −√

73²⁰¹¹, d =9 −√

73²⁰¹³.

Lista 3 - 10 - Strony 10-13

(2)

Która z liczb jest większa:

114. 2^1000! czy 999^999! ? 115. 26⁹⁹ czy 10¹⁵¹ ? 116. 26⁹⁹ czy 123⁶⁵ ? 117. √

37 − 6 czy 1

10 ? 118. √

37 − 6⁶⁶⁶ czy 1

100¹⁰⁰ ? 119. 2²²¹⁰⁰¹ czy 1000²²¹⁰⁰⁰ ? Wskazując odpowiednią liczbę naturalną k udowodnić nierówności 10^k< L < 10^2k.

120. L = 3972²⁵⁷ 121. L = 257³⁹⁷² 122. L = 700!

123. Niech a = ¹⁶√

2. Która z liczb jest większa: a²⁵⁶ czy 256^a ?

W każdym z poniższych zadań wpisz w miejscu kropek dwie liczby występujące w cią- gu 0, 1, 2, 5 ,10, 100, 10⁵, 10¹⁰, 10²⁰, 10⁵⁰, 10¹⁰⁰, 10²⁰⁰, 10⁵⁰⁰, 10¹⁰⁰⁰, 10²⁰⁰⁰, 10⁵⁰⁰⁰, 10¹⁰⁰⁰⁰, 10²⁰⁰⁰⁰, 10⁵⁰⁰⁰⁰, 10¹⁰⁰⁰⁰⁰, 10²⁰⁰⁰⁰⁰, 10⁵⁰⁰⁰⁰⁰, 10^1000000 na kolejnych miejscach tak, aby po- wstały prawdziwe nierówności.

124. ... < 2⁵⁰⁰< ...

125. ... < 3²⁰⁰⁰< ...

126. ... < 2¹⁰⁰⁰⁰< ...

127. ... < 30¹⁰⁰⁰⁰< ...

128. ... < 2²¹⁰< ...

129. ... < 4444⁴⁴⁴⁴< ...

130. ... < 7777⁷⁷⁷⁷< ...

131. ... < 2011²⁰¹¹< ...

132. ... < 222⁵⁵⁵⁵< ...

133. ... < 5555²²²< ...

134. ... < 333³³³< ...

135. ... < 10000! < ...

136. ... < 666! < ...

137. Udowodnić nierówność n²²⁷¬ 2ⁿ dla wybranej przez siebie liczby naturalnej n > 1.

138. Wskazując odpowiednie liczby wymierne dodatnie C, D (niezależne od n) udo- wodnić, że dla dowolnej liczby całkowitej dodatniej n zachodzą nierówności

C ¬4n⁴− 3n³+ 2 5n⁴+ 4n²− 2¬ D .

Wskazując odpowiednie liczby wymierne dodatnie C, D oraz liczbę rzeczywistą k udowodnić, że dla dowolnej liczby naturalnej n zachodzą nierówności

C · n^k< W (n) < D · n^k. 139. W (n) =n³+ 2n²+ 1

√n⁶+ 2 + 2 140. W (n) =2n³− n²+ 1

√3

n²+ 1 + 1 141. W (n) =

√5

n²+ 1

√7

n³+ 1 + 1

Lista 3 - 11 - Strony 10-13

(3)

Poziom C (dla aspirujących do oceny wyższej niż 4.0)

Zadania do omówienia na ćwiczeniach 20.10.2015 (grupa 1). Należy przyjść na ćwiczenia do grupy 1 ORAZ na ćwiczenia do jednej z pozostałych grup, gdzie omówione zostaną zadania poziomu B.

Zadania należy spróbować rozwiązać przed ćwiczeniami.

W każdym z poniższych zadań wpisz w miejscu kropek dwie liczby występujące w cią- gu 0, 1, 2, 5 ,10, 100, 10⁵, 10¹⁰, 10²⁰, 10⁵⁰, 10¹⁰⁰, 10²⁰⁰, 10⁵⁰⁰, 10¹⁰⁰⁰, 10²⁰⁰⁰, 10⁵⁰⁰⁰, 10¹⁰⁰⁰⁰, 10²⁰⁰⁰⁰, 10⁵⁰⁰⁰⁰, 10¹⁰⁰⁰⁰⁰, 10²⁰⁰⁰⁰⁰, 10⁵⁰⁰⁰⁰⁰, 10^1000000 na kolejnych miejscach tak, aby po- wstały prawdziwe nierówności.

142. ... < 5000! < ...

143. ... < 35000! < ...

144. ... <10⁵! < ...

145. ... <7 + 2√

2⁵⁰⁰< ...

146. ... <6 + 3√

2⁵⁰⁰< ...

147. ... <91 +√

91¹⁰⁰< ...

148. ... < 1000 3

!

< ...

149. ... < 1000 4

!

< ...

150. ... < 10000 5

!

< ...

151. ... <

10³⁰

X

n=1

n < ...

152. ... <

10³⁰

X

n=1

n²< ...

153. ... <

10³⁰

X

n=1

n¹⁰< ...

154. ... <

10⁴

X

n=1

n! < ...

155. ... < 10⁵ 100

!

< ...

156. ... < 10¹⁰ 20

!

< ...

Lista 3 - 12 - Strony 10-13

(4)

Przy każdej z poniższych pięciu liczb n podaj w miejscu kropek liczbę cyfr liczby n oraz pierwszą (od lewej) cyfrę liczby n w zapisie dziesiętnym.

157. n = 10¹⁰⁰ 2

!

, liczba cyfr ..., pierwsza cyfra ...

158. n = 10¹⁰⁰ 3

!

159. n = 2 · 10¹⁰⁰ 2

!

160. n = 2 · 10¹⁰⁰ 3

!

161. n = 2 · 10¹⁰⁰ 4

!

162. Wskazać taką liczbę naturalną n, że

n^1000000+ 1 < 2ⁿ.

163. Która z liczb jest większa:

2015

Y

i=2 i−1

Y

j=1

qj

j −√ⁱ i

czy 10^−1000000 ?

164. Dobrać odpowiednią liczbę wymierną dodatnią C i udowodnić, że dla dowolnej liczby naturalnej n zachodzą nierówności

C ¬

√9n + 16 − 3√

√ n

n + 3 −√

n ¬ 2C .

165. Dobrać odpowiednią liczbę wymierną dodatnią C i udowodnić, że dla dowolnej liczby naturalnej n zachodzą nierówności

C ¬

√9n + 40 −√

9n + 16

√4n + 45 −√

4n + 5 ¬ 5C .

Oszacować podane wyrażenia, gdzie n ∈N, od góry i od dołu przez wyrażenia różniące się stałym czynnikiem dodatnim

166. 2ⁿ+ 10n²

2ⁿ+ n⁴ 167. 4ⁿ+ n⁴

2ⁿ+ n² 168. n!

n! + 10ⁿ 169. (n + 2)!

n! + 10ⁿ

170. Dowieść, że dla dowolnej liczby naturalnej n ... zachodzi nierówność n³²¬ 2ⁿ.

W miejsce kropek wstaw dowolną liczbę, dla której umiesz przeprowadzić dowód.

Następnie zastanów się nad modyfikacją dowodu tak, aby zmniejszyć liczbę wpisaną w miejsce kropek.

Lista 3 - 13 - Strony 10-13