3. Szacowanie liczb i wyrażeń.

(1)

Jarosław Wróblewski Analiza Matematyczna 1 LUX, zima 2017/18

Kolokwium nr 51: czwartek 26.10.2017, godz. 14:15-15:45, materiał zad. 1–136, 501-572.

3. Szacowanie liczb i wyrażeń.

Poziom LUX

Zadania do omówienia na ćwiczeniach 23.10.2017 (grupa 1 lux).

Należy próbować rozwiązać zadania przed ćwiczeniami.

W każdym z poniższych zadań wpisz w miejscu kropek dwie liczby występujące w cią- gu 0, 1, 2, 5 ,10, 100, 10⁵, 10¹⁰, 10²⁰, 10⁵⁰, 10¹⁰⁰, 10²⁰⁰, 10⁵⁰⁰, 10¹⁰⁰⁰, 10²⁰⁰⁰, 10⁵⁰⁰⁰, 10¹⁰⁰⁰⁰, 10²⁰⁰⁰⁰, 10⁵⁰⁰⁰⁰, 10¹⁰⁰⁰⁰⁰, 10²⁰⁰⁰⁰⁰, 10⁵⁰⁰⁰⁰⁰, 10^1000000 na kolejnych miejscach tak, aby po- wstały prawdziwe nierówności.

549. ... < 5000! < ...

550. ... < 35000! < ...

551. ... <10⁵! < ...

552. ... <7 + 2√

2⁵⁰⁰< ...

553. ... <6 + 3√

2⁵⁰⁰< ...

554. ... <91 +√

91¹⁰⁰< ...

555. ... < 1000 3

!

< ...

556. ... < 1000 4

!

< ...

557. ... < 10000 5

!

< ...

558. ... <

10³⁰

X

n=1

n < ...

559. ... <

10³⁰

X

n=1

n²< ...

560. ... <

10³⁰

X

n=1

n¹⁰< ...

Lista 53 - 56 - Strony 56-57

(2)

Jarosław Wróblewski Analiza Matematyczna 1 LUX, zima 2017/18

561. ... <

10⁴

X

n=1

n! < ...

562. ... < 10⁵ 100

!

< ...

563. ... < 10¹⁰ 20

!

< ...

Przy każdej z poniższych pięciu liczb n podaj w miejscu kropek liczbę cyfr liczby n oraz pierwszą (od lewej) cyfrę liczby n w zapisie dziesiętnym.

564. n = 10¹⁰⁰ 2

!

, liczba cyfr ..., pierwsza cyfra ...

565. n = 10¹⁰⁰ 3

!

566. n = 2 · 10¹⁰⁰ 2

!

567. n = 2 · 10¹⁰⁰ 3

!

568. n = 2 · 10¹⁰⁰ 4

!

569. Wskazać taką liczbę naturalną n, że

n^1000000+ 1 < 2ⁿ.

570. Która z liczb jest większa:

2017

Y

i=2 i−1

Y

j=1

qj

j −√ⁱ i

czy 10^−1000000 ?

571. Dobrać odpowiednią liczbę wymierną dodatnią C i udowodnić, że dla dowolnej liczby naturalnej n zachodzą nierówności

C ¬

√9n + 16 − 3√

√ n

n + 3 −√

n ¬ 2C .

572. Dobrać odpowiednią liczbę wymierną dodatnią C i udowodnić, że dla dowolnej liczby naturalnej n zachodzą nierówności

C ¬

√9n + 40 −√

9n + 16

√4n + 45 −√

4n + 5 ¬ 5C .

Lista 53 - 57 - Strony 56-57