Jarosław Wróblewski Analiza Matematyczna 1 LUX de LUX, zima 2016/17
KOLOKWIUM nr
83
,3.01.2017
, godz. 9:15–10:00 Zadanie83.
(20 punktów)Dane są takie szeregi zbieżne
∞
P
n=1
an,
∞
P
n=1
bn,
∞
P
n=1
cn o wyrazach dodatnich, że
∞
X
n=1
an= 1,
∞
X
n=1
bn= 8,
∞
X
n=1
cn= 27 . Dowieść, że
∞
X
n=1
q3
anbncn¬ C ,
gdzie C = 6 (za 20 punktów) lub C = 12 (za 8 punktów).
Rozwiązanie:
Korzystając z nierówności między średnią geometryczną i arytmetyczną otrzymujemy
∞
X
n=1
q3
anbncn¬
∞
X
n=1
an+ bn+ cn
3 =1
3·
∞
X
n=1
an+
∞
X
n=1
bn+
∞
X
n=1
cn
!
=1 + 8 + 27 3 =36
3 = 12 oraz
∞
X
n=1
q3
anbncn= 6 ·
∞
X
n=1 3
s
an·bn 8 ·cn
27¬ 6 ·
∞
X
n=1
an+b8n+c27n 3 = 2 ·
∞
X
n=1
an+
∞
X
n=1
bn 8 +
∞
X
n=1
cn 27
!
=
= 2 · (1 + 1 + 1) = 6 .
Kolokwium 83 - 1 - Odpowiedzi i rozwiązania