Podstawy wytrzymałości materiałów

Podstawy wytrzymałości materiałów

Wydział Inżynierii Mechanicznej i Robotyki

Katedra Wytrzymałości, Zmęczenia Materiałów i Konstrukcji

Dr hab. inż. Tomasz Machniewicz

IMiR - MiBM - Wykład Nr 2 Osiowe rozciąganie i ściskanie

Naprężenia przy obciążeniach osiowych, zasada de Saint-Venanta, próba statycznego rozciągania i ściskania, monotoniczne własności materiałowe, odkształcenia wzdłużne i poprzeczne, moduł Younga, liczba Poissona, efekt Bauschingera, warunek bezpieczeństwa i warunek sztywności przy rozciąganiu i ściskaniu, rozwiązywanie układów statycznie niewyznaczalnych.

2.1. Rozciąganie/ściskanie - naprężenia

𝑵

l l

A_i

∆𝒍

= 𝒄𝒐𝒏𝒔𝒕.

Zgodnie z prawem Hooke’a: ∆𝒍

𝒍 ~𝝈 𝝈

= 𝒄𝒐𝒏𝒔𝒕. = 𝝈

𝑵 = 𝝈

𝒅𝑨

𝑨

= 𝝈 ∙ 𝑨

𝑵 = 𝝈

𝑨

Miedzy N a 

zachodzi zależność: 𝒅𝑨

𝝈 _𝒓 = 𝑵 𝑨

© T. Machniewicz

2.2. Zasada de Saint-Venanta

𝑵 𝑵

-

-

𝝈_𝜶−𝜶 𝝈_𝜶−𝜶

𝝈_𝜷−𝜷 𝝈_𝜷−𝜷

Jeżeli na pewien obszar ciała sprężystego, pozostającego w równowadze, działają w różny sposób przyłożone lecz statycznie równoważne obciążenia, to w dostatecznej odległości od

tego obszaru rozkłady naprężeń są jednakowe, a więc nie zależą od sposobu przyłożenia obciążenia

© T. Machniewicz

2.3. Próba statycznego rozciągania i ściskania

Ekstensometr liniowy i średnicowy:

Maszyna wytrzymałościowa:

Aparatura badawcza:

Geometria próbki:

© T. Machniewicz

2.4. Krzywa monotonicznego rozciągania/ściskania

siła os iow a F

wydłużenie l

F_m

materiał elasto-plastyczny

Naprężenia inżynierskie:

Odkształcenia inżynierskie:

𝜺 = ∆𝒍 𝒍

𝝈 = 𝑭 𝑨

𝝈 = 𝑭

𝑨

(MPa)

𝜺 = ∆𝒍 𝒍

𝑨_𝟎 – początkowe pole

przekroju poprzecznego

𝒍

R

R_H (R_e0.2) R_e (R_0.05) R_sp

R_e

R

R

materiał

sprężysto-plastyczny materiał

sprężysto-kruchy

 𝐭𝐚𝐧 𝜶 = 𝑬

E – moduł Younga (MPa)

𝑵

F_u

© T. Machniewicz

2.4. Krzywa monotonicznego rozciągania/ściskania Charakterystyczne granice wytrzymałościowe:

Granica plastyczności (R_e) to wartość naprężenia inżynierskiego przy którym zaczynają powstawać nieodwracalne odkształcenia plastyczne. Przy tzw. wyraźnej granicy plastyczności następuje wyraźny wzrost odkształceń bez przyrostu, lub nawet przy chwilowym spadku, naprężeń. Umowna granica sprężystości odpowiada naprężeniu przy którym odkształcenia plastyczne osiągają pewną umowną wartość (np. 0.2%

przy R_e0.2).

Wytrzymałość na rozciąganie (R_m) to naprężenie inżynierskie odpowiadające największej sile rozciągającej F_m uzyskanej w czasie statycznej próby rozciągania.

Wytrzymałość na ściskanie (R_c) to naprężenie inżynierskie odpowiadające największej sile ściskającej F_c uzyskanej w czasie statycznej próby ściskania.

Naprężenie zrywające (R_u) to rzeczywista wartość naprężenia działającego w miejscu zniszczenia próbki w momencie utraty spójności, odpowiadająca sile przyłożonej do próbki w chwili zniszczenia (F_u), odniesionej do rzeczywistego pola przekroju poprzecznego próbki (A_u) w miejscu jej rozerwania (R_u =F_u/ A_u).

Granica proporcjonalności (R_H) to naprężenie inżynierskie wyznaczające koniec zakresu w obrębie którego zachodzące odkształcenie jest proporcjonalne do wywołującego je naprężenia (granica liniowej sprężystości, granica obowiązywania prawa Hooke’a)

Granica sprężystości (R_sp) to naprężenie inżynierskie, po przekroczeniu którego ciało, mimo odciążenia, nie powraca już do pierwotnych kształtów bądź wymiarów. Umowna granica sprężystości odpowiada naprężeniu przy którym odkształcenia trwałe osiągają pewną umowną wartość (np. 0.05% przy R_0.05).

© T. Machniewicz

2.4. Krzywa monotonicznego rozciągania/ściskania Charakterystyczne parametry:

Przewężenie (q) – względna zmienna pola przekroju poprzecznego próbki w miejscu jej zerwania:

gdzie: 𝑨_𝑼 − pole przekroju poprzecznego próbki po zerwaniu, 𝑨_𝟎 − początkowe pole przekroju poprzecznego próbki,

𝒒 = ^𝑨𝟎_𝑨^−𝑨𝑼

𝟎 ;

Odkształcenia do zniszczenia (A lub _f) – trwałe odkształcenie inżynierskie próbki zmierzone po zerwaniu:

gdzie: 𝒍_𝑼 − łączna długość próbki po rozerwaniu, 𝒍_𝟎 − długość początkowa próbki

𝜺_𝒇= ^𝒍𝑼_𝒍^−𝒍𝟎

𝟎 ;

materiał E, GPa guma 0.01-0.1 polipropylen 1.5-2 drewno (dębina) 11

beton ~30

szkło 50-90

aluminium 69

miedź 100-115

stal 190-210

diament 1050-1200 Moduł Younga (E) (moduł sprężystości podłużnej) – stała określająca

sprężystość materiału, wyrażająca się zależnością względnego odkształcenia liniowego materiału () od działającego wzdłuż tego samego kierunku normalnego naprężenia (σ), w zakresie odkształceń sprężystych. Moduł Younga odpowiada tangensowi kąta nachylenia inżynierskiej krzywej rozciągania σ –  do osi odkształceń () w zakresie obciążeń poniżej granicy proporcjonalności (R_H).

𝑬 = 𝛔 𝜺 𝛔 = 𝑬 ∙ 𝜺 - prawo Hooke’a

© T. Machniewicz

2.5. Odkształcenia poprzeczne przy obciążeniach osiowych

l₀ l₁

d 1

𝑵 d 0 𝑵

l₁ l₀

d0

𝑵

d1

𝑵

𝜺 = ∆𝒍

𝒍

∆𝒍 = 𝒍

− 𝒍

Odkształcenie wzdłużne:

Odkształcenie poprzeczne:

𝜺

= ∆𝒅

𝒅

∆𝒅 = 𝒅

− 𝒅

𝜺

𝜺 = −𝝂

materiał 𝝂

korek 0

szkło 0.18-0.3

beton 0.2

żeliwo 0.23-0.27 stal 0.24-0.3 stopy Al 0.26-0.36

miedź 0.33

tytan 0.35

kauczuk 0.5

Średnica końcowa:

𝜺_𝒑 = −𝝂𝜺 = −ν∆𝑙 𝑙₀ 𝜺_𝒑 = ∆𝑑

𝑑₀

∆𝑑 = −ν∆𝑙 𝑙₀ 𝑑₀

∆𝑑 = 𝑑₁ − 𝑑₀ 𝑑₁ = 𝑑₀ − ν∆𝑙 𝑙₀ 𝑑₀ 𝒅_𝟏 = 𝒅_𝟎 𝟏 − 𝝂∆𝒍

𝒍_𝟎

© T. Machniewicz

2.6. Reakcja materiału na odciążenie 𝝈

𝜺

R_e R_e

∆𝒍   = 2R

Efekt Bauschingera:

Jeżeli przy obciążaniu materiału wykazującego efekt umocnienia przekroczona zostanie granica plastyczności, to przy zmianie kierunku obciążenia (odciążaniu) odwrócone płynięcie materiału nastąpi gdy zmiana naprężenia osiągnie wartość   = 2R

, tj. powyżej poziomu granicy plastyczności przy monotonicznym ściskaniu.

© T. Machniewicz

2.7. Rozciąganie/ściskanie – warunek bezpieczeństwa

𝝈 _𝒓 (𝝈 _𝒄 ) = 𝑵

𝑨 ≤ 𝒌 _𝒓 (𝒌 _𝒄 ) ^𝝈

^(𝝈

) - naprężenia rozciągające (ściskające) 𝒌

(𝒌

) – dopuszczalne naprężenia w przypadku

rozciągania (ściskania) Naprężenia dopuszczalne

Zależność ogólna: 𝒌 = 𝑲 𝒏

K – naprężenia krytyczne

n – współczynnik bezpieczeństwa

materiały elasto-plastyczne 𝒌

= 𝒌

= 𝑹

𝒏

n

, n

, n

– współczynniki bezpieczeństwa

materiały kruche 𝒌

= 𝑹

𝒏

𝒌

= 𝑹

𝒏

𝑹

> 𝑹

𝒌

> 𝒌

© T. Machniewicz

Rozciąganie

2.8. Ograniczenie zastosowania warunku bezpieczeństwa

Ściskanie 𝝈

= 𝑵

𝑨 ≤ 𝒌

Spełnienie warunku bezpieczeństwa gwarantuje bezpieczną pracę obiektu, bez względu na jego długość.

𝝈

= 𝑵

𝑨 ≤ 𝒌

𝑵

𝑵

𝑵

𝑵

W przypadku elementów o dużej smukłości (znaczna długość w stosunku do wymiaru poprzecznego) nie gwarantuje jego bezpiecznej pracy spełnienie samego warunku bezpieczeństwa na ściskanie.

Z uwagi na zjawisko wyboczenia konieczne jest uwzględnienie warunku stateczności.

 



!

© T. Machniewicz

2.9. Rozciąganie/ściskanie – warunek sztywności

𝝈

𝜺

R_e

 𝐭𝐚𝐧 𝜶 = 𝑬

Prawo Hooke’a :

𝜺 = 𝝈 𝑬 𝝈 = 𝑷

𝑨 𝜺 = ∆𝒍 𝒍

∆𝒍 = 𝑷𝒍 𝑨𝑬

∆𝒍 = 𝑷𝒍

𝑨𝑬 ≤ ∆𝒍

Warunek sztywności: P – osiowa siła

l – długość elementu

A – pole przekroju poprzecznego E – moduł Younga

∆𝒍

– dopuszczalna zmiana długości elementu

© T. Machniewicz

2.10. Rozciąganie/ściskanie – warunek ekonomiczności

Warunek ekonomiczności w przypadku konstruowania elementów poddawanych rozciąganiu/ściskaniu polega między innymi na unikaniu nadmiernego przewymiarowywania wymiarów poprzecznych elementów, ponad wartość teoretyczną (A_min) spełniającą odpowiedni warunek bezpieczeństwa:

𝑨

= 𝑵

𝒌

𝑨

= 𝑵 𝒌

Dopuszczalne naprężenia k_r i k_c spełniają już wymagane zapasy bezpieczeństwa.

© T. Machniewicz

2.11. Rozciąganie/ściskanie – przykłady obliczeń

Przykład 1.1:

Obliczyć wartości naprężeń w poszczególnych częściach pręta jak na rysunku, całkowitą zmianę jego długości wywołaną działającym obciążeniem, a także końcową średnicę w przekroju 3-3.

Dane: Szukane:

P₁

=6 kN, P

=9 kN, P

=60 kN, E=2.110

MPa , =0.3

,

,

= ???

d₁

=20 mm, d

=10 mm, d

=30 mm, l= 400 mm

=?,

l l l

d 2 d 1 d 0 𝑷_𝟏𝑷_𝟐𝑷_𝟑

1

1 2

2 3

3

𝑵(kN)

𝑵_𝟏−𝟏 = −𝟔 𝒌𝑵 𝑵_𝟐−𝟐 = −𝟏𝟓 𝒌𝑵

𝑵_𝟑−𝟑 = 𝟒𝟓 𝒌𝑵

𝑷_𝟏 𝑷_𝟐

𝑷_𝟑

𝜎

= 𝑁

𝐴

= 4 ∙ 𝑁

𝜋 𝑑

− 𝑑

𝝈

= 4 ∙ (−6000)

𝜋 20

− 10

= −𝟐𝟓. 𝟒𝟔 𝐌𝐏𝐚 𝜎

= 𝑁

𝐴

= 4 ∙ 𝑁

𝜋𝑑

𝝈

= 4 ∙ (−15000)

𝜋 ∙ 20

= −𝟒𝟕. 𝟕𝟓 𝐌𝐏𝐚 𝜎

= 𝑁

𝐴

= 4 ∙ 𝑁

𝜋𝑑

𝝈

= 4 ∙ 45000

𝜋 ∙ 30

= 𝟔𝟑. 𝟔𝟔 𝐌𝐏𝐚

𝑹

𝑹

𝐴₁₋₁

d 1

𝑨_𝟐−𝟐

d 1

𝑨_𝟑−𝟑

d 2

© T. Machniewicz

1.11. Rozciąganie/ściskanie – przykłady obliczeń

Przykład 1.1:

Dane: Szukane:

P₁

=6 kN, P

=9 kN, P

=60 kN, E=2.110

MPa,

=0.3

,

,

= ???

d₁

=20 mm, d

=10 mm, d

=30 mm, l= 400 mm

=?,

l l l

d 2 d 1 d 0 𝑷_𝟏𝑷_𝟐𝑷_𝟑

1

1 2

2 3

3

𝑵(kN)

𝑵_𝟏−𝟏 = −𝟔 𝒌𝑵 𝑵_𝟐−𝟐 = −𝟏𝟓 𝒌𝑵

𝑵_𝟑−𝟑 = 𝟒𝟓 𝒌𝑵

𝑷_𝟏 𝑷_𝟐

𝑷_𝟑

𝑹

∆𝑙

= 𝑁

∙ 𝑙

𝐴

∙ 𝐸 = 4 ∙ 𝑁

∙ 𝑙 𝜋 𝑑

− 𝑑

∙ 𝐸

∆𝒍

= ∆𝒍

+ ∆𝒍

+ ∆𝒍

∆𝒍_𝟏= 4 ∙ (−6000) ∙ 400

𝜋 20² − 10² ∙ 2.1 ∙ 10⁵ = −𝟎. 𝟎𝟒𝟖𝟓 𝐦𝐦

∆𝑙

= 𝑁

∙ 𝑙

𝐴

∙ 𝐸 = 4 ∙ 𝑁

∙ 𝑙 𝜋 ∙ 𝑑

∙ 𝐸

∆𝒍_𝟐= 4 ∙ (−15000) ∙ 400

𝜋 ∙ 20²∙ 2.1 ∙ 10⁵ = −𝟎. 𝟎𝟗𝟎𝟗 𝐦𝐦

∆𝑙

= 𝑁

∙ 𝑙

𝐴

∙ 𝐸 = 4 ∙ 𝑁

∙ 𝑙 𝜋 ∙ 𝑑

∙ 𝐸

∆𝒍_𝟑= 4 ∙ 45000 ∙ 400

𝜋 ∙ 30²∙ 2.1 ∙ 10⁵ = 𝟎. 𝟏𝟐𝟏𝟑 𝐦𝐦

∆𝒍 = ∆𝑙 + ∆𝑙 + ∆𝑙 = −0.0485 − 0.0909 + 0.1213 = −𝟎. 𝟎𝟏𝟖𝟏 𝐦𝐦 𝑹

𝐴₁₋₁

d 1

𝑨_𝟐−𝟐

d 1

𝑨_𝟑−𝟑

d 2

© T. Machniewicz

1.11. Rozciąganie/ściskanie – przykłady obliczeń

Przykład 1.1:

Dane: Szukane:

P₁

=6 kN, P

=9 kN, P

=60 kN, E=2.110

MPa,

=0.3

,

,

= ???

d₁

=20 mm, d

=10 mm, d

=30 mm, l= 400 mm

=?,

l l l

d 2 d 1 d 0 𝑷_𝟏𝑷_𝟐𝑷_𝟑

1

1 2

2 3

3

𝑵(kN)

𝑵_𝟏−𝟏 = −𝟔 𝒌𝑵 𝑵_𝟐−𝟐 = −𝟏𝟓 𝒌𝑵

𝑵_𝟑−𝟑 = 𝟒𝟓 𝒌𝑵

𝑷_𝟏 𝑷_𝟐

𝑷_𝟑

𝑹

∆𝑑

𝑑

= 𝜀

= −𝜈𝜀 = −𝜈 ∆𝑙

𝑙

−𝜈 ∆𝑙

𝑙 𝑑

= ∆𝑑

= 𝑑

′ − 𝑑

𝑑

= 𝑑

− 𝜈 ∆𝑙

𝑙 𝑑

= 𝑑

1 − 𝜈 ∆𝑙

𝑙 𝒅

= 30 1 − 0.3 0.1213

𝑙 = 𝟐𝟗. 𝟗𝟗𝟕 𝐦𝐦

𝑹

𝐴₁₋₁

d 1

𝑨_𝟐−𝟐

d 1

𝑨_𝟑−𝟑

d 2

© T. Machniewicz

1.11. Rozciąganie/ściskanie – przykłady obliczeń

Przykład 1.2:

Dobrać średnice prętów konstrukcji jak na rysunku a następnie obliczyć pionowe przemieszczenie punktu C, znając długość początkową prętów l.

Dane: Szukane:

P=21.6 kN, k_r

=120 MPa, =30

, E=2.110

MPa, l=1.2 m

=?

𝑷

𝑺 𝑺

Ze względu na symetrię układu sił (oraz warunek ^𝑛_𝑖=1𝐹_𝑖𝑥 = 0):

S₁=S₂=S  d₁=d₂=d 𝐹_𝑖𝑦 = 0

𝑛

𝑖=1 2𝑆 cos 𝛼 − 𝑃 = 0 x

y

𝑺 = 𝑷

𝟐 𝒄𝒐𝒔 𝜶 = 21.6 2 ∙ 32

≈ 𝟏𝟐. 𝟒𝟕 𝐤𝐍 Warunek bezpieczeństwa:

𝝈_𝒓 = 𝑵

𝑨_𝑟 ≤ 𝒌_𝒓 𝜎_𝑟 = 𝟒 ∙ 𝑺

𝝅 ∙ 𝒅^𝟐 ≤ 𝒌_𝒓

𝒅 ≥ 𝟒 ∙ 𝑺

𝝅 ∙ 𝒌_𝒓 = 𝟒 ∙ 𝟏𝟐. 𝟒𝟕 ∙ 𝟏𝟎^𝟑

𝝅 ∙ 𝟏𝟐𝟎 = 𝟏𝟏. 𝟓𝟏 𝐦𝐦 Przyjmujemy: d=12 mm

C

A B

© T. Machniewicz

1.11. Rozciąganie/ściskanie – przykłady obliczeń

Przykład 1.2:

Dane: Szukane:

P=21.6 kN, k_r

=120 MPa,

=30

, E=2.110

MPa, l=1.2 m

=?

𝑷

𝑺 𝑺

x y

C

A B

C

C’

fc

∆𝒍 = 𝑆 ∙ 𝑙

𝐴 ∙ 𝐸 = 𝟒 ∙ 𝑺 ∙ 𝒍 𝝅 ∙ 𝒅^𝟐 ∙ 𝑬 𝒇_𝒄 = ∆𝒍

𝐜𝐨𝐬 𝜶

𝒇_𝒄 = 𝟒 ∙ 𝑺 ∙ 𝒍 𝝅 ∙ 𝒅^𝟐 ∙ 𝑬 ∙ 𝐜𝐨𝐬 𝜶

𝒇_𝒄 = 𝟒 ∙ 𝟏𝟐. 𝟒𝟕 ∙ 𝟏𝟎^𝟑 ∙ 𝟏𝟐𝟎𝟎 𝝅 ∙ 𝟏𝟐^𝟐 ∙ 𝟐. 𝟏 ∙ 𝟏𝟎^𝟓 ∙ 𝟑 𝟐

= 𝟎. 𝟕𝟐𝟕𝟓 𝐦𝐦 𝑺 = 𝟏𝟐. 𝟒𝟕 𝐤𝐍

𝒅 = 𝟏𝟐 𝐦𝐦

© T. Machniewicz

1.12. Rozciąganie/ściskanie – układy statycznie niewyznaczalne

Statycznie niewyznaczalnymi nazywamy takie układy obciążeń, w których liczba niewiadomych reakcji jest większa od znanej ze statyki liczby warunków równowagi, np.:

𝑺_𝐀 𝑺 _𝑪 𝑺 _𝑩

𝑹_By 𝑹_Ay

𝑴_𝑼

A 𝑹 𝒒 B

𝑹_Ax 𝑹_Bx

𝑹_𝐁 𝑷

𝑹_𝐁

2 liczba składowych reakcji 3

- -

1 liczba równań statycznej

równowagi 2

= =

1 reakcja nadliczbowa 1 𝑷

C

A B

5 liczba składowych reakcji -

3 liczba równań statycznej równowagi

=

2 reakcja nadliczbowa

Układy jednokrotnie statycznie niewyznaczale Układ dwukrotnie statycznie niewyznaczaly

Układ 8 krotnie statycznie niewyznaczaly

© T. Machniewicz

1.12. Rozciąganie/ściskanie – układy statycznie niewyznaczalne

𝑹_𝐁 𝑷

𝑹_𝐁 𝑺_𝐀 𝑺 _𝑪 𝑺 _𝑩

𝑷 C

A B

𝑹_By 𝑹_Ay

𝑴_𝑼

A 𝑹 𝒒 B

𝑹_Ax 𝑹_Bx

𝑷

Układy statycznie niewyznaczalne rozwiązać można uwzględniając odkształcenia elementów tworzących dany obiekt, tj. uzupełniając równania równowagi statycznej odpowiednimi równaniami równowagi odkształceń, tak by łączna liczba równań odpowiadała liczbie nieznanych składowych reakcji.

Odkształcenia (zmiana długości) elementu może być w szczególności wynikiem:

 działania sił:

 działania temperatury:

∆𝒍 = 𝑷𝒍 𝑨𝑬

∆𝒍 = ∆𝒕 ∙ 𝒍 ∙ 𝜶

P – osiowa siła l – długość elementu E – moduł Younga

 ∆𝒕 = 𝒕

− 𝒕

– przyrost temperatury

 (𝟏 ℃ ), (𝟏 𝑲 ) – współczynnik rozszerzalności termicznej

© T. Machniewicz

B

1.13. Układy statycznie niewyznaczalne – przykłady obliczeń

Przykład 1.3:

Dobrać średnice prętów (d

) konstrukcji jak na rysunku.

Dane: Szukane:

P=21.6 kN, k_r

=120 MPa, E

, l

=l

, A

=?, d

=?

A

𝑷

1 2

2a 2a a

l₁ l₂

𝑀_𝑖𝐴 = 0

𝑛 𝑖=1

𝑹_𝟏 𝑹₂

Równanie równowagi statycznej:

∆𝑙₁

2𝑎 = ∆𝑙₂

4𝑎 ∆𝑙₂ = 2∆𝑙₁ Równanie równowagi odkształceń:

∆𝑙 = 𝑅

𝐴𝐸 = 4𝑅 𝜋𝑑²𝐸

4𝑅₂

𝜋𝑑₂²𝐸 = 2 4𝑅₁ 𝜋𝑑₁²𝐸 𝑹_𝟐 = 𝟐𝑹_𝟏𝒅_𝟐^𝟐

𝒅_𝟏^𝟐 uwzględniając: 𝐴₂ = 2𝐴₁ 𝜋𝑑₂²

4 = 2𝜋𝑑₁²

4 𝒅_𝟐^𝟐

𝒅_𝟏^𝟐 = 𝟐

𝑹_𝟐 = 𝟒𝑹_𝟏

−𝑅₁2𝑎 − 𝑅₂4𝑎 + 𝑃5𝑎 = 0

− 𝑅₁2𝑎 − 𝑅₂4𝑎 + 𝑃5𝑎 = 0

− 𝑅₁2𝑎 − 4𝑅₁4𝑎 + 𝑃5𝑎 = 0 18𝑅₁ = 5𝑃 𝑹_𝟏 = 𝟓 𝟏𝟖𝑷

𝑅₂ = 4𝑅₁ 𝑹_𝟐 = 𝟐𝟎 𝟏𝟖𝑷

© T. Machniewicz

B

1.13. Układy statycznie niewyznaczalne – przykłady obliczeń

Przykład 1.3:

Dobrać średnice prętów (d

) konstrukcji jak na rysunku.

Dane: Szukane:

P=21.6 kN, k_r

=120 MPa, E

, l

=l

, A

=?, d

=?

A

𝑷

1 2

2a 2a a

l₁ l₂ 𝑹_𝟏 𝑹₂

𝑹_𝟏 = 𝟓

𝟏𝟖𝑷 𝑹_𝟐 = 𝟐𝟎 𝟏𝟖𝑷

𝜎_𝑟1 = 𝟒 ∙ 𝑹_𝟏

𝝅 ∙ 𝒅_𝟏^𝟐 ≤ 𝒌_𝒓 𝒅_𝟏 ≥ 𝟒 ∙ 𝑹_𝟏

𝝅 ∙ 𝒌_𝒓 = 𝟐𝟎 ∙ 𝑷

𝟏𝟖 ∙ 𝝅 ∙ 𝒌_𝒓 = 𝟐𝟎 ∙ 𝟐𝟏𝟔𝟎𝟎

𝟏𝟖 ∙ 𝝅 ∙ 𝟏𝟐𝟎 = 𝟕. 𝟗𝟖 mm

Ostatecznie przyjmujemy:

𝒅_𝟏 = 𝟏𝟏. 𝟑 𝑚𝑚 𝒅_𝟐^𝟐 = 𝟐𝒅_𝟏^𝟐 𝒅_𝟐 = 𝒅_𝟏 𝟐 𝒅_𝟐 = 𝟕. 𝟗𝟕 ∙ 𝟐

𝒅_𝟐 = 𝟏𝟔. 𝟎 𝑚𝑚 1 Warunek bezpieczeństwa dla pręta (1):

wówczas:

2 Warunek bezpieczeństwa dla pręta (2):

= 𝟏𝟏. 𝟐𝟖 𝒎𝒎

𝜎_𝑟1 = 𝟒 ∙ 𝑹_𝟐

𝝅 ∙ 𝒅_𝟐^𝟐 ≤ 𝒌_𝒓 𝒅_𝟐 ≥ 𝟒 ∙ 𝑹_𝟐

𝝅 ∙ 𝒌_𝒓 = 𝟖𝟎 ∙ 𝑷

𝟏𝟖 ∙ 𝝅 ∙ 𝒌_𝒓 = 𝟖𝟎 ∙ 𝟐𝟏𝟔𝟎𝟎

𝟏𝟖 ∙ 𝝅 ∙ 𝟏𝟐𝟎 = 𝟏𝟓. 𝟗𝟓 mm 𝒅_𝟏 = 𝒅_𝟐 𝟐 𝒅_𝟏 = 𝟏𝟓. 𝟗𝟓 𝟐

wówczas: = 𝟏𝟏. 𝟐𝟖 𝒎𝒎

© T. Machniewicz

1.13. Układy statycznie niewyznaczalne – przykłady obliczeń

Przykład 1.4:

Pręt o skokowo zmiennym przekroju został umieszczony między dwoma sztywnymi i nieprzesuwnymi ścianami z luzem

. Obliczyć normalne naprężenia w obu przekrojach pręta (

,

), jeżeli zostanie on obciążony osiową siłą P jak na rysunku.

Dane: P, A, E,  Szukane: 

=?, 

=?

𝑹_𝑨 𝑷

2AE AE

l l 

  𝑹_𝑩

𝐹_𝑖𝑥 = 0

𝑛 𝑖=1

Równanie równowagi statycznej:

− 𝑅_𝐴+ 𝑃 − 𝑅_𝐵 = 0 Równanie równowagi odkształceń:

∆𝑙_𝐶 = ∆𝑙₁ + ∆𝑙₂ = 𝛿

∆𝑙_𝑖= 𝑁_𝑖𝑙 𝐴_𝑖𝐸_𝑖

𝑁₁𝑙

2𝐴𝐸 +𝑁₂𝑙

𝐴𝐸 = 𝛿

𝑵_𝟏 = 𝑹_𝑨 𝑵_𝒊

𝑵_𝟐 = 𝑹_𝑨− 𝑷 = −𝑹_𝑩

𝑹_𝑨 𝑷

𝑹_𝑩

𝑁₁ = 𝑅_A 𝑁₂ = 𝑅_A− 𝑃

𝑅_𝐴𝑙

2𝐴𝐸 + 𝑅_𝐴 − 𝑃 𝑙

𝐴𝐸 = 𝛿 𝑅_𝐴𝑙

2𝐴𝐸 +𝑅_𝐴𝑙

𝐴𝐸 − 𝑃𝑙

𝐴𝐸 = 𝛿 3

2𝑅_𝐴 = 𝑃 + 𝛿

𝑙 𝐴𝐸 𝑹𝑨 = 𝟐

𝟑 𝑷 + 𝜹

𝒍 𝑨𝑬

−𝑅_𝐴 + 𝑃 − 𝑅_𝐵 = 0

uwzględniając:

𝑹_𝑩 = 𝑷 − 𝑹_𝑨 = 𝟏

𝟑 𝑷 − 𝟐𝜹

𝒍 𝑨𝑬 stąd: 𝝈_𝟏 = 𝑁₁

𝐴₁ = 𝑅_𝐴

2𝐴 = 𝟏 𝟑

𝑷 𝑨 +𝜹

𝒍 𝑬 𝝈_𝟐 = 𝑁₂

𝐴₂ = −𝑅_𝐵 𝐴 = 𝟏

𝟑 𝟐𝜹

𝒍 𝑬 −𝑷 𝑨

© T. Machniewicz

1.13. Układy statycznie niewyznaczalne – przykłady obliczeń

Przykład 1.5:

Trójstopniowy pręt jak na rysunku umieszczono pomiędzy nieprzesuwnymi sztywnymi ścianami a następnie podgrzano o

t. Obliczyć największe normalne naprężenia w pręcie.

Dane: l, A, E,

,

 Szukane:

=?

l l l

AE 2AE

3AE 𝑹

𝑹

∆𝒍_𝑪 = 𝜹 (𝟏)

∆𝒍_𝑪 = ∆𝒍_𝑻 + ∆𝒍_𝑭 (𝟐)

∆𝑙_𝑇 − wydłużenie wywołane zmianą temperatury

∆𝑙_𝐹 − wydłużenie wywołane działaniem sił

∆𝒍_𝑻 = 𝟑𝒍 ∙ 𝜶 ∙ ∆𝒕 (𝟑)

∆𝑙_𝐹 = ∆𝑙_𝐹1 + ∆𝑙_𝐹2 + ∆𝑙_𝐹1







∆𝑙_𝐹1 = − 𝑅𝑙

3𝐴𝐸 ∆𝑙_𝐹2 = − 𝑅𝑙

𝐴𝐸 ∆𝑙_𝐹3 = − 𝑅𝑙 2𝐴𝐸

∆𝑙_𝐹 = − 𝑅𝑙

3𝐴𝐸 − 𝑅𝑙

𝐴𝐸 − 𝑅𝑙

2𝐴𝐸 = − 2𝑅𝑙

6𝐴𝐸 − 6𝑅𝑙

6𝐴𝐸 − 3𝑅𝑙

6𝐴𝐸 ∆𝒍_𝑭 = −𝟏𝟏𝑹𝒍

𝟔𝑨𝑬 (𝟒) (1)

(2) ∆𝒍_𝑻 + ∆𝒍_𝑭 = 𝜹 (3) (4)

𝟑𝒍 ∙ 𝜶 ∙ ∆𝒕 − 𝟏𝟏𝑹𝒍

𝟔𝑨𝑬 = 𝜹

𝑹 = 𝟔𝑨𝑬

𝟏𝟏𝒍 𝟑𝒍 ∙ 𝜶 ∙ ∆𝒕 − 𝜹 𝝈_𝒎𝒂𝒙 = 𝝈 = −𝑹

𝑨 𝝈 = 𝟔𝑬 𝟑𝒍 ∙ 𝜶 ∙ ∆𝒕 − 𝜹 𝟏𝟏𝒍

© T. Machniewicz