(1)Zestaw zadań domowych nr 5, GAL I.2 Data zwrotu Zadanie 1

Zestaw zadań domowych nr 5, GAL I.2 Data zwrotu: 15.4.2020

Zadanie 1. Zastosować ortogonalizację Grama-Schmidta do wektorów: (2, 1, 3, −1), (7, 4, 3, −3), (1, 1, −6, 0), (5, 7, 7, 8).

Zadanie 2. Znajdź wzór na rzut prostopadły na lin{(1, 2, 2, −1)}^⊥.

Zadanie 3. Korzystając z kryterium Sylvestera wyznacz te pary (s, t) ∈ R × R, dla których forma dwuliniowa ξ : R³× R³ → R, zadana macierzą

M (ξ, st) =







1 s 1 2 5 2 1 2 t





.

jest iloczynem skalarnym. Jaką miarę może mieć kąt zorientowanty ](e1, e₃) w geometrii zadanej przez ξ , gdzie (e_i)_1¬i¬3 jest bazą standardową R³.

Zadanie 4. Niech α, β, γ ∈ V będą takie, że α+β +γ = 0. Udowodnij, że α×β = β ×γ = γ ×α.

Zadanie 5. Niech (V, ξ) będzie zorientowaną przestrzenią euklidesową wymiaru n + 1 i niech [v₁, v₂, . . . , v_n] ∈ lin{v₁, . . . , v_n}^⊥ oznacza iloczyn wektorowy układu v₁, v₂, . . . , v_n (Patrz Definicja 5, Wykład 9: link). Udowodnij, że

(a) [v1, v₂, . . . , v_i−1, v_i+1, v_i, v_i+2, . . . , v_n] = −[v1, v₂, . . . , v_n] dla każdego 1 ¬ i ¬ n − 1.

(b) Niech D := adw1,...,wn−1 oznacza endomorfizm v 7→ [w1, . . . , wn−1, v]. Udowodnij, że

D([v₁, . . . , vn]) =

n

X

i=1

[v₁, v₂, . . . , vi−1, D(vi), vi+1, . . . , vn].

Zadanie 6. W przestrzeni euklidesowej (Rⁿ, h·, ·i) danych jest m wektorów α₁, α₂, . . . , αm ta- kich, że hα₁, α₂i < 0 dla każdych i 6= j. Udowodnij, że m ¬ n + 1.