Cwiczenia nr 13, GAL I.2, 26.5.2020 Przekształcenia afiniczne Zadanie 1. Określ wzorem przekształcenie afiniczne f : R

Cwiczenia nr 13, GAL I.2, 26.5.2020 Przekształcenia afiniczne

Zadanie 1. Określ wzorem przekształcenie afiniczne f : R³ → R³ takie, że f (1, 1, 1) = (1, 0, 0), f (2, 1, 2) = (0, 1, 0), f (3, 2, 5) = (1, 1, 1) i f (0, 2, 3) = (1, 3, 3).

Zadanie 2. Niech H1, H2 będą podprzestrzeniami afinicznymi w R⁴ opisanymi odpowiednio układami równań:

H₁ = {x₁+ 2x₂− x₄ = −1, x₂+ x₃+ x₄ = 1}, H₂ = {x₁+ 2x₄ = 2, 4x₂+ 2x₃− x₄ = 1.

Znajdź przekształcenie afiniczne f : R⁴ → R², dla którego f (H1) = (1, 3) oraz f (H2) = (−1, 5). Czy istnieje tylko jedno takie przekształcenie?

Zadanie 3. Niech f : R³ → R³, f (x, y, z) = (1+x+y, x−z, 1+y+z). Znajdź f⁻¹(af{(3, 0, 3), (2, 2, 0)}

1 oraz f (A), gdzie A = {x1+ x3 = 2, x2+ x3 = 1}.

Zadanie 4. Niech f : Rⁿ → Rⁿ będzie przekształceniem afinicznym takim, że dla pewnego m ∈ N mamy f^m = id.² Udowodnij, że f ma punkt stały.

Zadanie 5. Niech f : Rⁿ→ Rⁿjest przekształceniem afinicznym takim, że 1 nie jest wartością własną przekształcenia T(f ). Udowodnij, że f ma punkt stały.

Zadanie 6. Udowodnij, że f : A → B jest przekształceniem afinicznym wtedy i tylko wtedy, gdy

f (a · p + (1 − a) · q) = a · f (p) + (1 − a) · f (q) dla każdych p, q ∈ A i a ∈ R.

Zadanie 7. Niech l₁, l₂, l₃ ⊂ R³ będą prostymi afinicznymi takimi, że T(l₁)⊕T(l₂)⊕T(l₃) = R³ oraz l_i ∩ l_j 6= ∅. Niech proste l₁⁰, l₂⁰, l⁰₃ mają te same własności. Udowodnij, że istnieje izomorfizm afiniczny f : R³ → R³ taki, że f (l_i) = l_i⁰.

Zadanie 8. Udowodnij, że jeśli przy przekształceniu afinicznym f : R³ → R³ cztery punkty nie leżące na jednej płaszczyźnie są punktami stałymi, to f = id_R³.

Zadanie 9. Niech H ⊂ R³, H = {x₁+ 2x₂− x₃ = 2}, l = α(R), gdzie α(t) = (0 + 2t, 1, 1 + t).

Niech f : R³ → R³ będzie symetrią względem H wzdłuż l. Znajdź równanie opisujące f (H1), gdzie H1 = {2x1− x2+ x3 = 1}.

Zadanie 10. Niech H₁, H₂będą podprzestrzeniami afinicznymi w przestrzeni afinicznej H oraz T(H) = T(H₁) ⊕ T(H₂). Udowodnij, że H₁∩ H₂ jest zbiorem jednopunktowym.

Zadanie 11. Podaj przykład przekształcenia afinicznego f : R³ → R³ takiego, że f (0, 1, 0) = (1, 0, 0), f (1, 0, −1) = (3, −2, 0) oraz f (l₁) = l₂, gdzie l₁ = (1, 0, 0) + lin{[1, 1, −1]}, l₂ = (3, −1, −1) + lin{[2, 0, 0]}.

1f⁻¹(A), f (A) oznaczają, odpowieednio, przeciwobraz oraz obraz zbioru A przy przekształceniu f

2f^m= f ◦ f ◦ . . . ◦ f m razy

Zadanie 12. Niech M1 = {x1+ x2 = 1}, M2 = {x2+ x3 = 1} oraz l1 = (1, 0, 0) + lin{[0, 1, 1]}, l₂ = (0, 1, 0) + lin{[1, 0, 1]}. Podaj przykład przekształcenia afinicznego f : R³ → R³ takiego, że f (M_i) = l_i.

Zadanie 13. Dla jakich a ∈ R przekształcenie f : R³ → R³ określone wzorem f (x₁, x₂, x₃) = (1 + ax₁+ 2x₂, 2 + 2x₁+ x₂+ 4x₃, 1 + 3x₃) jest izomorfizmem afinicznym?

Zadanie 14. Niech f : R² → R³, g : R³ → R³ zadane bedą przez g(x, y, z) = (1 + x + z, y − z, −3 + x + 2y),

M (f ) =











1 2 |1 2 −1 |1 1 0 |5 0 0 |1











Znajdź macierz przekształcenia afinicznego g ◦ f .

2