Zadania RP 1, seria I . Termin oddania: 11.3.2020 Zadanie 1. Proszę uprościć sumę (0 ¬ a ¬ k − 1)
k
X
j=a
(−1)jj a
k j
.
Zadanie 2. Na okręgu stoi n przedmiotów. Wykaż, że liczba wyborów k z nich tak, żeby żadne dwa nie były obok siebie, jest równa nk n−k−1k−1 .
Zadanie 3. Udowodnij, ze dla dowolnych liczb naturalnych k ¬ n zachodzi równość
k3n k
= nn − 1 k − 1
+ 3n(n − 1)n − 2 k − 2
+ n(n − 1)(n − 2)n − 3 k − 3
.
(Dodatkowy punkt za dowód przy pomocy historyjki kombinatorycznej.) Zadanie 4. Znajdź liczbę rozwiązań nierówności
x1+ x2+ x3+ x4¬ 50 w liczbach całkowitych dodatnich, przy czym xi i dla 1 ¬ i ¬ 4.
Zadanie 5. Losujemy funkcję f : {1, 2, . . . , k} → {1, 2, . . . , n}. Oblicz prawdopodobieństwo, że wylosujemy funkcję
„na”.
Zadanie 6. Ustawiamy 10 dziewczyn i 3 chłopców w okręgu. Jakie jest prawdopodobieństwo, że chłopcy nie siedzą obok siebie?
