Zadania z RP 2
Seria 1. Zbieżność rozkładów
We wszystkich poniższych zadaniach (E, ρ) jest przestrzenią metryczną.
1. Wykazać, że dla dowolnych x, xn, δxn ⇒ δx wtedy i tylko wtedy, gdy xn → x 2. Sprawdzić, że n1 Pnk=1δk
n ⇒ λ, gdzie λ - miara Lebesgue’a na (0, 1).
3. Niech Xn będą zmiennymi losowymi o wartościach w E, określonymi na tej samej prze- strzeni probabilistycznej. Wykazać, że jeżeli Xn→ X, to XP n⇒ X.
4. Podać przykład ciągu zmiennych losowych określonych na wspólnej przestrzeni probabi- listycznej, które są zbieżne według rozkładu, ale nie są zbieżne według prawdopodobień- stwa.
5. Niech Xn będą zmiennymi losowymi o wartościach w E, określonymi na tej samej prze- strzeni probabilistycznej. Wykazać, że jeśli Xn ⇒ c, to Xn → c. Czy musi zachodzićP zbieżność p.n.?
6. (Twierdzenie Scheffe’go) Niech µ będzie miarą σ-skończoną, fn, f funkcjami nieujemnymi i takimi, że miary νn(A) = RAfndµ, ν(A) = RAf dµ są miarami probabilistycznymi. Niech fnp.w.→ f względem miary µ. Udowodnić, że
kν − νnkT V := sup
A
|ν(A) − νn(A)| = 1 2
Z
Ω
|f − fn|dµ → 0.
Wywnioskować stąd, że jeżeli fn → f p.w. względem miary µ, to νn⇒ ν.
7. Podać przykład rozkładów ciągłych µ, µnna R o gęstościach odp. f, fn, takich że µn ⇒ µ, ale nie jest prawdą, że fn → f p.w. względem miary Lebesgue’a.
8. Niech S ⊆ E będzie zbiorem przeliczalnym, zaś µ, µn miarami probabilistycznymi sku- pionymi na S.
a) Wykazać, że jeżeli µn({x}) → µ({x}) dla każdego x ∈ S, to µn⇒ µ.
b) Wykazać, że jeżeli każdy punkt zbioru S jest izolowany, to implikację z punktu a) można odwrócić oraz że bez tego założenia nie jest to prawdą.
c) Czy z istnienia granic limn→∞µn({x}) dla każdego x ∈ S wynika, że ciąg µn zbiega słabo?
9. Wykazać, że jeśli npn→ λ > 0, to Bern(n, pn) ⇒ P oiss(λ).
10. Udowodnić, że jeśli Xn⇒ X oraz supnE|Xn|p < ∞ wówczas E|X|p < ∞, ale niekoniecznie limn→∞E|Xn|p = E|X|p. Tak jest jeśli supnE|Xn|p+ < ∞.
Zadania z RP 2
Seria 2. Zbieżność rozkładów
1. Niech Xnbędzie zmienną losową o rozkładzie geometrycznym z parametrem 1/n. Zbadać słabą zbieżność ciągu Yn= n1Xn.
2. Niech Xi będą niezależnymi zmiennymi losowymi o rozkładzie jednostajnym na (0, 1) zbadać słabą zbiezność ciągu n min(X1, . . . , Xn).
3. Wykazać, że jeżeli Xn, Yn, Znsą określone na tej samej przestrzeni probabilistycznej oraz Xn⇒ X, Yn⇒ a, Zn ⇒ b, gdzie a, b ∈ R, to XnYn+ Zn ⇒ aX + b.
4. Niech Xn będzie pierwszą współrzędną wektora losowego o rozkładzie jednostajnym na sferze (odp. kuli) w Rn o środku 0 i promieniu√
n. Zbadać słabą zbieżność ciągu Xn. 5. Wykazać, że jeżeli XnYn ⇒ X, Yn ⇒ 0 oraz f jest funkcją różniczkowalną w zerze, to
Xn(f (Yn) − f (0)) ⇒ f0(0)X.
6. Niech h : E1 → E2będzie funkcją mierzalną, zaś D zbiorem punktów ciągłości h. Wykazać, że jeżeli Xn, X są zmiennymi losowymi, takimi że Xn ⇒ X oraz P(X ∈ D) = 0, to h(Xn) ⇒ h(X).
7. Znaleźć warunki konieczne i dostateczne na to, by poniższe rodziny miar były ciasne a) {U (a, b)}(a,b)∈I
b) {Exp(λ)}λ∈I c) {N (a, σ2)}(a,σ2)∈I.
8. Wykazać, że ciąg N (an, σ2n) jest słabo zbieżny wtedy i tylko wtedy gdy istnieją skończone granice a = limnan σ2 = limnσ2n i wówczas N (an, σn2) ⇒ N (a, σ2).
9. Udowodnić, że dla rzeczywistych zmiennych losowych Xn, X zachodzi równoważnosć Xn ⇒ X wtedy i tylko wtedy gdy istnieją zmienne Xn0, X0 takie, że Xn ∼ Xn0, X ∼ X0 oraz Xn0 p.n.→ X0.
10. Pokazać, że
d(µ, ν) = inf{ : Fµ(t) < Fν(t + ) + , Fν(t) < Fµ(t + ) + , ∀t ∈ R}
definiuje odległość w rozkładach na R, która zadaje słabą zbieżność.
11. Niech (E, ρ) będzie przestrzenią polską. Wykazać, że dBL(µ, ν) = sup
Z
E
f dµ −
Z
E
f dν
: f : E → [−1, 1], f jest 1-Lipschitzowska
definiuje odległość, która zadaje słabą zbieżność.
12. Udowodnić, że jeśli Xn⇒ X, Yn ⇒ Y oraz przy każdym n zmienne Xn, Yn są niezależne i X jest niezależne od Y , to (Xn, Yn) ⇒ (X, Y ).
13. Załóżmy, że X jest ograniczoną zmienną losową, zaś Xn ciągiem zmiennych losowych takim, że dla każdego k ∈ N EXnk → EX. Wykazać, że wówczas Xn⇒ X.
Zadania z RP 2.
Seria 3. Funkcje charakterystyczne
1. Obliczyć funkcje charakterystyczne podstawowych rozkładów a) dyskretnych,
b) ciągłych.
2. Pokazać, że kombinacje wypukłe funkcji charakterystycznych są funkcjami charaktery- stycznymi.
3. Udowodnić, że jeśli funkcja charakterystyczna zmiennej losowej ma drugą pochodną w zerze, to EX2 < ∞.
4. Wiadomo, że φ jest funkcją charakterystyczną pewnej zmiennej losowej X. Czy funkcjami charakterystycznymi są : φ2, Reφ, |φ|2, |φ|?
5. Niech ε1, ε2, . . . będą niezależnymi zmiennymi Rademachera. Przy pomocy funkcji cha- rakterystycznych sprawdzić, że zmienna losowa Pi12−iεi ma rozkład jednostajny na przedziale [−1, 1].
6. Sprawdzić, że splot rozkładów normalnych jest normalny.
7. Niech X będzie zmienną losową taką, że P (X ∈ Z) = 1. Wykazać, że dla każdego n ∈ Z, P (X = n) = 1
2π
Z 2π 0
e−itnφX(t)dt.
8. Zmienne losowe X, Y, U, V są niezależne o rozkładzie N (0, 1). Obliczyć funkcję charakte- rystyczną zmiennej a) XY , b) X2, c) X/Y , d) 12(X2 − Y2) e) XY + U V .
9. Twierdzenie Riemanna-Lebesgue’a Udowodnić, że jeśli X jest zmienną losową o rozkładzie ciągłym, to φX(t) → 0, gdy |t| → ∞.
10. Czy funkcja 2
1+ex2 jest funkcją charakterystyczną pewnego rozkładu?
11. Udowodnić, że φ(t) = e−|t|α nie jest funkcją charakterystyczną dla α > 2.
12. Wykazać, że dla 0 < α ¬ 2, φ(t) = e−|t|α jest funkcją charakterystyczną pewnego roz- kładu.
13. Zmienne losowe X1, X2, . . . są niezależne o wspólnym rozkładzie z funkcją charaktery- styczną ϕ, zaś zmienna N jest niezależna od ciągu (Xi) i ma rozkład Poissona z parame- trem λ. Wyznaczyć funkcję charakterystyczną zmiennej Z = X1+ . . . + XN.
14. Załóżmy, że X1, X2, . . . są niezależnymi, symetrycznymi zmiennymi losowymi o wspól- nym rozkładzie, z funkcją charakterystyczną ϕ różniczkowalną w zerze. Zbadać zbieżność według prawdopodobieństwa ciągu
X1+ . . . + Xn
n .
Zadania z RP 2.
Seria 4. Centralne twierdzenie graniczne
1. Rzucamy 900 razy kostką. Sumujemy oddzielnie parzyste liczby oczek i nieparzyste liczby oczek. Jakie jest w przybliżeniu prawdopodobieństwo, że suma parzystych liczb oczek będzie o co najmniej 500 większa od sumy nieparzystych liczb oczek?
2. Zmienna losowa Xλ ma rozkład Poissona z parametrem λ. Zbadać słabą zbieżność Xλ− λ
√ λ przy λ → ∞.
3. Zmienne losowe X1, X2, . . . są niezależne, mają ten sam rozkład, EX1 = 0, Var(X) = 1.
Zbadać zbieżność względem rozkładu ciągów Un=
√n(X1+ . . . + Xn)
X12+ . . . + Xn2 , Vn= X1+ . . . + Xn
qX12+ . . . + Xn2
(jeżeli mianownik wynosi zero, przyjmujemy, że cały ułamek również ma wartość zero).
4. Powiemy, że układ trójkątny (Xn,k) spełnia warunek Lyapunowa, jeżeli
n→∞lim
kn
X
k=1
E|Xn,k− EXn,k|2+δ = 0.
Wykazać, że warunek Lyapunowa implikuje warunek Lindeberga.
5. Niech Xk, k = 1, 2, . . . będzie ciągiem niezależnych zmiennych losowych, przy czym Xk
ma rozkład wykładniczy z parametrem 1/√
k. Zbadać słabą zbieżność ciągu Yn= (X1− EX1) + (X2− EX2) + . . . + (Xn− EXn)
n .
6. Zmienne losowe X1, X2, . . . są niezależne oraz P(Xk = k) = P(Xk = −k) = 1/2. Niech s2n =Pnk=1Var(Xk). Zbadać słabą zbieżność ciągu
X1+ . . . + Xn sn
.
7. Niech X1, X2, . . . będą niezależnymi zmiennymi losowymi, takimi, że P(Xn = ±1) = 1
2(1 − 1
n2), P(Xn = ±n) = 1 2n2. Wykazać, że
X1+ . . . + Xn
√n ⇒ N (0, 1),
ale Var(Xn) → 2.
8. Niech X będzie całkowalną z kwadratem zmienną losową, taką, że X ∼ Y +Z√2 , gdzie Y, Z - niezależne kopie X. Wykazać, że X ma rozkład N (0, σ2).
9. W urnie znajduje się jedna czarna kula. Wykonujemy następujący ciąg losowań: w każdym losowaniu ciągniemy kulę z urny, oglądamy ją, wrzucamy z powrotem oraz dorzucamy białą kulę. Dla n 1, niech Xnoznacza liczbę losowań do chwili n, w których wyciągnięto czarną kulę. Zbadać zbieżność według rozkładu ciągu
Xn− ln n
√ ln n .
10. Niech X1, X2, . . . będą zmiennymi i.i.d o średniej zero i wariancji σ2, zaś f funkcją róż- niczkowalną w 0. Wykazać, że√
n(f (Yn) − f (0)) zbiega słabo do rozkładu N (0, σ2f0(0)2), gdzie
Yn= X1+ . . . + Xn
n .
Zadania z RP 2.
Seria 5. Warunkowa wartość oczekiwana
1. Rzucamy dwa razy kostką. Niech X, Y oznacza liczbę oczek wyrzuconą odp. w pierwszym i drugim rzucie. Obliczyć
a) E(X|X + Y ),
b) E(X|XY = 3), E(X|XY = 8), E(X|XY = 36).
2. Wektor losowy (X, Y ) ma rozkład jednostajny na kole o środku (0, 0) i promieniu 1.
Obliczyć E(X2|Y = y), E(X2+ Y2+ 2Y |X = x),
3. Niech X, Y będą niezależnymi zmiennymi losowymi o rozkładzie jednostajnym na [0, 1].
Niech U = min(X, Y ), V = max(X, Y ). Wyznaczyć rozkłady warunkowe U względem V i V względem U .
4. Niech Xk oznacza liczbę sukcesów w pierwszych k próbach nieskończonego schematu Bernoulliego z prawdopodobieństwem sukcesu równym p. Wyznaczyć E(Xk|Xl) dla k, l 1.
5. Znaleźć rozkład warunkowy X po warunkiem X + Y = t, gdzie X, Y są niezależnymi zmiennymi losowymi o tym samym rozkładzie a) N (0, 1), b) Exp(λ), c) P oiss(λ).
6. Niech (X, Y ) będzie wektorem losowym o gęstości g(x, y) = 8xy1{x,y0,x2+y2¬1}(x, y).
Znaleźć E(X|Y = y).
7. X, Y są niezależnymi zmiennymi o rozkładzie N (0, 1). Znaleźć E(X2+ Y2|X + Y ).
8. Udowodnić, że całkowalna zmienna losowa X ma rozkład symetryczny wtedy i tylko wtedy, gdy E(X|X2) = 0.
9. Losujemy liczbę Λ z przedziału (0, 1), a następnie liczbę X z rozkładu Exp(Λ). Wyznaczyć gęstość zmiennych (Λ, X) oraz X.
10. Niech G ⊆ F będą σ-ciałami, zaś X zmienną losową, taką że E[E(X|F)]2 = E[E(X|G)]2. Wykazać, że E(X|F) = E(X|G).
11. Zmienne X, Y sa całkowalne z kwadratem, zaś G jest σ-ciałem. Wykazać, że E[XE(Y |G)] = E[Y E(X|G)].
12. Niech G ⊆ F będzie σ−ciałem. Przypuśćmy, że zmienna losowa X jest niezależna od G oraz że Y jest G−mierzalna. Niech f : R2 → R będzie funkcją borelowską, taką że E|f (X, Y )| < ∞. Wykazać, że
E(f (X, Y )|G) = φ(Y ), gdzie φ(y) = Ef (X, y).
Zadania z RP 2.
Seria 6. Martyngały
1. Załóżmy, że τ i σ są momentami stopu. Czy muszą być momentami stopu a) τ ∧ σ, b) τ ∨ σ, c) τ + 1, d) σ − 1?
2. (Xn, Fn)n0 jest takim martyngałem całkowalnym z kwadratem, że EXn2 = EXn+12 dla n ∈ N. Wykazać, że P(Xn = Xn+1) = 1.
3. Nieujemne zmienne losowe Yn są i.i.d. o średniej 1. Pokazać, że Mn = Y1· · · Yn tworzy martyngał względem naturalnej filtracji. Pokazać, że jest on zbieżny p.n. i wyznaczyć granicę. Czy jest on zbieżny w L1?
4. Załóżmy, że (Xn)∞n=0 jest ciągiem niezależnych zmiennych losowych o tym samym rozkła- dzie o średniej 0. Niech Z0 = 0, Zn = X0X1 + . . . + Xn−1Xn dla n 1. Udowodnić, że ciąg (Zn)n0 jest martyngałem.
5. Dany jest martyngał (Xn, Fn)n0 oraz moment zatrzymania τ . Udowodnić, że (Xτ ∧n, Fn) też jest martyngałem.
6. Niech X0, X2, . . . będzie ciągiem niezależnych zmiennych losowych o średniej zero i wa- riancji jeden. Rozważmy ciąg
Mn =
n
X
i=1
1
iXi−1Xi. Zbadać zbieżność ciągu Mn p.n. i w L2.
7. Egzaminator przygotował m zestawów pytań. Studenci kolejno losują kartki z pytaniami, przy czym zestaw raz wyciągnięty nie wraca do ponownego losowania. Student nauczył się odpowiedzi na k zestawów. Obserwując przebieg egzaminu, chce przystąpić do niego w takim czasie, by zmaksymalizować szansę zdania. Czy istnieje strategia optymalna?
W zadaniach 7-10 rozpatrujemy ciąg Xn, n 1 niezależnych zmiennych losowych o roz- kładzie P(Xn = 1) = 1−P(Xn= −1) = p /∈ {0, 1} i oznaczamy S0 = 0, Sn = X1+. . .+Xn
oraz dla a, b > 0, τa= inf{n 0 : Sn= a} oraz τa,b= inf{n 0 : Sn∈ {a, −b}}.
8. Załóżmy, że p = 1/2 i niech τ = τa,b. Korzystając z teorii martyngałów, obliczyć P(Sτ = a), P(Sτ = −b), Eτ .
9. Rozwiązać poprzednie zadanie przy założeniu p 6= 1/2.
10. Załóżmy, że p = 1/2 oraz τ jest całkowalnym momentem zatrzymania. Udowodnić, że ESτ = 0 oraz ESτ2 = Eτ .
11. Załóżmy, że p = 1/2. Wykazać, że Eτa = ∞
Zadania z RP 2.
Seria 7. Łańcuchy Markowa
1. Rzucamy kostką tak długo, aż pojawi się ciąg 15 lub 55. Jakie jest prawdopodobieństwo, że ciąg 15 pojawi się wcześniej?
2. Rzucamy symetryczną monetą, aż do momentu, gdy wyrzucimy pod rząd cztery orły.
Obliczyć wartość oczekiwaną liczby wykonanych rzutów.
3. Po wierzchołkach pięciokąta foremnego ABCDE przemieszczają się losowo dwa pionki.
Początkowo pierwszy pionek znajduje się w wierzchołku A, drugi w wierzchołku B. W kolejnych rundach każdy pionek przemieszcza się z prawdopodobieństwem 1/2 do jednego z sąsiednich wierzchołków, przy czym ruchy pionków są niezależne. Niech Xn, Ynoznaczają pozycje pionków po n rundach. Zdefiniujmy czas pierwszego spotkania T = inf{n 0 : Xn = Yn}. Wyznaczyć
a) P(T < ∞), b) ET .
4. W dużym domu z dwiema spiżarniami mieszkają kot i mysz. Każdej nocy mysz wybiera jedną spiżarnię na posiłek, zaś kot udaje się do jednej ze spiżarni na łowy. Jeżeli kot i mysz znajdą się w tej samej spiżarni, kot może złapać mysz z prawdopodobieństwem 1/3.
Każdej kolejnej nocy mysz (o ile nie została wcześniej złapana) zmienia spiżarnię z praw- dopodobieństwem 1/3, jeśli poprzedniej nocy nie spotkała kota; z prawdopodobieństwem 2/3, jeśli poprzedniej nocy spotkała kota. Kot zmienia spiżarnię z prawdopodobieństwem 2/3, jeśli poprzedniej nocy nie nastąpiło spotkanie; 1/3 jeśli spotkanie nastąpiło. Załóżmy, że pierwszej nocy kot i mysz były w różnych spiżarniach.
a) Wykazać, że kot z prawdopodobieństwem 1 złapie mysz.
b) Niech N oznacza liczbę nocy jakie upłynęły do momentu złapania myszy. Znaleźć EN .
5. Pan X lubi spędzać wieczory poza domem. Codziennie wieczorem wybiera się do kina, teatru lub na koncert. Jeżeli poprzedniego dnia był w kinie, to wybiera z prawdopodo- bieństwem 1/2 teatr i z prawdopodobieństwem 1/2 koncert; jeżeli był na koncercie, to z prawdopodobieństwem 1/4 udaje się do kina, a z prawdopodobieństwem 3/4 do teatru;
jeżeli zaś był w teatrze, to wybiera kino z prawdopodobieństwem 3/4 i koncert z prawdo- podobieństwem 1/4. Obliczyć w przybliżeniu prawdopodobieństwo, że 1 lutego 2022 roku Pan X wybierze teatr.
6. W każdej z czterech urn znajduje się jedna kula, która może być biała lub czarna. Powta- rzamy 10000 razy następujący eksperyment. Wybieramy losowo jedną z urn (z równymi prawdopodobieństwami), wyjmujemy z niej kulę, a następnie rzucamy symetryczną mo- netą. Jeśli wypadnie orzeł do pustej urny wkładamy kulę białą, w przeciwnym wypadku czarną. Obliczyć w przybliżeniu prawdopodobieństwo, że po zakończeniu ostatniego eks- perymentu, kule we wszystkich urnach będą tego samego koloru.
7. Macierz przejścia łańcuch Markowa (Xn)n0 na przestrzeni E = {1, 2, 3, 4} zadana jest następująco:
P =
0 12 12 0
1 4
1 2 0 14
2
3 0 0 13 0 23 13 0
.
(a) Zakładając, że X0 = 1 p.n., obliczyć prawdopodobieństwo, że Xn będzie w stanie 2 przed stanem 4.
(b) Zakładając, że X0 = 3 p.n., obliczyć wartość oczekiwaną czasu dojścia do stanu 2 (c) Wyznaczyć rozkład stacjonarny
(d) Czy łańcuch jest okresowy? Czy jest nieprzywiedlny?
8. Dany jest łańcuch Markowa (Xn)∞n=0 na pewnej przestrzeni stanów S oraz funkcja różno- wartościowa f : S → S. Wykazać, że (f (Xn))∞n=0 jest łańcuchem Markowa. Co jeśli f nie jest różnowartościowa?
9. Wykazać, że nieprzywiedlny łańcuch Markowa na skończonej przestrzeni stanów jest po- wracający.
10. Udowodnić, że jeżeli łańcuch Markowa jest powracający, to dla dowolnych dwóch stanów i, j, zachodzi Fij = 1.
