Zadania z RP 2 Seria 1. Zbieżność rozkładów We wszystkich poniższych zadaniach (E, ρ) jest przestrzenią metryczną. 1. Wykazać, że dla dowolnych x, x

Zadania z RP 2

Seria 1. Zbieżność rozkładów

We wszystkich poniższych zadaniach (E, ρ) jest przestrzenią metryczną.

1. Wykazać, że dla dowolnych x, x_n, δ_xn ⇒ δ_x wtedy i tylko wtedy, gdy x_n → x 2. Sprawdzić, że _n^{1 Pn}_k=1δ^k

n ⇒ λ, gdzie λ - miara Lebesgue’a na (0, 1).

3. Niech X_n będą zmiennymi losowymi o wartościach w E, określonymi na tej samej prze- strzeni probabilistycznej. Wykazać, że jeżeli X_n→ X, to X^P _n⇒ X.

4. Podać przykład ciągu zmiennych losowych określonych na wspólnej przestrzeni probabi- listycznej, które są zbieżne według rozkładu, ale nie są zbieżne według prawdopodobień- stwa.

5. Niech X_n będą zmiennymi losowymi o wartościach w E, określonymi na tej samej prze- strzeni probabilistycznej. Wykazać, że jeśli X_n ⇒ c, to X_n → c. Czy musi zachodzić^P zbieżność p.n.?

6. (Twierdzenie Scheffe’go) Niech µ będzie miarą σ-skończoną, f_n, f funkcjami nieujemnymi i takimi, że miary ν_n(A) = ^R_Af_ndµ, ν(A) = ^R_Af dµ są miarami probabilistycznymi. Niech f_n^p.w.→ f względem miary µ. Udowodnić, że

kν − ν_nk_{T V} := sup

A

|ν(A) − ν_n(A)| = 1 2

Z

Ω

|f − f_n|dµ → 0.

Wywnioskować stąd, że jeżeli f_n → f p.w. względem miary µ, to ν_n⇒ ν.

7. Podać przykład rozkładów ciągłych µ, µ_nna R o gęstościach odp. f, fn, takich że µ_n ⇒ µ, ale nie jest prawdą, że f_n → f p.w. względem miary Lebesgue’a.

8. Niech S ⊆ E będzie zbiorem przeliczalnym, zaś µ, µ_n miarami probabilistycznymi sku- pionymi na S.

a) Wykazać, że jeżeli µn({x}) → µ({x}) dla każdego x ∈ S, to µn⇒ µ.

b) Wykazać, że jeżeli każdy punkt zbioru S jest izolowany, to implikację z punktu a) można odwrócić oraz że bez tego założenia nie jest to prawdą.

c) Czy z istnienia granic limn→∞µn({x}) dla każdego x ∈ S wynika, że ciąg µn zbiega słabo?

9. Wykazać, że jeśli np_n→ λ > 0, to Bern(n, p_n) ⇒ P oiss(λ).

10. Udowodnić, że jeśli Xn⇒ X oraz sup_nE|Xⁿ|^p < ∞ wówczas E|X|^p < ∞, ale niekoniecznie lim_n→∞E|Xn|^p = E|X|^p. Tak jest jeśli sup_nE|Xn|^p+ < ∞.

Zadania z RP 2

Seria 2. Zbieżność rozkładów

1. Niech X_nbędzie zmienną losową o rozkładzie geometrycznym z parametrem 1/n. Zbadać słabą zbieżność ciągu Yn= _n¹X_n.

2. Niech X_i będą niezależnymi zmiennymi losowymi o rozkładzie jednostajnym na (0, 1) zbadać słabą zbiezność ciągu n min(X₁, . . . , X_n).

3. Wykazać, że jeżeli X_n, Y_n, Z_nsą określone na tej samej przestrzeni probabilistycznej oraz X_n⇒ X, Y_n⇒ a, Z_n ⇒ b, gdzie a, b ∈ R, to XnY_n+ Z_n ⇒ aX + b.

4. Niech Xn będzie pierwszą współrzędną wektora losowego o rozkładzie jednostajnym na sferze (odp. kuli) w Rⁿ o środku 0 i promieniu√

n. Zbadać słabą zbieżność ciągu X_n. 5. Wykazać, że jeżeli X_nY_n ⇒ X, Y_n ⇒ 0 oraz f jest funkcją różniczkowalną w zerze, to

Xn(f (Yn) − f (0)) ⇒ f⁰(0)X.

6. Niech h : E₁ → E₂będzie funkcją mierzalną, zaś D zbiorem punktów ciągłości h. Wykazać, że jeżeli X_n, X są zmiennymi losowymi, takimi że X_n ⇒ X oraz P(X ∈ D) = 0, to h(Xn) ⇒ h(X).

7. Znaleźć warunki konieczne i dostateczne na to, by poniższe rodziny miar były ciasne a) {U (a, b)}_(a,b)∈I

b) {Exp(λ)}λ∈I

c) {N (a, σ²)}_(a,σ²_)∈I.

8. Wykazać, że ciąg N (a_n, σ²_n) jest słabo zbieżny wtedy i tylko wtedy gdy istnieją skończone granice a = lim_na_n σ² = lim_nσ²_n i wówczas N (a_n, σ_n²) ⇒ N (a, σ²).

9. Udowodnić, że dla rzeczywistych zmiennych losowych X_n, X zachodzi równoważnosć X_n ⇒ X wtedy i tylko wtedy gdy istnieją zmienne X_n⁰, X⁰ takie, że X_n ∼ X_n⁰, X ∼ X⁰ oraz X_n^{0 p.n.}→ X⁰.

10. Pokazać, że

d(µ, ν) = inf{ : F_µ(t) < F_ν(t + ) + , F_ν(t) < F_µ(t + ) + , ∀t ∈ R}

definiuje odległość w rozkładach na R, która zadaje słabą zbieżność.

11. Niech (E, ρ) będzie przestrzenią polską. Wykazać, że d_BL(µ, ν) = sup

    Z

E

f dµ −

Z

E

f dν

: f : E → [−1, 1], f jest 1-Lipschitzowska



definiuje odległość, która zadaje słabą zbieżność.

12. Udowodnić, że jeśli X_n⇒ X, Y_n ⇒ Y oraz przy każdym n zmienne X_n, Y_n są niezależne i X jest niezależne od Y , to (X_n, Y_n) ⇒ (X, Y ).

13. Załóżmy, że X jest ograniczoną zmienną losową, zaś Xn ciągiem zmiennych losowych takim, że dla każdego k ∈ N EXn^k → EX. Wykazać, że wówczas Xn⇒ X.

14. (*) Dla n = 1, 2, . . . niech A_n będzie symetryczną macierzą n × n, której wyrazy na i powyżej przekątnej są niezależnymi zmiennymi Rademachera. Niech λⁿ₁ ¬ . . . ¬ λⁿ_N jako wartości własne (liczone z krotnościami) macierzy ^√1_nA_n. Określmy średnią miarę spektralną macierzy A_n wzorem

µn(A) = E1

n#{i ¬ n : λⁿ_i ∈ A}

dla A ∈ B(R). Zbadać słabą zbieżność ciągu µn. Wsk. Zbadać zbiezność momentów miary µn.

15. (*) Niech E będzie przestrzenią zwartą, zaś G jej grupą izometrii. Wykazać, że na E istnieje miara probabilistyczna µ, niezmiennicza ze względu na działanie grupy G, tzn.

taka, że µ(g⁻¹A) = µ(A) dla dowolnego g ∈ G oraz A ∈ B(E). Wsk. Niech N_n będzie dowolną skończoną _n¹-siecią w E. Rozważyć ciąg µ_n znormalizowanych miar liczących na N_n.

Zadania z RP 2.

Seria 3. Funkcje charakterystyczne

1. Obliczyć funkcje charakterystyczne podstawowych rozkładów a) dyskretnych,

b) ciągłych.

2. Pokazać, że kombinacje wypukłe funkcji charakterystycznych są funkcjami charaktery- stycznymi.

3. Udowodnić, że jeśli funkcja charakterystyczna zmiennej losowej ma drugą pochodną w zerze, to EX² < ∞.

4. Wiadomo, że φ jest funkcją charakterystyczną pewnej zmiennej losowej X. Czy funkcjami charakterystycznymi są : φ², Reφ, |φ|², |φ|?

5. Niech ε₁, ε₂, . . . będą niezależnymi zmiennymi Rademachera. Przy pomocy funkcji cha- rakterystycznych sprawdzić, że zmienna losowa ^P_i­12⁻ⁱε_i ma rozkład jednostajny na przedziale [−1, 1].

6. Sprawdzić, że splot rozkładów normalnych jest normalny.

7. Niech X będzie zmienną losową taką, że P (X ∈ Z) = 1. Wykazać, że dla każdego n ∈ Z, P (X = n) = 1

2π

Z 2π 0

e^−itnφX(t)dt.

8. Zmienne losowe X, Y, U, V są niezależne o rozkładzie N (0, 1). Obliczyć funkcję charakte- rystyczną zmiennej a) XY , b) X², c) X/Y , d) ¹₂(X² − Y²) e) XY + U V .

9. Twierdzenie Riemanna-Lebesgue’a Udowodnić, że jeśli X jest zmienną losową o rozkładzie ciągłym, to φ_X(t) → 0, gdy |t| → ∞.

10. Czy funkcja ²

1+e^x2 jest funkcją charakterystyczną pewnego rozkładu?

11. Udowodnić, że φ(t) = e^−|t|α nie jest funkcją charakterystyczną dla α > 2.

12. Wykazać, że dla 0 < α ¬ 2, φ(t) = e^−|t|α jest funkcją charakterystyczną pewnego roz- kładu.

13. Zmienne losowe X1, X2, . . . są niezależne o wspólnym rozkładzie z funkcją charaktery- styczną ϕ, zaś zmienna N jest niezależna od ciągu (X_i) i ma rozkład Poissona z parame- trem λ. Wyznaczyć funkcję charakterystyczną zmiennej Z = X₁+ . . . + X_N.

14. Załóżmy, że X1, X₂, . . . są niezależnymi, symetrycznymi zmiennymi losowymi o wspól- nym rozkładzie, z funkcją charakterystyczną ϕ różniczkowalną w zerze. Zbadać zbieżność według prawdopodobieństwa ciągu

X₁+ . . . + X_n

n .