LISTA 13
Zadanie 1.
Wyznacz wszystkie wartości parametru 𝑚, dla których równanie:
𝑥2− 4𝑚𝑥 − 𝑚3+ 6𝑚2+ 𝑚 − 2 = 0
ma dwa różne pierwiastki rzeczywiste dodatnie, takie, że kwadrat ich różnicy jest mniejszy od 8(𝑚 + 1).
Zadanie 2.
Liczby 𝑥, 𝑦, 19 w podanej kolejności tworzą ciąg arytmetyczny, przy czym 𝑥 + 𝑦 = 8. Oblicz 𝑥 i 𝑦.
Zadanie 3.
Rozwiąż równanie 2 sin2𝑥 − 2 sin2𝑥 cos 𝑥 = 1 − cos 𝑥 w przedziale 〈0; 2𝜋〉.
Zadanie 4.
Pole trójkąta prostokątnego jest równe 60𝑐𝑚2. Jedna przyprostokątna jest o 7𝑐𝑚 dłuższa od drugiej. Oblicz długość przeciwprostokątnej tego trójkąta.
Zadanie 5.
Podstawa 𝐴𝐵 trójkąta równoramiennego 𝐴𝐵𝐶 ma długość 8 oraz ∡𝐵𝐴𝐶 = 30°. Oblicz dłu- gość środkowej 𝐴𝐷 tego trójkąta.
Zadanie 6.
W ostrosłupie prawidłowym trójkątnym krawędź podstawy ma długość 𝑎. Ściany boczne są trójkątami ostrokątnymi. Miara kąta między sąsiednimi ścianami bocznymi jest równa 2𝛼.
Wyznacz objętość tego ostrosłupa.
Zadanie 7.
Oblicz prawdopodobieństwo tego, że w trzech rzutach symetryczną sześcienną kostką do gry suma kwadratów liczb uzyskanych oczek będzie podzielna przez 3.
Zadanie 8.
Rozwiąż równanie sin 4𝑥 −cos 5𝑥 = 0 w przedziale 〈0; 2𝜋〉.
Zadanie 9.
Niech 𝑚 = log217. Wykaż, że log727 =3(1−𝑚)
𝑚
Zadanie 10.
Oblicz, ile jest liczb ośmiocyfrowych, w zapisie których nie występuje zero, natomiast wy- stępują dwie dwójki i występują trzy trójki.
