LISTA 34 Zadanie 1.
Oblicz, dla jakich wartości parametru 𝑘 punkt przecięcia prostych o równaniach 𝑦 = −𝑥, 𝑦 = 𝑥 + 𝑘 należy do koła o nierówności (𝑥 + 1)2+ (𝑦 + 1)2 ≤ 10 .
Zadanie 2.
Wiadomo, że pierwiastkami wielomianu 𝑊(𝑥) = 𝑥3+ 𝑎𝑥2+ 𝑏𝑥 + 6 są liczby −1 i 2. Rozwiąż nierówność 𝑊(𝑥) > 0 .
Zadanie 3.
Wyznacz wszystkie wartości parametru 𝑚, dla których równanie (𝑚 − 1)𝑥2+ 2(𝑚 − 1)𝑥 + 𝑚 + 4 = 0 ma jedno rozwiązanie.
Zadanie 4.
W trójkącie o polu 1
4𝑎𝑏 dwa boki mają długości 𝑎 i 𝑏. Znajdź długość trzeciego boku.
Zadanie 5.
W graniastosłupie prawidłowym czworokątnym długość krawędzi podstawy jest równa 2𝑎.
Miara kąta między przekątną podstawy a przekątną ściany bocznej wychodzącej z tego samego wierzchołka jest równa 𝛼. Oblicz objętość graniastosłupa.
Zadanie 6.
Rozwiąż równanie sin (𝑥 +𝜋3) sin (𝑥 −𝜋
3) = −1
2 w przedziale 〈0, 2𝜋〉.
Zadanie 7.
Dany jest wielomian 𝑊(𝑥) = 2𝑥3+ 𝑛𝑥2+ 𝑚𝑥 + 8 . Wyznacz liczby 𝑛 i 𝑚, jeśli wiadomo, że reszta z dzielenia wielomianu 𝑊 przez dwumian (𝑥 + 2) jest równa 4 i jednym z pierwiastków jest liczba (−1). Wykaż, że ten wielomian ma dwa różne pierwiastki.
Zadanie 8.
Dana jest funkcja 𝑓(𝑥) = |𝑙𝑜𝑔2|𝑥|| . Naszkicuj wykres funkcji 𝑓, a następnie napisz wzór funkcji 𝑦 = 𝑔(𝑚), która każdej wartości parametru 𝑚 przyporządkowuje liczbę rozwiązań równania 𝑓(𝑥) = 𝑚. Naszkicuj wykres 𝑔.
Zadanie 9.
Suma trzech różnych liczb, tworzących ciąg geometryczny jest równa 156. Liczby te są jednocześnie pierwszym, siódmym i dwudziestym piątym wyrazem pewnego ciągu arytmetycznego. Wyznacz te liczby.
Zadanie 10.
Z urny zawierającej 4 kule białe i 6 czarnych losujemy jedną. Po obejrzeniu koloru zwracamy ją do urny. Następnie wyciągamy 2 kule. Oblicz prawdopodobieństwo, że w ten sposób wylosujemy 3 kule jednego koloru.
