LISTA 40
Zadanie 1.
Wyznacz wszystkie wartości parametru 𝑚, dla których nierówność 𝑚𝑥2+2(𝑚+1)𝑥+9𝑚+4𝑥2−7𝑥+13 < 0 jest prawdziwa dla każdego 𝑥 ∈ 𝑅.
Zadanie 2.
Wyznacz wszystkie trójwyrazowe ciągi geometryczne, których pierwszy wyraz i iloraz są liczbami naturalnymi, a suma wszystkich wyrazów ciągu wynosi 91.
Zadanie 3.
W trapezie równoramiennym jedna z podstaw jest dwa razy dłuższa od drugiej. Przekątna trapezu dzieli kąt przy dłuższej podstawie na połowy. Znajdź długości boków trapezu wiedząc, że jego pole jest równe 3√3 .
Zadanie 4.
Znajdź zbiór środków wszystkich okręgów przechodzących przez punkt 𝑃 = (3, 2) i stycznych do osi 𝑂𝑥.
Zadanie 5.
Z papierowego koła o promieniu 12 𝑐𝑚 wycięto wycinek o kącie 120° i zwinięto tworząc powierzchnię boczną stożka. Oblicz pole powierzchni bocznej stożka oraz jego objętość.
Zadanie6.
Dany jest ciąg o wyrazie ogólnym 𝑎𝑛= |𝑛2− 90| − 17. Uzasadnij, że ciąg ten nie jest monotoniczny. Znajdź najmniejszy wyraz tego ciągu.
Zadanie 7.
Rozwiąż równanie 𝑐𝑜𝑠243𝑥+4= 2 − 5
𝑐𝑜𝑠23𝑥+5 , gdzie 𝑥 ∈ 〈0, 𝜋〉.
Zadanie 8.
Dana jest funkcja 𝑓(𝑥) =𝑥2−4𝑥2 . Wykaż, że wykres tej funkcji jest symetryczny względem prostej 𝑥 = 2. Wyznacz największą wartość ujemną tej funkcji.
Zadanie 9.
Wyznacz liczby 𝑝 i 𝑞 tak, aby liczba 5 była dwukrotnym pierwiastkiem wielomianu 𝑊(𝑥) = 𝑥3− 8𝑥2+ 𝑝𝑥 + 𝑞. Oblicz trzeci pierwiastek.
Zadanie 10.
Dana jest nierówność |𝑥 − 1| + |𝑥 + 2| < 𝑚. Wyznacz te wartości parametru 𝑚, dla których ta nierówność nie ma rozwiązań.
