Charakterystyki statyczne wibroizolatorów Pi

Instytut Klimatyzacji i Ogrzewnictwa Wydział Inżynierii Środowiska Politechnika Wrocławska

Charakterystyki statyczne wibroizolatorów

Piąty maja 1997 roku. Reptowo, niewielka miejscowość pomiędzy Szczecinem a Stargardem Szczecińskim. Przez zwrotnicę z prędkością 116 km/h przejeżdża pociąg pośpieszny „Barbakan” prowadzony lokomotywą EU07-150. Kolejne wagony zmieniają tor na właściwy. Nagle zwrotnica zmienia położenie. Druga oś szóstego wagonu zostaje skierowana na tor obok.

Dwutorowa jazda pociągu osobowego kończy się katastrofą tragiczną w skutkach.

Po tym wypadku PKP zarządziła sprawdzanie wszystkich rozjazdów przewidzianych dla prędkości powyżej 100 km/h. Co było przyczyną wypadku, jeśli

zwrotnica nie została przestawiona przez człowieka, ani nie wystąpiła żadna inna awaria mechaniczna?

PAP J. Undro

Drgania mechaniczne

Każdy element obrotowy, taki jak wirnik, koło napędowe i wszelkiego rodzaju przekładnia pasowa, powinien być wykonany idealnie symetrycznie, tak aby jego masa rozłożona była równomiernie względem osi obrotu. W praktyce wytworzenie takiego idealnego elementu jest niewykonalne i zawsze pojawia się choćby drobne niewyważenie (Rysunek 1). Skutkiem takiego niewyważenia, czyli w praktyce efektem ubocznym ruchu obrotowego, są drgania konstrukcji nośnej, na której odbywa się ruch. Drgania te należy interpretować jako regularne uderzenia w podłożeⁱ, na którym znajduje się urządzenie (Rysunek 2). Niekiedy jest to zjawisko pożądane, na przykład w zagęszczarkach płytowych (Rysunek 3) lub mobilnym sprzęcie elektronicznym z funkcją wibracji.

Najczęściej jednak należy z tym zjawiskiem walczyć, aby uniknąć przenoszenia dużych sił na konstrukcje znajdujące się w bezpośrednim sąsiedztwie maszyn wirnikowych.

Rysunek 1. Niewyważenie wirnika.

Rysunek 2. Drgania w płaszczyźnie pionowej i poziomej.

Rysunek 3.

Zagęszczarka płytowa

Wibrujący telefon na sztywnym blacie stołu potrafi się przemieścić kilka centymetrów, robiąc przy tym spory hałas, gdy natomiast będzie leżał na tym samym stole, ale na kawałku gumy, praktycznie nie ruszy się z miejsca. Podobne zjawisko występuje w większych skalach. Gdy pompa o wydajności 500 m³/h jest zamocowana w bezpośrednim kontakcie z elementami konstrukcyjnymi budynku, bardzo prawdopodobne, że drgania generowane przez urządzenie będą powodowały pęknięcia w podłodze, lub na ścianach. W przypadku, gdy pompa jest zamocowana prawidłowo, a pomiędzy nią a budynkiem znajduje się warstwa materiału tłumiącego drgania, praca urządzenia powinna być dla konstrukcji budynku obojętna.

Materiał, który pochłania drgania generowane przez urządzenie to wibroizolator. Gdyby maszyna była skutecznie izolowana można by uznać, że problem przenoszenia szkodliwych sił został rozwiązany.

Tymczasem wprowadzając wibroizolację zmienimy fizykę całego układu. Pojawia się inny kłopot.

Wibroizolator jest elementem sprężystym, ściśliwym (Rysunek 4). Na przykład sprężyna, która pochłonie energię i ugnie się pod wpływem działania siły, ma tę energię w większej części zmagazynowaną i musi ją kiedyś oddać. Ściśnięta sprężyna, w momencie rozluźnienia ucisku (gdy siła, która ją naciska przestanie działać) szybko wróci do swoich normalnych rozmiarów, zamieniając zgromadzoną w swoich zwojach energię potencjalną na kinetyczną. Pracę wibroizolatora można więc scharakteryzować jako cykliczne zachodzenie procesów pochłaniania energii i jej oddawania.

Rezonans jest to wzrost amplitud drgań układu, spowodowany wzbudzaniem go częstotliwością równą częstotliwości drgań własnych układu.

Wobis

Wcześniej zauważono, że wskutek niewyważenia maszyn wirnikowych uderzają one z pewną częstością w powierzchnię, z którą mają kontakt. Gdy do tego doda się fakt, że wibroizolacja pracuje w cyklach pochłaniania i oddawania energii, można zadać sobie pytanie czy oba te zjawiska nie niosą ze sobą pewnych niebezpieczeństw. Musi istnieć taka częstość uderzeń generowanych przez urządzenie, że pokryje się ona idealnie z cyklem pracy wibroizolacji. Innymi słowy, kiedy sprężyna oddaje energię, maszyna emituje jedno drganie w tym samym kierunku. Kiedy sprężyna się ugina, czyli magazynuje energię, maszyna emituje drganie też w tym kierunku. Powoduje to, że siły się dodają i cały układ drga z jeszcze większa siłą (Rysunek 5). Opisane zjawisko nosi nazwę rezonansu.

Rezonans jest to wzrost amplitud drgań układu, spowodowany wzbudzaniem go częstotliwością równą częstotliwości drgań własnych układu. Zjawisko rezonansu doskonale rozumieją dzieci bawiące się na trampolinie, lub na huśtawce. Aby móc coraz wyżej odbijać się z trampoliny należy skakać na niej z odpowiednią częstotliwością. Gdyby skakać po niej zbyt szybko, lub zbyt wolno, nie uzyskałoby się żadnego efektu. Trampolina pochłaniałaby wszystkie ruchy skaczącego.

Rysunek 4. Niewyważony silnik wymusza na obiekcie drgania.

Rysunek 5. Wzrost amplitudy drgań.

Wibroizolacja spełnia swoje zadanie ograniczając drgania, pod warunkiem, że unikniemy wejścia całego układu w rezonans. I tak silnik wirujący z pewną określoną prędkością wzbudza układ drganiami dokładnie z taką samą częstotliwością (fw), na przykład wirnik obracający się z prędkością 60 obr / s wymusza, aby układ drgał z częstotliwością 60 Hz. Dla każdego układu z tym silnikiem częstotliwością wymuszająca będzie równa 60 Hz, nie ma znaczenia jak zbudowany jest układ i jaką pełni funkcjęⁱⁱ. Zatem konstruktor musi uważać, aby częstotliwość drgań własnych konstrukcji nie była zbliżona do 60 Hz, czyli żeby była inna niż częstotliwość wymuszająca.

Przyjmuje się, że częstotliwość drgań własnych powinna być od 3 do 5 razy mniejsza od częstotliwości wymuszającej. Wynika z tego, że wibroizolator należy dobrać tak, aby częstotliwość drgań własnych układu wynosiła w naszym przykładzie od 12 do 20 Hz.

W celu poznania częstotliwości rezonansowej układu należy odwołać się do jego fizycznych właściwości. Analizując równanie różniczkowe (Równanie 1) opisujące model elastycznego mocowania silnika (model wibroizolacji) oraz konfrontując je z rzeczywistością dowiedziono, że częstotliwość drgań własnych układu zależy od współczynnika sprężystości wibroizolatora oraz od

masy obciążającej wibroizolator. Znając obie te wielkości możemy w prosty sposób wyznaczyć szukaną wartość fr (Równanie 2).

dt ky cdy dt

y md

F  ²₂  

Równanie 1. Równanie dynamiki elastycznego mocowania silnika – układ wibroizolacji.

m f_r k

 2

 1

Równanie 2. Częstotliwość rezonansowa – zależność ogólna.

Wracając do omawianego przykładu, jeśli częstotliwość rezonansowa ma wynosić 12 Hz, a układ ma masę 50 kg to współczynnik k powinien być równy 283 956 N/m (Równanie 3). Należy więc szukać takiego wibroizolatora, aby hipotetyczny nacisk prawie 300 tysięcy Newtonów powodował hipotetyczne ugięcie 1 metra.

m Hz N

kg f

m

k (2 _r)² 50 (212 )² 283956

Równanie 3. Obliczenie żądanego współczynnika srężystości wibroizolacji w celu uniknięcia rezonansu.

Ponieważ k jest praktycznie najważniejszym parametrem wibroizolatora, jego wyznaczanie będzie głównym zadaniem niniejszego laboratorium. Na samym wstępnie należy zwrócić uwagę, że rzeczywistość jest bardziej skomplikowana niż nasze rozważania. Wspomniane równanie różniczkowe opisuje elementy idealne, w szczególności nieściśliwe. Wibroizolatory sprężynowe można uznać za nieściśliwe, natomiast gumowych już nie. Wymusza to wprowadzenie dodatkowych pojęć takich jak współczynnik sprężystości statyczny kst oraz dynamiczny kd. Współczynniki dynamiczne wyrażają wartość sprężystości w warunkach ruchu i to na ich podstawie można wyliczyć częstotliwości rezonansowe (Równanie 4).

m f_r k^d

 2

 1

Równanie 4. Częstotliwość rezonansowa.

Współczynniki statyczne dotyczą sprężystości wibroizolatora, ale w warunkach statycznych, czyli pod obciążeniem samej masy pozostającej w bezruchu. Zakładając nieściśliwość sprężyny przyjmujemy kd=kst. W przypadku gumy nie możemy już postawić takiego znaku równości, właśnie ze względu na fakt, że guma jest materiałem mocno ściśliwym.

Podczas laboratorium wyznacza się kst dla różnego typu wibroizolatorów. Interpretując już samą jednostkę N/m można dojść do wniosku, że ćwiczenie polega na obciążaniu elementu tłumiącego pewną masą m, a następnie pomiarze długości, jak bardzo dany element się ugiął -_st. Zależność taką opisuje wzór (Równanie 5).

st st st

g m k F





 



Równanie 5. Statyczny współczynnik sprężystości.

Cel ćwiczenia

 Pomiar ugięcia statycznego _st[ m ].

 Wyznaczenie statycznego współczynnika sprężystości wibroizolatora k [ N/m ]. _st Stanowisko pomiarowe

Pomiary przeprowadza się przy pomocy prasy Hulla. Wykorzystując efekt dźwigni, dzięki ramieniu prasy, można obciążać testowane elementy różną siłą wykorzystując tylko jeden odważnik.

Odważnik umieszczony blisko osi obrotu prasy Hulla będzie naciskał na wibroizolator pewną siłą, przy czym wraz z odsuwaniem go od osi obrotu siła nacisku będzie wzrastać. W miejscach mocowania odważników podano przełożenie, jakie uzyskuje się w tych punktach. Na przykład 5 kg odważnik umieszczony w punkcie, w którym przełożenie wynosi 3 spowoduje obciążenie wibroizolatora masą 15 kg. W obliczeniach należy również wziąć pod uwagę ciężar samej dźwigni, który wynosi 315 N w miejscu kontaktu z testowanym elementem.

Pomiary ugięcia statycznego _stwykonuje się suwmiarką. Należy wybrać jeden stały punkt pomiarowy na końcu dźwigni prasy Hulla i wszystkie pomiary wykonywać w tym samym punkcie.

Zmiana położenia końca dźwigni o 12,1 cm to zmiana wysokości wibroizolatora o 1 cm. W związku z tym każdy wynik należy odpowiednio przeskalować dzieląc go przez przekładnię 12,1.

Opis ćwiczenia i sposób opracowania danych pomiarowych

Całe ćwiczenie należy powtórzyć dla kilku wibroizolatorów, w tym przynajmniej jednego sprężynowego i jednego gumowego. Siłę obciążająca testowany element oblicza się ze wzoru (Równanie 6).

d

i m g Q

a

F    

Równanie 6. Siła obciążająca wibroizolator - prasa Hulla.

Gdzie: a - przekładnia, _i m - masa odważnika, g - przyśpieszenie ziemskie, Q - ciężar dźwigni, _d czyli 315 N.

Ugięcie statyczne oblicza się ze wzoru (Równanie 7).

d i o

st a

H H 

 

Równanie 7. Ugięcie statyczne – prasa Hulla.

Gdzie H - położenie dźwigni, gdy wibroizolator jest nieobciążony, _o H - położenie dźwigni gdy _i wibroizolator jest obciążony, a - przekładnia pozwalająca obliczyć rzeczywistą wartość ugięcia w

miejscu nacisku prasy Hulla, czyli 12,1. H0 należy mierzyć, gdy prasa Hulla dotyka testowanego elementu, ale nie działa na niego żadną siłą. Pomocne w tym może być włożenie kartki papieru w miejsce styku obu części. Gdy prasa zaczyna lekko dociskać kartkę staje się ona nieruchoma, co będzie sygnałem do wykonania pomiaru H0.

Pomiar ugięcia statycznego będzie wykonywany wielokrotnie dla tego samego obciążenia, co ma na celu statystyczną obróbkę wyniku i umożliwia podanie niepewności pomiarowych. Wartość rzeczywista ugięcia nie jest znana, poszczególnymi pomiarami poznajemy tylko jej oszacowanie. W celu połączenia wszystkich n pomiarów w całość i poznania najlepszego możliwego oszacowania należy obliczyć średnią (Równanie 8).

n

i st n

i st

) 1 (

_ 

  ^

Równanie 8. Średnia arytmetyczna.

Średnia arytmetyczna stanowi oszacowanie wartości rzeczywistej. Jako niepewność oceny ^__st , czyli błąd, z jakim wyznaczono średnią, przyjmiemy odchylenie standardowe średniej arytmetycznej (Równanie 9).

) 1 (

) ( ₍₎ ^{_ 2}

1

_ 



 

 ^

n n n

s s ^{sti st}

n

st i

st



 



Równanie 9. Odchylenie standordowe średniej arytmetycznej.

Odchylenie standardowe średniej arytmetycznej to inaczej niepewność standardowa. Informuje ona o przedziale wartości wielkości mierzonej, w którym wartość rzeczywista mieści się z prawdopodobieństwem 68,2%. Ostatecznie wynik moglibyśmy zapisać w postaciⁱⁱⁱ (Równanie 10).

_

_

st

st s

  

Równanie 10. Wynik pomiarów zapisany z przedziałem błędu dla prawdopodobieństwa 68,2%.

Należy przy tym pamiętać, aby zawsze podawać jednostki oraz zaokrąglać niepewność pomiarową do 1 cyfry znaczącej, chyba że pomiary wymagają niezwykłej dokładności, można wtedy przyjąć zaokrąglenie niepewności do 2 cyfry znaczącej. Niepewność zaokrągla się zawsze w górę.

Oszacowanie wartości rzeczywistej, czyli średnia powinna być zaokrąglona z dokładnością do miejsca, na którym występuje ostatnia cyfra znacząca niepewności. Na przykład, jeśli średnia arytmetyczna wynosi 5,346 mm, a odchylenie standardowe 0,31378, to ostateczny zapis wyniku pomiaru to 5,3 ± 0,4 mm.

Opisane tu wzory i zależności są prawdziwe dla licznej^iv serii pomiarowej. Gdy dysponujemy niewielką liczbą pomiarów warto skorzystać z teorii przedziałów ufności^v. Wybieramy, z jakim prawdopodobieństwem wartość rzeczywista musi mieścić się w konstruowanym przez nas przedziale. Następnie w tablicach odnajdujemy wartość współczynnika t (Tabela 1), przez który

należy pomnożyć odchylenie standardowe średniej arytmetycznej. Współczynnik ten (zwany współczynnikiem Studenta) zależy od wybranego przez nas prawdopodobieństwa p oraz od ilości pomiarów n. Końcowy zapis wielkości mierzonej będzie postaci (Równanie 11).

) _

,

_ (

st

s p n

st t

   

Równanie 11. Wynik pomiarów z wykorzystaniem teorii przedziałów ufności.

Tabela 1. Wybrane wartości współczynników Studenta.

n 2 3 4 5

p = 0,6827 1,837 1,321 1,197 1,142

p = 0,9545 13,968 4,527 3,307 2,869

p = 0,9973 235,777 19,206 9,219 6,620

Przebieg ćwiczenia

1. Wybrać wibroizolator, którego właściwości mają zostać zbadane.

2. Umieścić testowany element w prasie Hulla, po czym zmierzyć H0. 3. Obciążyć wibroizolator ciężarem samej dźwigni, zmierzyć H1.

4. Wybierając jeden z dostępnych odważników o masie m, umieścić go w miejscu gdzie przekładnia jest najmniejsza (odważnik powinien być przymocowany śrubą o znanej masie, którą należy uwzględnić w obliczeniach), zmierzyć H2.

5. Zmieniając przekładnię, czyli miejsce zamocowania odważnika, lub sam odważnik mierzyć kolejne położenia końca ramienia prasy Hulla – Hi. Pomiary powinny być w czytelny i przejrzysty sposób notowane (Tabela 2).

Wibroizolator: … H0: … Ciężar dźwigni: 315 N

Tabela 2. Przykładowy sposób notowania wyników pomiarów położenia końca ramienia prasy Hulla.

Lp. Masa obciążająca m [ kg ]

Przekładnia ai

Położenia końca ramienia prasy Hulla H [ mm ]

6. Powtórzyć ćwiczenie od początku dla tych samych obciążeń, w celu uzyskania kolejnej serii pomiarowej ugięcia statycznego. Ilość powtórzeń, a tym samym ilość serii pomiarowych, uzgodnić z prowadzącym.

7. Obliczyć siły obciążające wibroizolator i ugięcia statyczne, jakie im odpowiadają (Tabela 3).

Tabela 3. Tabela podsumowująca dokonane pomiary ugięć statycznych dla tych samych obciążeń.

F [N] _st[mm]

seria 1

st[mm]

seria 2

st[mm]

seria 3

st[mm]

seria 4

st[mm]

seria …

st[mm]

seria n

8. Wyznaczyć oszacowanie i niepewności pomiarowe ugięcia statycznego (Tabela 4). Jeśli prowadzący nie zalecił inaczej, należy skorzystać z teorii przedziałów ufności i założyć, że wartość rzeczywista musi mieścić się w przedziale ufności z prawdopodobieństwem 0,9545.

Wykonać wykres ugięcia statycznego od siły obciążającej _st=f(F). Niepewności pomiarowe również powinny zostać naniesione na wykresie.

Tabela 4. Średnie wartości ugięcia statycznego wraz z niepewnościami pomiarowymi.

F [N] ^{_ ( , ) _}

st

s p n

st t

    [mm]

9. Obliczyć współczynniki sprężystości (Tabela 5). Wykonać wykres k = f(F).

Tabela 5. Współczynniki sprężystości w zależności od obciążeń wibroizolatora.

F [N] k [N/m]

Co zamieścić w sprawozdaniu

 Krótki opis wszystkich wykonywanych czynności, w szczególności metody obliczania poszczególnych wartości. Na przykład, w jaki sposób obliczono siłę obciążająca wibroizolator, albo jak oszacowano niepewności pomiarowe.

 Dla każdego badanego elementu wykonać tabelę (Tabela 6) zawierającą poprawnie zapisane obciążenia, ugięcia statyczne, współczynniki sprężystości i częstotliwości drgań własnych

(częstotliwości rezonansowe). Należy pamiętać, że nie dla wszystkich wibroizolatorów kd

jest równe kst, a tylko z kd można wyliczać częstotliwości rezonansowe.

Tabela 6. Podsumowanie zebranych właściwości jednego wibroizolatora.

F [N] ^{_ ( , ) _}

st

s p n

st t

    [mm] kst [N/m] fr [Hz]

 Wszystkie utworzone wykresy.

 Zinterpretować otrzymane wyniki i wykresy. Wypowiedzieć się na temat zależności zachodzących pomiędzy badanymi wielkościami.

 Porównać wibroizolatory sprężynowy i gumowy.

Oznaczenia

k [ N / m ] – współczynnik sprężystości pionowej / stała sprężystości kst [ N / m ] – patrz k

kd [ N / m ] – dynamiczny współczynnik sprężystości pionowej δst [ mm ] – ugięcie statyczne

F [ N ] – siła Q [ N ] - obciążenie

fw [ Hz ] – częstotliwość wymuszająca

fr [ Hz ] – częstotliwość rezonansowa pionowa / częstotliwość drgań własnych pionowych m [ kg ] – masa

n – ilość pomiarów

i Konstrukcja może wpływać przez swoje drgania również na elementy będące w jej bezpośrednim sąsiedztwie, nie tylko na podłoże, na którym się znajduje. Ponieważ wiele materiałów może dobrze przenosić drgania, niekiedy dochodzi do sytuacji, że w pobliżu źródła drgań nie występują żadne negatywne zjawiska, natomiast w miejscach bardzo odległych obserwuje się silne niekontrolowane wibracje.

ii Maszyny wirnikowe mogą generować drgania o różnych częstotliwościach, nie tylko równe obrotom silnika. Ma to miejsce, gdy na platformie z silnikiem zamontowane są przekładnie lub pasy, które powodują, że różne elementy układu drgają z różnymi prędkościami. Nie zawsze też można powiązać częstotliwość drgań z prędkością obrotową któregokolwiek elementu urządzenia. Może mieć to miejsce w skomplikowanych układach, gdzie drgania nakładają się na siebie.

iii Przy wymaganiu większego prawdopodobieństwa stasuje się wielokrotność niepewności standardowej. Zapisując wynik w postaci ( ^_ 2 _

st

st s

   ) mamy gwarancję, że na 95% wartość rzeczywista znajduje się w przedziale, a w postaci ( ^_ 3 _

st

st s

   ) osiągamy prawie pewność, bo na 99% wartość rzeczywista mieści się w skonstruowanym przedziale.

iv Nie można odpowiedzieć na pytanie jak dużej. W praktyce, jeśli pomiarów jest mniej niż 100 zaleca się korzystanie z teorii przedziałów ufności.

v Teoria stworzona przez polskiego uczonego T. Spławę-Neymana (1894-1981).