LOGIKA MATEMATYCZNA Wykład 6 Systemy liczbowe. Arytmetyka binarna.

LOGIKA MATEMATYCZNA Wykład 6

Systemy liczbowe. Arytmetyka binarna.

Systemy liczbowe

a_na_n-1…a₁a₀= a_n*pⁿ+ a_n-1*p^n-1 +…+ a₁*p¹ +a₀*p⁰ w systemie liczbowym o podstawie p

(cyfry a_n,a_n-1,…,a₁,a₀ należą do {0,1,…p-1})

System dziesiętny, p=10:

123=1*10²+2*10¹⁺3*10⁰=100+20+3 System dwójkowy (binarny), p=2:

10010 =1*2⁴+0*2³+0*2²+1*2¹+0*2⁰=16+2=18

System dziesiętny -> system binarny

/2 r

123 1 61 1 30 0 15 1

7 1

3 1

1 1

123₁₀ = 1111011₂ = 1*2⁶+1*2⁵+1*2⁴+1*2³+0*2²+1*2¹+1*2⁰

(= 64 + 32 + 16 + 8 + 0 + 2 + 1 =123)

System szesnastkowy (heksadecymalny), p=16

p=16 p=10 p=2

8 8 1000

9 9 1001

A 10 1010

B 11 1011

C 12 1100

D 13 1101

E 14 1110

F 15 1111

p=16 p=10 p=2

0 0 0000

1 1 0001

2 2 0010

3 3 0011

4 4 0100

5 5 0101

6 6 0110

7 7 0111

System dziesiętny -> system szesnastkowy

/16 r

123 B (11)

7 7

123₁₀ = 7B₁₆ = 7*16¹+11*16⁰

(= 112 + 11 =123)

System ósemkowy (oktalny), p=8

p=16 p=8 p=10 p=2

8 10 8 1000

9 11 9 1001

A 12 10 1010

B 13 11 1011

C 14 12 1100

D 15 13 1101

E 16 14 1110

F 17 15 1111

p=16 p=8 p=10 p=2

0 0 0 0000

1 1 1 0001

2 2 2 0010

3 3 3 0011

4 4 4 0100

5 5 5 0101

6 6 6 0110

7 7 7 0111

System dziesiętny -> system oktalny

/8 r

123 3 15 7

1 1

123₁₀ = 173₈ = 1*8²+7*8¹+3*8⁰

(= 64 + 56 + 3 = 123)

Zastosowania systemu szesnastkowego

• Jedna cyfra zastępuje 4 bity !!!

• Dwie cyfry to jeden bajt czyli 8 bitów

• Krótsze adresowanie (używany do adresowania pamięci RAM)

• Numer koloru, np. w HTML kolor 24 bitowy zapisywany jest szesnastkowo za pomocą 6 cyfr

• Zamiana kodu binarnego na szesnastkowy umożliwia szybszą analizę (np. znalezienie błędu)

Działania na liczbach w systemie dwójkowym

0+0=0 1001 1+0=1 + 1101 0+1=1 =

1+1=10 10110

( 9 + 13 = 22 )

(128 + 0 + 0 + 0 + 8 + 4 + 2 + 1 =143)

(13 * 11=143)

1 1 0 1

× 1 0 1 1

0 0 0 1 1 0 1

0 0 1 1 0 1 0

+ 1 1 0 1 0 0 0

1 0 0 0 1 1 1 1