14DRAP - funkcje zmiennych losowych
Twierdzenie. 1. Jeśli zmienna losowa X ma rozkład ciągły z gęstością fX, (i) X ∈ (a, b) z prawdopodobieństwem 1;
(ii) ϕ ma ciągłą pochodną na (a, b);
(iii) ϕ0(x) 6= 0 dla x ∈ (a, b),
to zmienna losowa Y = ϕ(X) ma rozkład ciągły o gęstości
fY(y) =
(fX h(y) · |h0(y)| dla y ∈ ϕ((a, b));
0 w p.p.,
gdzie h(s) = ϕ−1(s).
A Zadania na ćwiczenia
Zadanie A.1. Zmienna losowa X posiada rozkład podany w poniższej tabeli:
i −2 −1 0 1 2 7
P(X = i) 0, 2 0, 1 0, 2 0, 2 0, 2 0, 1 Wyznacz rozkład zmiennej losowej Y = sgnX.
Zadanie A.2. Wyznacz rozkład zmiennej losowej Y = cos(πX), jeżeli zmienna losowa X ma rozkład geometryczny:
P(X = k) = 1
2k, k = 1, 2, . . . . Zadanie A.3. Zmienna losowa X posiada gęstość:
f (x) =
exp(−x) dla x > 0
0 dla x ¬ 0 .
Wyznacz gęstość zmiennej losowej Y =√
X. Zrób to na dwa sposoby - korzystając z twierdzenia i bezpośrednio.
Zadanie A.4. Niech X ma funkcję gęstości:
f (x) =
1
2x +12 dla − 1 ¬ x ¬ 1
0 poza tym .
Podaj gęstość zmiennej losowej Y = X2.
Zadanie A.5 (Przykład 10 §4.3). W tabeli opłat sieci komórkowych można przeczytać, że rozmowa kosztuje 1 zł za minutę, przy czym tak zwane impulsy naliczane są co minutę. Zakładamy, że czas rozmowy ma rozkład wykładniczy z parametrem 1. Wyznacz rozkład zmiennej losowej równej opłacie za rozmowę. Czy ten rozkład ma nazwę?
Zadanie A.6. Zmienna losowa X ma rozkład jednostajny na odcinku [0, 1]. Jaki ma rozkład zmienna losowa Y = aX + b (a 6= 0, b > 0). Czy ten rozkład ma nazwę? Swoje przypuszczenia poprzyj obliczeniami.
Zadanie A.7. Zmienna losowa X ma rozkład logarytmiczno-normalny, tzn. zmienna losowa Y = ln X ma rozkład normalny N (m, σ2). Znajdź gęstość zmiennej losowej X.
(Przypomnienie: Zmienna losowa o rozkładzie normalnym N (m, σ2) ma gęstość daną wzorem: f (x) = √1
2πσ2e−(x−m)22σ2 .) Zadanie A.8. Załóżmy, że stopa zwrotu z pewnej inwestycji w jednym okresie bazowym jest zmienną losową R, która może przyjmować dowolne wartości między 2%, a 6%. Przyjmujemy ponadto, że stosujemy model kapitalizacji złożonej z czasem dyskretnym.
a. Dla tej inwestycji funkcja akumulacji kapitału po n okresach bazowych (czyli funkcja mierząca wzrost kapitału w stosunku do kapitału początkowego) jest zmienną losową An, którą możemy definiować w następujący sposób:
An= (1 + R)n. Znajdź gęstość i dystrybuantę zmiennej losowej An.
b. Funkcja dyskonta pozwala nam obliczyć wartość obecną kapitału na podstawie jego oczekiwanej wartości przyszłej.
W przypadku tej inwestycji funkcja dyskonta po n okresach bazowych jest zmienną losową, którą możemy zdefiniować jako Dn= A1
n. Znajdź gęstość zmiennej losowej Dn.
1
B Zadania domowe
Zadanie B.1. Zmienna losowa X posiada rozkład podany w poniższej tabeli:
i −3 −1 0 1 2 3
P(X = i) 0, 08 0, 16 0, 25 0, 36 0, 1 0, 05 Wyznacz rozkład zmiennej losowej Y = X2.
Zadanie B.2. Wyznacz rozkład zmiennej losowej Y = sin((πX)/2), jeżeli zmienna losowa X ma rozkład geometryczny:
P(X = k) = 3
4k, k = 1, 2, . . . .
Zadanie B.3. Zmienna losowa X ma rozkład jednostajny na odcinku [−1; 3] podaj rozkład zmiennych loswych Y = sgnX, Z = [X].
Zadanie B.4. Zad. 2 §4.3.
Zadanie B.5. Zad. 4 §4.3.
Zadanie B.6. Zad. 11 §4.3. Powtórzyć zadanie dla zmiennej losowej X o rozkładzie jednostajnym na odcinku [−2; 2].
Zadanie B.7. Zad. 10 §4.3.
Zadanie B.8. Zmienna losowa X posiada rozkład Pareto o gęstości:
f (x) =
50
(5+x)3 dla x > 0 0 dla x ¬ 0 , Znajdź rozkład zmiennej losowej Y = ln5+X5 .
Zadanie B.9. Zmienna losowa X ma rozkład o gęstości
f (x) = (1
3x2 dla x ∈ [−1; 2];
0 dla pozostałych x.
Podaj rozkład zmiennych losowych Y = sgnX, Z = bXc, U = X4.
C Zadania dla chętnych
Zadanie C.1. Mamy gęstość g zmiennej losowej X, ponadto P(X ∈ (0, π/2)) = 1. Wyznacz gęstość zmiennej Y = cos(8X).
Zadanie C.2. Zad. 5 §4.3.
Zadanie C.3. ( Zad. 7 §4.3.) X ma rozkład Cauchy’ego o gęstości
g(t) = 1 π(1 + t2). Znaleźć rozkład Y = X1
Zadanie C.4. Zad. 8 §4.3.
Zadanie C.5. Dana jest zmienna losowa X o dystrybuancie
F (x) =
0 dla x ¬ 0
sin x dla 0 < x < π/2 1 dla x π/2.
Wyznaczyć dystrybuantę i gęstość zmiennej losowej Y = cos X.
Zadanie C.6. Zmienna losowa X ma rozkład a. dwumianowy z parametrami n i p;
b. Poissona z parametrem λ.
Wyznacz rozkład zmiennej losowej Y = cos πX. (Uwaga: nie chodzi o wynik w postaci sumy.) 2
Rozwiązania niektórych zadań
B.1 .
i 0 1 4 9
P(Y = i) 0, 25 0, 52 0, 1 0, 13 B.2 P (X = −1) = 4/85, P (X = 0) = 1/5, P (X = 1) = 64/85
B.3 P (Y = −1) = 1/4, P (Y = 1) = 3/4
P (Z = −1) = P (Z = 0) = P (Z = 1) = P (Z = 2) = 1/4
B.6 (a), (b) Zmienna losowa Z ma rozkład ciągły o dystrybuancie i gęstości równych odpowiednio:
F (x) =
0 dla x < −1,
1 2
√x + 1 dla −1 ¬ x < 3,
1 dla x 3
oraz f (x) =
(0 dla x /∈ (−1, 3),
1
4(x + 1)−1/2 dla x ∈ (−1, 3).
(c) t0= −24/25.
B.8 Zmienna losowa o rozkładzie wykładniczym z parametrem λ = 2 B.9 P (Y = −1) = 1/9, P (Y = 1) = 8/9
P (Z = −1) = 1/9, P (Z = 1) = 1/9, P (Z = 2) = 7/9
fU(x) =
1
6x−1/4 dla 0 < x < 1;
1
12x−1/4 dla 1 ¬ x < 16;
0 dla pozostałych x.
3
