Projekt pn. IKS - Inwestycja w Kierunki Strategiczne na Wydziale Matematyki i Informatyki UMK realizowany w ramach Poddziaªania 4.1.2 Programu Operacyjnego Kapitaª Ludzki
Kurs wyrównawczy - rachunek prawdopodobie«stwa I rok II st. matematyka, sp.: zas, mef, nam, mii
Prowadz¡cy: dr Agnieszka Goroncy
4. Funkcje wielu zmiennych i wektorów losowych
Zad. 4.1 Niech (X, Y ) b¦dzie wektorem o g¦sto±ci f(x, y) = αxy
11
A(x, y), α > 0, gdzie A jest trójk¡tem o wierzchoªkach (0, 0), (4, 0), (0, 4). Oblicz P (3Y − X ≥ 0).Zad. 4.2 Niech zmienne S oraz T b ed a niezale»ne o rozkªadach: S ∼ U(−1, 1), T ∼ E(1). Jakie jest prawdopodobie«stwo, »e równanie x2 + 2T x + S = 0 nie posiada rozwi aza«?
Zad. 4.3 Niech X i Y b¦d¡ niezale»nymi zmiennymi losowymi o rozkªadach odpowiednio E(λ) i U(−1, 1). Znajd¹ rozkªad zmiennej losowej Z = X · sgn(Y ).
Zad. 4.4 Zmienne losowe X ∼ U(0, 1), Y ∼ E(2) s¡ niezale»ne. Narysuj dystrybuant¦
zmiennej losowej U = XeY i wyznacz jej g¦sto±¢.
Zad. 4.5 Wykaza¢, »e je»eli X i Y s¡ niezale»nymi zmiennymi losowymi o rozkªadzie normalnym N(0, 1), to zmienna losowa X/Y ma rozkªad Cauchy'ego C(0, 1).
Zad. 4.6 Niech X ∼ U(0, 1) oraz Y o g¦sto±ci
fY(y) = e−(y−1)1(1,∞)(y),
b¦d¡ niezale»nymi zmiennymi losowymi. Wyznacz g¦sto±¢ rozkªadu wektora loso- wego (X ln Y, Y ).
Projekt wspóª nansowany przez Uni¦ Europejsk¡ w ramach Europejskiego Funduszu Spoªecznego
